Le dimostrazioni nell’insegnamento (2)

La dimostrazione come strumento per riconoscere il talento matematico.

Jean Dieudonnè argomenta, in l’Arte dei numeri, Mondadori 1989 (il titolo originale è molto più incisivo: Pour l’honneur de l’esprit humain), a partire da una analogia.  Come il termine “musicista”, nel linguaggio comune, può indicare un compositore, un esecutore o un insegnante di musica, senza escludere che queste attività possano sovrapporsi, così con la parola “ma­tematico” si può intendere un professore di matematica, un “fruitor­e” della matematica oppure un matematico creativo. In modo più specifico ‘un matematico’, nel senso di Dieudonnè, è qualcuno che ha pubblicato almeno la dimostrazione di un teorema non banale. Egli è d’altronde uno dei più influenti boubakisti dei quali è noto l’aforisma: “dal tempo dei Greci, chi dice matematica, dice dimostrazione”.

Dieudonnè dà comunque alla “dimostrazione” un valore pedagogico fondamentale sia per la formazione matematica generale, sia per la scoperta del talento matematico per il cui sviluppo ha una funzione notevole anche l’ambiente sociale.

Non si hanno esempi – egli scrive-, neppure fra i più grandi geni, di matematici con conoscenze innate della matematica del loro tempo, e quello che si è raccontato di B. Pascal a questo proposito è soltanto una leggenda. L’ambiente sociale deve quindi essere tale che il futuro matematico possa ricevere almeno un insegnamento elementare che gli offra dimostrazioni effettive, gli risvegli la curiosità e gli permetta, successivamente di avvicinarsi alla matematica del suo tempo.

Fino alla fine del XVIII secolo non è esistito un vero insegnamento superiore organizzato della matematica. A partire da R. Descar­tes e P. Fermat fino a C.F. Gauss e P.G.L. Dirichlet, i grandi matematici si sono quasi tutti formati senza un maestro, at­traverso la lettura dei loro illustri predecessori (ciò che è sempre un eccellente esercizio!). Anche oggi è probabile che numerosi  talenti matematici non arrivino mai a manifestarsi per mancanza di una at­mosfera sociale favorevole, e non c’è da stupirsi se non si ha notizia di matematici di paesi scarsamente “sviluppati”. In paesi più evoluti il tipo di insegnamento elementare può non essere adatto al manife­starsi della vocazione matematica, quando esso è soggetto a vincoli religiosi o politici oppure quando ha preoccupazioni esclusivamente utilitarie. È questo il caso degli USA fino al XX secolo inoltrato. In questo Paese l’insegnamento, di fatto affidato alle autorità locali, è stato spesso soggetto al convincimento che per gli adolescenti era più utile imparare a guidare l’automobile o a scrivere a macchina piuttosto che apprendere il latino o la geometria di Euclide. “Ho conosciuto – afferma Dieudonnè – matema­tici americani, diventati celebri, che, nati in cittadine di provincia, fino a 18 anni non avevano mai visto una dimostrazione matemati­ca; attratti dalla scienza, all’università si erano iscritti alla facoltà di ingegneria, ed è un caso se nel corso degli studi universitari si siano imbattuti in un vero insegnamento matematico che ha fatto scoprire la loro vera vocazione”.

“Il risveglio della vocazione matematica si ha il più delle volte ver­so i quindici anni, ma può essere ritardato da un insegnamento che non preveda il concetto di dimostrazione”, come è avvenuto negli USA nel caso citato prima.

Dimostrare è necessario! Simmetricamente: l’allievo che ha capito la sua prima dimostrazione ha stabilito un rapporto positivo con la matematica. Fa parte dell’esperienza di ogni docente attento essersi imbattuto in situazioni nelle quali ha colto il bagliore della luce della comprensione sprigionarsi dagli occhi dello studente che “sta dimostrando”.

Segue paragrafo 3: Il ruolo della dimostrazione e gli insegnanti che dimostrano.

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