La doppia natura delle funzioni trigonometriche

Prima la goniometria o prima la trigonometria? Cosa ci dice la Storia? Le scelte di Castelnuovo e Lombardo Radice.

L’introduzione della trigonometria rappresenta da tempo un nodo didattico controverso nell’insegnamento secondario della matematica.

Si confrontano, in particolare, due impostazioni: un approccio di tipo geometrico, che definisce seno e coseno come rapporti tra un cateto e l’ipotenusa  di un triangolo rettangolo, e un approccio di tipo analitico, che introduce le funzioni trigonometriche principali come ordinata e ascissa (rispettivamente) di un punto della circonferenza goniometrica. Tale dibattito è spesso presentato come un’alternativa metodologica, ma andrebbe analizzato anche alla luce della storia e dell’epistemologia della disciplina.

Questa  dicotomia didattica riflette, in effetti, una duplice natura storicamente fondata della trigonometria, e il suo riconoscimento esplicito può costituire una risorsa per la progettazione didattica.

Nell’impostazione geometrica si giustifica la definizione di seno e coseno  attraverso la similitudine dei triangoli, mantenendo un forte legame con l’intuizione geometrica e, in generale, con la tradizione matematica classica.

Nella seconda impostazione, che presuppone la misura in radianti per gli angoli, l’argomento delle funzioni circolari è un numero reale. Una trattazione di livello elementare non può metterne in luce gli aspetti più interessanti che emergono  nell’ambito dell’Analisi (sviluppi in serie, limiti, ecc.).

Questo secondo approccio, sicuramente sintetico ed elegante, veniva  privilegiato nei licei quando, secondo  i programmi ministeriali,  la trigonometria era introdotta nel penultimo anno dello scientifico e nell’ultimo anno del classico.

Attualmente, con  l‘introduzione anticipata al primo biennio, si tende a prediligere l’impostazione geometrica, anche per poter rappresentare e gestire agevolmente  le grandezze vettoriali nei percorsi, paralleli, di fisica.

La doppia natura si palesa, però,  nel momento in cui si passa alla fase operativa:

«Un proiettile  è lanciato  verso l’alto con un angolo di ampiezza θ rispetto all’orizzontale. Come calcolare le componenti della sua velocità, se θ non corrisponde ad uno degli “angoli particolari” facilmente riconducibili a note costruzioni geometriche?»

«Un oggetto in equilibrio su un piano inclinato comincia a scivolare quando l’angolo di inclinazione ha ampiezza θ_c = 25°. Come calcolare  il coefficiente di attrito statico μ_s = tanθ_c ?»

Il ricorso alla calcolatrice è scontato. Meno scontata è la risposta ad una eventuale  e legittima domanda  da parte degli allievi: come fa la calcolatrice a determinarne il valore, al di fuori dei casi semplici come 30°, 45°, 60°?

Ovviamente le calcolatrici non  “riconoscono” il seno e il coseno come rapporto tra lati, ma come funzioni matematiche definite tramite procedure di approssimazione. In alternativa utilizzano algoritmi, come il CORDIC (Coordinate Rotation DIgital Computer), che simulano la rotazione di un vettore unitario fino a raggiungere l’angolo desiderato con una serie di passi predefiniti.

E’ noto che, prima dell’avvento delle calcolatrici tascabili, era indispensabile l’uso delle Tavole trigonometriche o logaritmo-trigonometriche. Ma cosa sono le tavole se non la rappresentazione di una funzione in forma tabellare?

E’ interessante, a questo punto, riflettere sulle origini della trigonometria, che nasce storicamente come strumento per la risoluzione di problemi geometrici e astronomici, in particolare legati alla determinazione di distanze e posizioni non direttamente misurabili. In questo contesto, il triangolo — piano o sferico — costituisce l’oggetto fondamentale, e le relazioni trigonometriche emergono come rapporti tra grandezze geometriche omogenee.

Tuttavia, già nelle prime sistematizzazioni astronomiche, l’oggetto di studio non è il triangolo in quanto tale, bensì la relazione tra ampiezze angolari (o archi di circonferenza) e lunghezze di segmenti a esse associati.

Le tavole delle corde, introdotte da Ipparco e sistematizzate da Tolomeo ,non descrivono rapporti interni a un triangolo isolato, ma stabiliscono una corrispondenza tra l’arco corrispondente ad un angolo al centro e la lunghezza della corda sottesa. In questo senso, già la trigonometria antica realizza una forma  di relazione funzionale, sebbene espressa esclusivamente in termini geometrici e priva di formalizzazione analitica.

Si può dunque affermare che, sin dalle origini, la trigonometria presenta una duplice natura:

• strumento per la risoluzione di configurazioni geometriche;
• studio di corrispondenze sistematiche tra archi e segmenti su una circonferenza.

Questo dualismo è stato affrontato anche negli scritti didattici di due noti «Maestri»: Emma Castelnuovo e Lucio Lombardo Radice.

Emma Castelnuovo, nel suo testo di trigonometria per le scuole superiori , trova una certa analogia tra la circonferenza goniometrica e gli antichi strumenti utilizzati  dagli astronomi dell’età ellenistica.

«Immaginiamo un  disco posizionato verticalmente e sostenuto ad altezza d’uomo.
Nel  centro è imperniato un piccolo tubo di bambù libero di ruotare, attraverso il quale  si può osservare un astro e determinarne l’elevazione rispetto a un riferimento fisso.»

La scala graduata sul bordo indicava una suddivisione in 360 parti ma le misure delle corde non erano messe in corrispondenza dell’ampiezza degli angoli, erano, bensì, associate alle misure degli archi, più adatte a rappresentare la posizione dell’astro nel cielo.

Dopo il periodo decisamente geometrico dei matematici rinascimentali,  l’introduzione del piano cartesiano, nel XVII secolo, fornisce un’interpretazione dinamica della circonferenza graduata.

Le parole di Emma Castelnuovo «…dalla considerazione statica di un triangolo si passa a quella dinamica di un angolo di vertice O; l’ampiezza dell’angolo che la lancetta OP forma con l’asse delle x cambia da un istante all’altro e cambiano anche, a seconda del quadrante che si considera, i segni delle coordinate di P….».

A questo punto l’attenzione si sposta sull’interpretazione cinematica del moto del punto P e soprattutto della sua proiezione H sull’asse  x: rispettivamente, un moto circolare uniforme e un moto armonico.

Non solo è evidente  la presenza di funzioni  definite nel campo reale ma è chiaro anche il loro significato fisico.

Interessante il confronto con quanto si legge nel testo sperimentale “ Il metodo matematico” di L. Lombardo Radice e Lina Mancini Proia (Vol.III).

Alla fine del capitolo dedicato alla trigonometria, la lettura “Un mondo fatto di vettori, un mondo fatto di sinusoidi”, invita il lettore a riflettere  sulle rappresentazioni matematiche della realtà .

«… Due tra le astrazioni più importanti che abbiamo conquistato, le nozioni di spazio vettoriale e di funzione goniometrica, non sono nate dalla testa di Giove sull’Olimpo, sono rappresentazioni adeguate di fenomeni fisici fondamentali. L’universo della  meccanica razionale di Newton è un mondo fatto di vettori. Esistono però fenomeni  naturali che non  sono spostamento di particelle, bensì propagazioni di stati: i movimenti ondosi. Questi sono descritti dalle funzioni periodiche  fondamentali : il seno e il coseno.  L’universo delle onde è un mondo fatto di sinusoidi.»

A questo punto il dualismo diventa più profondo e investe il concetto stesso di «natura che ci circonda». La natura della luce  è corpuscolare o ondulatoria? Gli elettroni sono corpuscoli oppure onde?  Quell’oppure non è un aut-aut  ma un vel-vel.  O forse né…né. La conclusione  potrebbe sembrare una resa o un atto di  umiltà:

«Si potrebbe dire, parafrasando la famosa frase di Amleto , che ci sono molte più cose in cielo  e in terra di quel che non sappia rappresentare la nostra matematica».

In realtà, si ammette l’esistenza di alcuni confini per la matematica, ma  sempre con  la consapevolezza di una crescita attraverso  l’evoluzione dei modelli e delle conoscenze scientifiche.