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La matematica della maturità è sempre di giovedì

Oggi iniziano le operazioni della maturità. Ecco due esercizi che possono servire per allenarsi alla prova di matematica di giovedì 20 giugno ma che in ogni caso non potranno far  male a chi ne affronterà la soluzione.

In genere in ogni sistemazione didattica gli esercizi sono graduati nella direzione di un progressivo aumento delle difficoltà. Nella letteratura matematica il termine esercizio di riscaldamento è stato reso noto soprattutto da Donald Knuth che l’ha utilizzato nei suoi manuali e testi scolastici.  Nelle organizzazioni didattiche proposte da Knuth al primo gradino, per ogni capitolo, figurano gli esercizi di riscaldamento seguiti dagli esercizi di base e al terzo gradino da quelli di approfondimento.

La scala delle esercitazioni ha in tutto sei gradini: i tre successivi sono più propriamente problemi. Vengono prima i problemi d’esame: implicano generalmente concetti provenienti da due o più capitoli contemporaneamente; seguono i problemi bonus che vanno al di là di quello che ci si aspetta dallo studente medio di matematica concreta. Alla sommità della scala ci sono i problemi di ricerca per la cui soluzione dovrebbe valere la pena di compiere uno o più tentativi senza avere vincoli di tempo.

Ma qui il discorso che interessa è limitato ai soli primi gradini e l’esercizio di riscaldamento che si propone è presente in un file che si trova in rete: Dall’Algebra all’Analisi Matematica. Si tratta di un insieme di schede, in verità molto sintetiche, preparate per una scuola estiva Mathesis per l’aggiornamento degli insegnanti di qualche anno fa.

Ecco allora l’esercizio che è preso peraltro da La Scoperta matematica, vol.2, di George Polya:

Trovare il resto della divisione del polinomio

x^{3}+x^{5}+x^{7}+x^{11}+x^{13}+x^{17}+x^{19}

per il polinomio x2 – 1

Nel testo ci sono “attrattori” che possono fuorviare. Ad esempio: il polinomio dividendo è ordinato secondo le potenze crescenti e gli esponenti sono tutti i primi da 3 a 19. Sono elementi che possono sembrare importanti ma non lo sono.

La soluzione è nel ragionare in generale. La divisione di un polinomio A(x) per B(x) dà:

A(x) = B(x)·Q(x)+R(x)

Nel nostro caso R(x) deve essere di primo grado; quindi della forma ax+b.

x^{3}+x^{5}+x^{7}+x^{11}+x^{13}+x^{17}+x^{19}=\left (x ^{2}-1 \right )Q(x)+ ax+b

L’identità fornisce per x=1 e x=-17=a+b e -7=-a+b da cui b=0 e a=7. Il resto richiesto è 7x.

Il secondo esercizio che si propone riguarda molto da vicino i grafici e le funzioni.

Si può premettere, ma solo per una sorta di contestualizzazione dell’oggetto dell’esercitazione, il seguente testo:

All’azienda che realizza contenitori per bevande di varia foggia, il disegnatore propone alcuni prototipi la cui forma egli asserisce aver ottenuto da archi di curve date. Il primo esempio è di una speciale bottiglia la cui superficie laterale è generata dalla rotazione dell’arco in figura intorno all’asse x.

Per altri due prototipi il disegnatore fa riferimento ai due grafici seguenti:

Ci si può divertire a trovare espressioni analitiche di funzioni reali y=f(x) il cui andamento sia lo stesso o simile ai grafici proposti. Fatto ciò, chiunque, se in qualche modo interessato dalla questione, potrebbe proseguire escogitando domande inerenti al proposito dell’azienda di realizzare contenitori che abbiano forme e capacità adatti ai liquidi che commercializza.

Autore

  • Emilio Ambrisi

    Laureato in matematica, docente, preside (dal 1983) e ispettore ministeriale (dal 1991). Dal 2004 al 2015 responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Dal 1980 Segretario Nazionale della Mathesis e, successivamente, Vice-Presidente. Dal 2009 al 2019 Presidente Nazionale e direttore del Periodico di Matematiche.

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