L’ipotesi del continuo

L’ipotesi del continuo è il primo della lista di Hilbert.

Insieme al 7° e al 10° è il più famoso dei problemi enunciati dal grande matematico un secolo fa, nel 1900, la mattina dell’8 agosto.

Esistono gli insiemi infiniti. Sono insiemi infiniti:
N(=insieme dei numeri naturali)
R( =insieme dei numeri reali)

N ed R non hanno la stessa cardinalità.

E fu proprio questa la prima grande scoperta  di George Cantor nella teoria degli insiemi. Con una dimostrazione, basata sul suo famoso metodo diagonale, Cantor riuscì a dimostrare che l’insieme dei numeri naturali non è equipotente all’insieme dei numeri reali. Esistono quindi almeno due tipi di infinità. Il primo tipo, l’infinità dei numeri naturali e di ogni insieme infinito con esso equipotente, viene detta  aleph con zero. Gli insiemi di cardinalità 0 sono detti  numerabili. Il secondo tipo di infinità è quello rappresentato da tutti i punti di un segmento e la sua cardinalità è indicata con una c gotica minuscola, che sta per «continuo». Ogni segmento, di qualunque lunghezza, ha la cardinalità c. La stessa cardinalità di ogni rettangolo nel piano, ogni cubo nello spazio e in generale ogni spazio illimitato a n dimensioni, comunque grande sia n.

Consideriamo ora il concetto di  insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme dato.

Se indichiamo con A  l’insieme di partenza, questo nuovo insieme viene detto insieme potenza di A e indicato con 2A .

Cantor dimostrò che tanto per A finito quanto per A infinito, 2A non è mai equipotente ad A.  Sicchè l’operazione di formare l’insieme di tutti i sottoinsiemi genera una catena senza fine di insiemi infiniti crescenti e non equipotenti. In particolare, se A è l’insieme dei numeri naturali è facile dimostrare che  2A (l’insieme di tutti gli insiemi di numeri naturali) è equipotente col continuo (l’insieme di tutti i punti di un segmento).

A questo punto ci si può chiedere :

Esiste un insieme infinito la cui potenza è compresa tra 0 e c? “La questione si presentò a Cantor, il quale però non riuscì a trovare un insieme con tali caratteristiche: ne concluse- o meglio suppose – che un insieme di tale tipo non esistesse. A questa ipotesi di Cantor fu dato il nome di «ipotesi del continuo»”  …. (Paul J. Cohen, Reuben Hersh, La teoria non cantoriana degli insiemi, Quaderno n. 92, Le Scienze, Ottobre 1996, pag. 54-55).

Se non esistesse, questa è l’ipotesi formulata da Cantor, allora varrebbe il teorema che Hilbert presentò nella forma seguente:

” ogni insieme infinito di numeri o di  punti,  è equivalente o all’insieme dei  numeri  interi naturali 1, 2, 3, … oppure all’insieme di tutti i  numeri  reali e quindi al continuo (cioè, ad es., ai  punti di un segmento); perciò nel senso  dell’equivalenza, ci sono solo due insiemi di numeri, gli insiemi numerabili e il continuo”.

“Da questo teorema – continua  Hilbert – discenderebbe anche che il continuo costituisce la cardinalità che viene immediatamente dopo la cardinalità degli insiemi numerabili; perciò la sua  dimostrazione getterebbe un  nuovo ponte  tra gli insiemi numerabili e il continuo”

Dopo prolungati sforzi fu scoperto  che l’ipotesi di Cantor è indipendente dagli altri assiomi della teoria  degli insiemi. Il potente metodo per  la dimostrazione dell’indipendenza,  ideato da P. Cohen (1963), condusse a stabilire l’indipendenza di tutta una serie di altre affermazioni nella teoria degli insiemi.

L’ipotesi del continuo è stata oggetto in Italia di una controversia nata da una posizione dell’UMI in merito ad uno dei quesiti del test di accesso al TFA (Tirocinio Formativo Attivo).