Perché fermarsi alle coniche?

Quando la matematica disegna forme: le curve algebriche tra storia, bellezza e applicazioni contemporanee.

La Geometria analitica del piano rivela tutta la sua potenza nello studio delle curve, in particolare di quelle che possono essere espresse dall’equazione in due variabili \( f(x,y)=0 \), dove f è un polinomio di grado n.

È sempre sorprendente scoprire come l’insieme degli zeri di un polinomio in due variabili possa diventare un oggetto geometrico con una sua forma, con un suo nome – spesso fantasioso – una sua storia e un suo ruolo nella risoluzione di problemi geometrici o pratici.
Inoltre, le curve algebriche sono ancora oggi oggetto di studio per la loro profonda connessione con la teoria dei numeri, la fisica teorica (in particolare la teoria delle stringhe) e, ancora, con la crittografia e la complessità.

Meriterebbero, pertanto, maggiore attenzione negli studi pre-universitari.
I percorsi didattici della scuola secondaria superiore prevedono lo studio sistematico delle rette e delle coniche, mentre le curve di ordine \( n \ge 3 \) sono introdotte in modo per lo più episodico: nella ricerca dell’equazione di luoghi geometrici, nello studio di funzioni o in ambito storico (per quanto riguarda alcune “curve celebri” come la cissoide di Diocle o la versiera di Gaetana Agnesi).

Non si esclude, peraltro, la possibilità di offrire agli studenti l’opportunità di un approfondimento extracurriculare, eventualmente mediante attività laboratoriali e un opportuno utilizzo di software, per scoprire la bellezza e la potenza della matematica che va oltre il programma scolastico tradizionale, suscitando curiosità e interesse.

È evidente che si tratterebbe di una sfida, per docenti e studenti, in quanto non è facile organizzare un percorso che possa conciliare l’approfondimento e il rigore con una trattazione sostanzialmente di livello elementare.

Una sfida della quale vanno valutati, da una parte, le potenzialità formative (collegamento tra pensiero algebrico e pensiero geometrico, esplorazione di forme più complesse e affascinanti rispetto alle rette e le coniche, livello di astrazione più avanzato, approccio a tematiche scientifiche più attuali), dall’altra i rischi e i limiti (scoraggiare lo studente con un linguaggio troppo formale, limitarsi a verifiche intuitive con l’utilizzo di software, fornire solo nozioni e definizioni).

Dal piano reale al piano proiettivo complesso

Uno dei primi passi da compiere è l’ampliamento del piano reale nel piano proiettivo complesso.
Gli studenti sanno già che il campo dei numeri reali non è algebricamente chiuso e che solo nel suo ampliamento complesso vale sempre il Teorema fondamentale dell’Algebra.
Anche l’equazione che dovrebbe rappresentare una curva algebrica può non aver soluzioni reali (si pensi, ad esempio, a \( x^2 + y^2 + 1 = 0 \)).

Può accadere, inoltre, che nella ricerca di punti comuni a due curve, il sistema delle due equazioni non ammetta soluzioni reali, come nel caso:

\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 =1\\
x + y = 2
\end{cases}
\]

Introducendo i punti aventi coordinate complesse, tutta la teoria acquista unitarietà ed eleganza.

Punti impropri e piano proiettivo

C’è però ancora un problema relativo alle intersezioni di due curve algebriche.
Nel piano cartesiano, per esempio, due rette parallele non si incontrano mai; una retta parallela all’asse incontra la parabola in un unico punto anche se il sistema da risolvere è di secondo grado.
È evidente l’analogia con casi in cui un’equazione algebrica si abbassa di grado e una o più radici tendono a infinito.

Per avere regole generali, senza eccezioni, si introducono punti all’infinito o punti impropri, uno per ciascuna direzione.
Risultato: nel piano proiettivo qualsiasi coppia di rette ha sempre un punto di intersezione e in molti altri casi si osserverà che gli eventuali punti “mancanti” sono punti impropri.

L’insieme dei punti impropri costituisce la retta impropria, che è quindi la chiusura proiettiva del piano cartesiano.

Punti immaginari e rappresentazione complessa

Allo studente più curioso, che chiederà dove si trovino invece i punti immaginari, si risponderà che ovviamente è inutile cercarli nel piano reale o richiederne una rappresentazione spaziale.
In un piano (piano di Argand–Gauss) si può rappresentare un numero complesso \( a + ib \), associato a un vettore di componenti (a, b), ma non un punto avente due coordinate complesse: quest’ultimo dipende da quattro parametri e dovrebbe essere rappresentato in uno spazio di dimensione 4.

Tutto questo può creare disorientamento ma, nello stesso tempo, sollecitare sia la razionalità sia l’intuizione.
All’insegna del non c’è due senza tre ci si può concentrare sulle curve del terzo ordine, che offrono interessanti spunti didattici. Non si tratterebbe, comunque, di un piccolo passo.

Le cubiche e il “paradosso di Cramer”

È interessante osservare come, crescendo il grado, cresca in maniera drastica la complessità concettuale, geometrica e algebrica.
La teoria delle coniche, accessibile con strumenti elementari di algebra lineare e geometria analitica, è sostanzialmente quella dell’antica “triade di Menecmo”: ellisse, iperbole, parabola.

Le cubiche aprono invece il campo della geometria algebrica moderna: non solo nuove forme geometriche, ma anche nuove funzioni, nuovi concetti (singolarità, genere, struttura di gruppo sui punti).
La classificazione è molto più complessa e richiede concetti di geometria algebrica e topologia.

In particolare, le curve ellittiche – cubiche descritte da equazioni simili a quelle utilizzate per il calcolo della lunghezza degli archi delle ellissi – sono alla base di un sistema moderno di crittografia a chiave pubblica, in grado di offrire prestazioni migliori e maggiore sicurezza rispetto ai sistemi a chiave pubblica di “prima generazione” (Crittografia ellittica o ECC).

Dal punto di vista didattico, suggeriscono un’attività laboratoriale sicuramente accattivante, oltre che formativa, a patto però di familiarizzare con alcune aree della matematica che non vengono affrontate in modo esaustivo prima dell’università.
Oltre che nella Geometria Algebrica, si dovrebbe sconfinare nella teoria dei Gruppi finiti e nell’Aritmetica modulare.

Lo studio delle curve può essere comunque affrontato nel campo reale spiegando quali siano le caratteristiche analitiche delle curve ellittiche che ne motivano la scelta.

Facendo leva su alcuni contenuti più semplici, eventualmente già noti agli studenti, come il concetto di Gruppo che si incontra studiando le trasformazioni geometriche,  si può dare significato all’operazione di somma tra i punti di una cubica.

La crittografia vera e propria con curve ellittiche su campi finiti può essere limitata ad esempi molto semplici che possano comunque illustrare i passaggi chiave del processo, con poche nozioni di aritmetica modulare.

Il paradosso e il teorema di Cayley–Bacharach

Nell’introdurre la struttura di Gruppo, in particolare  per dimostrare la proprietà associativa, si deve fare ricorso a un teorema non molto noto, adatto a spiegare un risultato sorprendente  che ad un primo approccio appare paradossale e in netto distacco rispetto alla teoria delle curve algebriche di ordine inferiore a 3 .

L’equazione di una retta dipende da 2 parametri indipendenti: per due punti distinti passa una e una sola retta. L’equazione di una conica dipende da 5 parametri indipendenti che possono essere determinati imponendo il passaggio per 5 punti generici e l’equazione di una cubica dipende da 9 parametri indipendenti e, pertanto, per 9 punti in posizione generica deve passare una e una sola cubica.

D’altro canto, due curve algebriche di ordine 3, \( C_1 \) e \( C_2 \), si incontrano proprio in 9 punti per i quali, pertanto, passano due cubiche, anzi un numero infinito di cubiche ottenute da una qualsiasi combinazione lineare delle equazioni di \( C_1 \) e \( C_2 \).
Il risultato è noto come “paradosso di Cramer”, in onore del matematico che lo citò nel suo trattato Introduzione all’analisi delle curve algebriche (1750) come “un véritable paradoxe”.

In realtà, ad un’analisi più attenta, il “paradosso” rivela una certa continuità con le proprietà delle rette e delle coniche.
Se, infatti, partiamo dal concetto di fascio come l’insieme di \( \infty^1 \)curve di grado n, ottenuto mediante una combinazione lineare  di due particolari curve dello stesso ordine, osserviamo che due rette individuano un fascio avente come punto base il loro punto di intersezione; due coniche individuano un fascio di coniche passanti per i 4 punti di intersezione; analogamente, per i 9 punti comuni a due cubiche passano le \( \infty^1 \) cubiche di un fascio di cubiche.

Il risultato si spiega, quindi, ammettendo che i 9 punti non possono essere considerati “in posizione generale” per il semplice fatto di appartenere a due determinate cubiche.
Questa proprietà, che deriva dal fatto che il numero dei punti comuni a due curve è uguale al numero dei punti da assegnare per determinare una cubica, fu enunciata per la prima volta da MacLaurin nel 1720 e spiegata poi da Eulero, Cramer e Lamé.
Dopo circa un secolo trovò una precisa formulazione come Teorema di Chasles, generalizzato poi per \( n \ge 3 \) nel Teorema Cayley–Bacharach.

Questo è l’enunciato, spesso sintetizzato nell’affermazione “8 implica 9”:

Se due cubiche \( C_1 \) e \( C_2 \) nel piano proiettivo si incontrano in 9 punti distinti, allora ogni cubica che passa per 8 di questi punti passa anche per il nono.

Il Teorema di Cayley–Bacharach, la cui radice si trova già in Pappo di Alessandria, fornisce altri spunti di approfondimento didattico, tra cui un’elegante dimostrazione del Teorema di Pascal.

Un motivo in più per chiedersi: “Perché fermarsi alle coniche?”

Proposta di percorso didattico-laboratoriale

Percorso pensato per studenti di liceo scientifico sullo studio delle curve algebriche, con focus sulle cubiche e un’appendice applicativa alla crittografia su curve ellittiche (ECC).

TITOLO: DALLE CURVE ALGEBRICHE ALLA CRITTOGRAFIA MODERNA

PRIMA PARTE

Contenuti

• Definizione e proprietà delle curve algebriche. Ordine e irriducibilità.
• Coordinate omogenee. Punti immaginari e punti impropri.
• Formula del numero di coefficienti liberi per curve di grado n.
• Paradosso di Cramer e teorema di Cayley–Bacharach.

Materiale didattico

• Esercizi su ordine e riducibilità (Geogebra, quesiti guidati).
• Il piano proiettivo complesso: coordinate omogenee e punti impropri. Esercizi. La geometria proiettiva e la prospettiva nell’arte (cenni).
• Paradosso di Cramer: scheda teorica e attività laboratoriali.

Attività proposte

1: Intersezioni di due cubiche e fascio da esse individuato

2: Cubiche per 9 punti assegnati

3: Curve degeneri appartenenti a un fascio di cubiche.  Il Teorema di Pascal.

SECONDA PARTE

Contenuti

• Punti semplici e punti singolari per le curve del terzo ordine.
• Intersezioni di due cubiche. Molteplicità.
• Forme canoniche delle cubiche (lisce, con cuspidi, nodi). Esempi.
• Le curve ellittiche e la crittografia ECC.

Materiale didattico

• Cubiche singolari e non singolari: il folium di Cartesio e le parabole cubiche di Newton.
• Curve ellittiche: equazione, condizione di non singolarità, legge di gruppo.
• Approccio laboratoriale alla crittografia ellittica: cubiche ellittiche e struttura di gruppo.
• Crittografia e curve ellittiche su campi finiti. Esempi (attività proposta da ChatGPT).