Il proposito del Ministro Valditara di cambiare l’insegnamento della matematica e le discussioni sulla matematica concreta e astratta. Un testo magistrale di Graham-Knuth-Patashnik.
Cambiare l’insegnamento della matematica per renderlo meno astratto: la grande sfida lanciata dal Ministro Giuseppe Valditara qualche buon frutto l’ha già dato. L’Accademia dei Lincei con il documento di sintesi del Convegno del 23 marzo 2023 e, certamente, con i pesanti rilievi mossi all’Invalsi [VEDI] ha dato un contributo destinato ad avere conseguenze significative. Più ampiamente, nel panorama dei dibattiti aperti in rete alla comunità dei docenti pare che il tema abbia suscitato interesse e che le idee sul significato e sul valore didattico della coppia antitetica astratto-concreto abbiano addirittura appassionato.
Le belle pagine di pedagogia della matematica scritte sull’argomento da Paul Libois più di mezzo secolo fa [VEDI] e rese disponibili già da qualche giorno su Matmedia hanno certamente concorso a illuminare sull’argomento.
Un’altra pubblicazione che merita ed esige di essere citata per fare luce su questa importante coppia filosofica e sulle alterne vicende di cui è stata protagonista nella storia della matematica e del suo insegnamento è Concrete Mathematics. Uno dei suoi autori è il notissimo Donald E. Knuth; gli altri due sono Ronald L. Graham e Oren Patashnik. Il libro, pubblicato nel 1989, era stato il prodotto di un corso universitario che portava lo stesso nome e veniva svolto dal 1970 presso la prestigiosa Università di Stanford.
Scrivono gli autori nella prefazione: «Il titolo del corso “Matematica concreta” era nato in contrapposizione alla “Matematica astratta”, dal momento che i risultati della matematica classica venivano rapidamente spazzati via dai programmi di quella moderna […] La cultura matematica aveva bisogno di un concreto contrappeso al fine di ristabilire un equilibrio salutare».
C’è da dire che con gli anni il corso Concrete Mathematics era andato crescendo nell’interesse e nella mole e da annuale si era trasformato in biennale. Gli argomenti principali del corso riguardavano le sommatorie, i procedimenti ricorsivi, la teoria elementare dei numeri, i coefficienti binomiali, le funzioni generatrici, la probabilità discreta e i metodi asintotici.
Allora, che cos’è esattamente la matematica concreta?
È un miscuglio di matematica del Continuo e matematica del Discreto. Knuth trovò nella lingua inglese la giustificazione a questa risposta. Il termine concrete significa calcestruzzo e sta per matematica dura in opposizione a matematica astratta che, a suo parere, è morbida, ma il termine si può vedere anche come l’unione di con, iniziale di continuous, e crete, che sta per discrete. C’è dunque, nel gioco di parole, una riduzione molto importante dal punto di vista filosofico della coppia astratto/concreto alla coppia continuo/discreto. Entrambe, secondo René Thom, tra le principali aporie fondatrici della matematica.
In italiano il libro fu pubblicato da Hoepli nel 1992 con il titolo Matematica Discreta, ma in modo del tutto infedele e fuorviante rispetto all’originale.
Secondo la nota dell’Editore, la dizione Matematica concreta non sarebbe stata adatta “alla realtà accademica del nostro Paese”. Eppure, mantenendo il gioco di parole, il titolo inglese avrebbe potuto tradursi al plurale in Matematiche concrete, conservando la specificità del corso e degli argomenti trattati. D’altronde, gli stessi Graham-Knuth-Patashnik avevano fatto notare che nelle loro Università un corso di Matematica discreta già esisteva, ma che in quanto a contenuti era tutt’altra cosa dal loro corso, che pertanto necessitava di un nome diverso e Matematica concreta si era confermata la scelta più appropriata.
Un nome nuovo, dunque, per un corso universitario nuovo e per un libro innovativo sotto tanti punti di vista, degli argomenti e dell’ordine in cui sono affrontati, degli esercizi e problemi proposti, delle efficaci “note a margine”, dello stile espositivo e di quello grafico, che utilizza i caratteri Euler studiati appositamente per renderne più gradevole la lettura.
Un testo scritto per essere un “racconto carico di bellezza matematica e di sorpresa”.
Un testo concepito e realizzato per portare il lettore-studente a condividere “un po’ del piacere che abbiamo provato nello scriverlo”. E ancora: «Qualcuno crede che la matematica sia un argomento serio e che pertanto debba essere freddo e asciutto, noi pensiamo invece che la matematica sia divertimento e non abbiamo paura di ammetterlo. Perché dovrebbe essere disegnata una rigida linea di confine tra il lavoro ed il piacere? La matematica concreta è costellata di una serie di esempi piacevoli: le elaborazioni non sono sempre facili, ma le risposte possono essere incredibilmente interessanti. Le gioie e i dolori del lavoro matematico sono riflesse esplicitamente in questo libro, poiché sono parte della nostra stessa vita».
Solo per fornire qualche informazione in più, si può dire che il libro inizia con la trattazione di tre problemi ricorsivi conosciuti da tutti i professori di matematica della scuola secondaria: la torre di Hanoi, le linee nel piano e il problema di Giuseppe, che contiene 500 esercizi le cui risposte con soluzioni o accenni di soluzioni sono riportate in una consistente appendice al libro, e si può dire che gli esercizi presentano una classificazione di grande valore didattico, ovvero:
- Esercizi di riscaldamento
- Esercizi di base
- Esercizi di approfondimento
- Problemi d’esame
- Problemi bonus
- Problemi di ricerca
Gli ultimi due tipi di problemi meritano forse qualche spiegazione per quanto concerne le loro finalità: mentre i problemi bonus vanno semplicemente al di là di quello che ci si aspetta dallo studente medio di matematica concreta, quelli di ricerca possono essere o meno umanamente risolvibili, ma non hanno vincoli di tempo.
È un libro che insegna divertendo.
Per provarlo bastino alcuni esempi tratti dalle note a margine. A pag. 55: «Il fine ultimo della matematica è di eliminare ogni necessità di pensieri intelligenti» e a pag. 119: «Se non sapete nulla sulle matrici non vi spaventate, questo libro le utilizza soltanto qui».
Sono esempi sufficienti per cogliere quanto le note a margine siano anche originali, tanto che ne andrebbe curata una pubblicazione a parte. Notevoli quelle iniziali, fra cui anche citazioni tratte da altri autori che parlano del tema che ci interessa: la concretezza della matematica.
Eccone alcune:
- «Gli uomini acquisiscono una modesta autorità in materia, dotandosi di un linguaggio specialistico: possono così pontificare e atteggiare una superficiale esperienza; ma ciò che noi dovremmo richiedere ai dotti matematici non è quello di cui sono esperti e neppure quello che sanno in merito all’insieme delle conoscenze matematiche, ma piuttosto quello che essi possono realizzare con il loro apprendimento e se davvero possono risolvere i problemi matematici che sorgono nella pratica. In breve, cerchiamo fatti e non parole» [J. Hammersley]
- «Il nocciolo della matematica è fatto di esempi concreti e di concreti problemi». [P.R. Halmos]
- «È decisamente un errore insegnare la teoria prima della pratica» [Z.A. Melzak]
- [La matematica concreta è] «un concreto salvagente lanciato agli studenti che stanno affondando nel mare dell’astrazione». [ W. Gottschalk]
- «La matematica concreta è un ponte verso la matematica astratta».
Sorge il dubbio che il Ministro Valditara, o chi per lui, abbia conosciuto questo testo, e se ne sia invaghito a tal punto da tenerlo in considerazione per i progetti ministeriali di cambiamento dell’insegnamento della matematica. E se è davvero così, su questo non possiamo dargli torto.
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