Una breccia nel confine tra rettilineo e curvilineo e una delle prime grandi rotture epistemologiche nella storia della matematica.
La lunula ha giocato un ruolo di primaria importanza nella storia della matematica e la sua quadratura ha rappresentato uno dei primi grandi shock concettuali della disciplina: una di quelle discontinuità che, usando retrospettivamente il linguaggio di Gaston Bachelard, potremmo definire alla stregua di una rottura epistemologica.
Non sorprende, allora, che William Dunham abbia scelto proprio la quadratura della lunula come primo dei dodici grandi teoremi del suo Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics.
Nel quadro della geometria antica poteva apparire naturale pensare che una figura delimitata da archi di cerchio dovesse avere necessariamente un’area “legata al cerchio”, ovvero non riducibile a una figura rettilinea equivalente. In fondo, il cerchio era il regno di quel rapporto che noi oggi indichiamo con \( \pi \): circonferenza, area, settori circolari, segmenti… tutto conduceva a quella costante apparentemente indissociabile dalle figure delimitate da archi di cerchio. Le lunule mostrarono invece qualcosa di completamente inatteso.
Una lunula è una figura piana delimitata da due archi di cerchio, che formano la caratteristica sagoma a mezzaluna. Le più celebri sono quelle studiate da Ippocrate di Chio nel V secolo a.C., entrate nella storia della matematica per una proprietà sorprendente: alcune di esse hanno un’area esattamente equivalente a quella di una figura rettilinea.
In altre parole, una figura dal contorno completamente curvilineo può essere “quadrata”: è possibile costruire, con riga e compasso, un quadrato avente la sua stessa area. Nel caso della lunula ciò può avvenire senza che nel risultato finale sopravviva alcun termine contenente \( \pi \).
Il significato epistemologico: il campo di razionalità
Dal punto di vista didattico e storico, l’esempio della lunula smentisce dunque in modo radicale il radicato preconcetto che qualsiasi figura a contorno curvilineo debba inevitabilmente trascinare con sé la presenza del numero \(\pi\).
Per il pensiero geometrico intuitivo, l’apparire di un arco di cerchio sembra equivalere all’ingresso in un dominio separato dal mondo dei poligoni. La lunula mostra invece che non è necessariamente così: la sua area può non richiedere la presenza della costante \(\pi\) nell’espressione finale, ma rimanere, potremmo dire in senso evocativo e con linguaggio moderno, nel campo di razionalità determinato dalle misure rettilinee di partenza. Nel caso più semplice, se il cateto ha lunghezza \(a\), l’area della lunula è infatti
$$
A_L=\frac12a^2.
$$
La presenza degli archi introduce naturalmente quantità legate al cerchio e quindi a \(\pi\), ma nel calcolo dell’area della lunula tali contributi possono compensarsi ed elidersi perfettamente.
È questo l’aspetto più sorprendente: una figura dal contorno interamente curvilineo può avere un’area determinata dalle sole relazioni geometriche delle figure rettilinee da cui nasce. La scoperta metteva così in crisi un’associazione intuitiva apparentemente ovvia, che potremmo schematizzare in questo modo:
$$
\text{figure rettilinee}
\longrightarrow
\text{aree riconducibili ai poligoni}
$$
$$
\text{figure curvilinee}
\longrightarrow
\text{aree necessariamente legate a } \pi .
$$
La matematica sorprende proprio quando rompe associazioni intuitive troppo semplici. Le lunule costituiscono così uno dei primi esempi noti di quadratura di figure curvilinee: una dimostrazione tangibile che una figura delimitata da curve può essere equivalente, quanto all’area, a una figura rettilinea e quindi, in questi casi, essere quadrabile.
Non stupisce che una scoperta di questo genere abbia contribuito ad alimentare la speranza, poi rivelatasi vana, di poter ottenere anche la quadratura del cerchio mediante riga e compasso.
Il “miracolo” geometrico della lunula di Ippocrate
Per comprendere come la componente curvilinea possa compensarsi perfettamente, consideriamo la configurazione più classica associata alla lunula di Ippocrate, costruita a partire da un semplice triangolo rettangolo isoscele \( ABC \), con angolo retto nel vertice \( B \) e cateti di lunghezza \( a \).
Il triangolo e i cateti.
L’area del triangolo rettangolo isoscele è\[
A_{ABC}=\frac12 a^2.
\]- Il settore circolare.
Puntando il compasso in \( B \) con raggio pari al cateto \( a \), tracciamo l’arco che unisce \( A \) e \( C \). Il settore circolare di \( 90^\circ \) così individuato ha area\[
A_{\text{settore}}=\frac14 \pi a^2.
\] - Il semicerchio sull’ipotenusa.
L’ipotenusa \( AC \) misura \( a\sqrt2 \). Costruiamo il semicerchio avente come diametro \( AC \), e quindi raggio\[
r=\frac{a\sqrt2}{2}.
\]La sua area risulta\[
A_{\text{semicerchio}}
=
\frac12\pi
\left(
\frac{a\sqrt2}{2}
\right)^2
=
\frac14\pi a^2.
\]
La lunula è la regione compresa fra l’arco del semicerchio di diametro \( AC \) e l’arco \( AC \) della circonferenza di centro \( B \) e raggio \( a \).
Dal punto di vista geometrico, l’area della lunula \( A_L \) si ottiene sottraendo dall’area del semicerchio quella del segmento circolare delimitato dall’arco \( AC \). A sua volta, l’area di questo segmento circolare è pari alla differenza tra l’area del settore circolare e l’area del triangolo \( ABC \):
\[
A_L
=
A_{\text{semicerchio}}
-
\left(
A_{\text{settore}}
-
A_{ABC}
\right).
\]
Sostituendo i valori calcolati:
\[
A_L
=
\left(
\frac14\pi a^2
\right)
-
\left(
\frac14\pi a^2
-
\frac12 a^2
\right).
\]
Poiché
\[
A_{\text{semicerchio}}
=
A_{\text{settore}}
=
\frac14\pi a^2,
\]
i termini contenenti \( \pi \) si annullano reciprocamente e rimane
\[
A_L
=
A_{ABC}
=
\frac12 a^2.
\]
Il fattore \( \pi \) scompare dunque completamente dal risultato finale. Il contributo della curvatura si compensa e l’area della mezzaluna curvilinea non solo è identica a quella del triangolo interno, ma dipende soltanto dalla misura del cateto, secondo la semplice relazione
\[
A_L=\frac12a^2,
\]
senza che nel risultato sopravviva alcun termine contenente \( \pi \).
Dalla classe alla storia della matematica
Dal punto di vista didattico le lunule offrono una lezione profonda: la forma geometrica esteriore non basta, da sola, a determinare la natura algebrica di una misura. Un contorno fatto di archi di cerchio non obbliga automaticamente alla presenza di \( \pi \) nell’espressione della sua area. Le lunule sembrano appartenere al mondo del cerchio, ma nascondono dentro di sé l’anima del triangolo.
Non è un caso che queste figure abbiano continuato ad affascinare matematici, artisti e studiosi nei secoli successivi. Nell’articolo L’importanza delle lunule di Silvio Maracchia viene ricordato anche l’intenso interesse di Leonardo da Vinci per la quadratura delle lunule, alla quale dedicò numerosi disegni nei suoi codici. In essi convivono ricerca geometrica, eleganza visiva e sorpresa intellettuale.
Il lavoro di Ippocrate non è rimasto un caso isolato o un semplice “gioco di prestigio” della geometria piana. Il problema da lui affrontato avrebbe attraversato i secoli, incontrando strumenti matematici sempre nuovi.
Secoli prima che Archimede perfezionasse il metodo di esaustione e, molto più tardi, che Newton e Leibniz formalizzassero il calcolo infinitesimale, Ippocrate mostrò che era possibile determinare esattamente l’area di una figura delimitata da curve attraverso scomposizioni, confronti e sottrazioni di aree. Con tutte le cautele richieste dalla distanza storica, il suo procedimento può essere visto come un lontano antecedente dei successivi metodi per la determinazione delle aree curvilinee.
Le cinque lunule: una storia lunga più di duemila anni
La scoperta di Ippocrate non esaurì il problema. Al geometra di Chio viene attribuita la quadratura di tre diversi tipi di lunule. Era allora naturale chiedersi se quei casi fossero soltanto i primi esempi di una famiglia molto più vasta: quante lunule sono quadrabili con riga e compasso? Ne esistono altre? E, soprattutto, sono finite o infinite? La risposta avrebbe richiesto più di duemila anni.
La storia della scoperta degli altri due tipi presenta, inoltre, un’interessante questione storiografica. William Dunham, nella ricostruzione proposta in Journey Through Genius, attribuisce a Leonardo Eulero l’individuazione, nel 1771, di altre due lunule quadrabili.
Altre ricostruzioni seguono però una diversa linea. Brian J. Shelburne, nel suo studio The Five Quadrable (Squarable) Lunes, ricorda che Thomas Heath attribuisce a Martin Johan Wallenius l’individuazione, già nel 1766, di tutti e cinque i casi; Shelburne segnala inoltre che Thomas Clausen li riscoprì nel 1840 e avanzò l’ipotesi che non ne esistessero altri. Anche MathWorld attribuisce a Clausen i due ulteriori tipi, segnalando esplicitamente la diversa attribuzione proposta da Dunham in favore di Eulero.
La divergenza delle fonti non cambia però il dato matematico essenziale: ai tre casi associati a Ippocrate si aggiunsero due ulteriori tipi, portando a cinque i casi quadrabili conosciuti. Rimaneva tuttavia aperta la questione decisiva: erano davvero gli unici?
La risposta arrivò soltanto nel Novecento. Nel 1934 Nikolai Chebotaryov — il cui nome compare nelle fonti anche nelle forme Tschebatorew o Tschebotarev — affrontò il problema servendosi degli strumenti dell’algebra moderna e, in particolare, della teoria di Galois. Il lavoro giunse vicino alla soluzione definitiva.
La dimostrazione fu completata nel 1947 da Anatoly Dorodnov: i tipi di lunule quadrabili e costruibili con riga e compasso sono soltanto cinque.
Le cinque lunule quadrabili. I–III: i tre tipi attribuiti a Ippocrate di Chio; IV–V: i due ulteriori tipi che completano la classificazione.
La vicenda delle lunule assume così una dimensione storica davvero singolare. Un problema nato nella geometria greca del V secolo a.C., attraverso costruzioni di triangoli, cerchi e archi, trovò la propria conclusione soltanto nel XX secolo, quando alla geometria elementare si affiancarono gli strumenti dell’algebra moderna.
E la storia sembra quasi richiudersi su se stessa. Ippocrate aveva mostrato che alcune figure curvilinee potevano essere quadrate, infrangendo un’intuizione che sembrava naturale. Per secoli quella scoperta lasciò aperta la possibilità che il fenomeno fosse molto più generale. La classificazione definitiva mostrò invece quanto eccezionale fosse ciò che Ippocrate aveva scoperto.
Le lunule avevano aperto una breccia nel confine tra rettilineo e curvilineo; più di duemila anni di matematica sarebbero stati necessari per stabilire esattamente quanto fosse stretta quella breccia.
Le cinque lunule quadrabili. La tavola riportata più sotto rappresenta le cinque configurazioni nella parametrizzazione utilizzata da Brian J. Shelburne. Indicati con \(2\alpha\) e \(2\beta\) gli angoli al centro sottesi dalla corda comune ai due archi, si pone
$$
\beta=m\alpha,
$$
cosicché \(m\) esprime il rapporto tra i due semiangoli al centro, \(m=\beta/\alpha\). I cinque casi quadrabili corrispondono ai valori
$$
m=2,\qquad 3,\qquad \frac32,\qquad 5,\qquad \frac53.
$$
Shelburne identifica i primi tre con le lunule attribuite a Ippocrate — triangolo isoscele rettangolo, trapezio isoscele e pentagono concavo — e gli altri due con i casi dell’esagono e dell’ottagono concavo.
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