L’equazione che Cardano non seppe risolvere

La risoluzione delle equazioni di quarto grado originata da un problema che Cardano non seppe risolvere e prima di lui neppure Tartaglia.

Nella cronaca matematica del Cinquecento Zuanne de Tonini da Coi è un personaggio di tutto rilievo. Fu compaesano di Niccolò Tartaglia e svolse un ruolo non secondario nelle matematiche disfide che coinvolsero gli algebristi italiani di quegli anni. Zuanne, “spirito bizzarro” come lo definì Ettore Bortolotti, fu un buon formulatore di problemi e ne propose sia a Tartaglia sia a Gerolamo Cardano. A Tartaglia, tra varie questioni, ne propose una di ripartizione del numero 20 che conduceva ad un’equazione di quarto grado. Dalla risposta, Zuanne capì che Tartaglia trovava delle difficoltà a risolverla. Allora la propose nel 1540 anche a Cardano con una formulazione diversa. Sostanzialmente questa: «Dividi 10 in 3 parti t, x e w tali che tw=x²  e  tx=6 e, naturalmente, t+x+w = 10».

Le due formulazioni del problema, quella proposta a Tartaglia e quest’altra a Cardano, si trovano in un articolo di Vittoria Notari pubblicato sul Periodico di Matematiche e ripreso da Adriana Lanza su Matmedia.

Comunque operando con le opportune sostituzioni il problema di ripartizione del numero 10 porta all’equazione di quarto grado:

x⁴+ 6x²+ 36 = 60x

Cardano non si impegnò molto per trovare la soluzione di questa equazione, preferì incaricarne Ludovico Ferrari suo allievo che in effetti trovò il modo di risolverla.

Non costituiva più un segreto per nessuno che una equazione di grado n si potesse trasformare in un’equazione mancante del termine di grado n-1 ovvero:

a₀xⁿ+ a₁x^n-1 + a₂x^n-2+ …+a_n = 0

L’equazione, operando la sostituzione x=z-a₁/na₀ si trasforma in un’equazione in z che manca del termine di grado n-1.

Ferrari trovò dunque il metodo per risolvere ogni equazione di quarto grado ridotta nella forma:

x⁴+px²+qx+r=0

che Ferrari trasforma, con l’artifico di sommare e sottrarre stesse quantità, in quest’altra ad essa equivalente:

x⁴+2px²+p²= px² – qx – r + p²

ovvero:

(x²+p)² = px² – qx + p² – r

Di qui per ogni y, si ha:

(x²+p +y)² = px² – qx + p² – r +2y(x²+p)+ y²=

=(p +2y)x²– qx + (p² – r +2py+ y²)

A questo punto si può scegliere y di modo che il secondo membro dell’equazione di sopra, che è di secondo grado rispetto ad x, sia un quadrato perfetto. Perché ciò accada deve essere zero il suo discriminante. Deve essere cioè:

4(p +2y)(p² – r +2py+ y²) – q² = 0       (*)

Questa equazione è però una cubica in y e può perciò essere risolta. Una volta determinato y il problema originario è allora ridotto a una doppia estrazione di radice quadrata.

Gerolamo Cardano ebbe così il piacere di incorporare il lavoro di Ludovico Ferrari sulla risoluzione delle equazioni di quarto grado nella sua Ars magna del 1545.

L’equazione (*) si dice cubica associata o anche risolvente. Quindi l’equazione x⁴+ 6x²+ 36 = 60x che risolve il problema di Zuanne ha come cubica associata:

4(6 +2y)(12y+ y²) – 60² = 0

e il calcolo delle sue radici può ben essere affidato ad uno dei programmi presenti in rete, ad esempio: Online Equation Solver di WolframAlpha

Sulle risolventi delle equazioni di quarto grado lavorarono anche François Viète e Cartesio trovandone altre espressioni formali. Di queste e del periodo francese dell’Algebra si dirà in una prossima nota.