Aggregazione Disciplinare Matematica

Aggregazione Disciplinare Matematica

Documento conclusivo

Premessa: la matematica di base

Le competenze trasversali

Obiettivi specifici di apprendimento

Il numero

Lo spazio e le figure

Le relazioni

I dati e le previsioni

Argomentare e congetturare

Misurare

Risolvere e porsi problemi

La matematica nella scuola di base

1. L’educazione matematica deve contribuire a una formazione culturale del cittadino, in modo da consentirgli di partecipare alla vita sociale con consapevolezza e capacità critica. Le competenze del cittadino, al cui raggiungimento concorre l’educazione matematica, sono per esempio: esprimere adeguatamente informazioni, intuire e immaginare, risolvere e porsi problemi, progettare e costruire modelli di situazioni reali, operare scelte in condizioni di incertezza. Infatti, la conoscenza dei linguaggi scientifici, e tra essi in primo luogo di quello matematico, si rivela sempre più essenziale per l’acquisizione di una corretta capacità di giudizio. Per questo la matematica concorre, insieme con le scienze sperimentali, alla formazione di una dimensione culturale scientifica. In particolare, l’insegnamento della matematica deve avviare gradualmente a partire da campi di esperienza  ricchi per l’allievo, all’uso del linguaggio e del ragionamento matematico, come strumenti per l’interpretazione del reale, non unicamente come bagaglio astratto di nozioni. La formazione del curriculum scolastico non può prescindere dal considerare sia la funzione strumentale, sia quella culturale della matematica: strumento essenziale per una comprensione quantitativa della realtà da un lato, e dall’altro sapere logicamente coerente e sistematico, caratterizzato da una forte unità culturale. Entrambe sono essenziali per una formazione equilibrata degli studenti: priva del suo carattere strumentale, la matematica sarebbe un puro gioco di segni senza significato; senza una visione globale, essa diventerebbe una serie di ricette prive di metodo e di giustificazione. I due aspetti si intrecciano ed è necessario che l’insegnante li introduca entrambi in modo equilibrato fin dai primi anni. Dentro a competenze strumentali come contare, eseguire  semplici operazioni aritmetiche sia mentalmente che per iscritto, saper leggere dati rappresentati con una tabella, un istogramma, un diagramma a torta, o un grafico, misurare una grandezza, calcolare una probabilità è infatti sempre presente un aspetto culturale, che collega tali competenze alla storia della nostra civiltà e alla complessa realtà in cui viviamo. D’altra parte l’aspetto culturale che fa riferimento a una serie di conoscenze teoriche, storiche ed epistemologiche, quali la padronanza delle idee fondamentali di una teoria, la capacità di situarle in un processo evolutivo, di riflettere sui principi e sui metodi impiegati, non ha senso senza i riferimenti ai calcoli, al gioco delle ipotesi, ai tentativi ed errori per validarle, ecc che costituiscono il terreno concreto e vivo da cui le conoscenze teoriche della matematica traggono alimento. Per questo entrambi i tipi di competenze costituiscono obiettivi di lungo termine, alcuni dei quali potranno essere conseguiti compiutamente nella scuola secondaria; la loro costruzione si deve però iniziare già nella scuola di base, realizzando una didattica di tipo elicoidale, che riprende gli argomenti approfondendoli di volta in volta. Il nesso profondo tra aspetti strumentali e culturali potrà in particolare essere colto dagli alunni proponendo loro opportune riflessioni storiche, introdotte gradualmente, senza forzature e anticipazioni. Essendo per sua natura di carattere critico, la riflessione storica dovrà infatti attendere che i concetti relativi si siano consolidati, in modo da non generare confusione e quindi incertezza negli scolari. D’altra parte, è importante che non si operino delle forzature, o peggio si inventi una storia inesistente, per adattare le problematiche storiche alle conoscenze degli alunni: la narrazione storica potrà e dovrà essere semplificata, ma non falsata.

Con riferimento alla doppia modalità introdotta sopra, si individuano alcuni nuclei essenziali su cui costruire le competenze matematiche dell’allievo; quattro sono nuclei tematici e caratterizzano i contenuti dell’educazione matematica nella scuola di base: il numero, lo spazio e le figure, le relazioni, i dati e le previsioni. L’insegnante dovrà cercare di svilupparli in modo coordinato, cogliendo ogni occasione di collegamenti interni e con altre discipline. Vi sono poi tre nuclei trasversali, centrati sui processi degli allievi: misurare,  argomentare e congetturare, risolvere e porsi problemi. Il primo consente un approccio corporeo ed esperienziale ai concetti di numero e spazio, in collegamento con le scienze. Il secondo caratterizza le attività che favoriscono il passaggio dalle nozioni intuitive e dai livelli operativi a forme di pensiero più avanzate che, nella scuola superiore, saranno coinvolte nella dimostrazione matematica, nel calcolo algebrico, nell’uso di modelli matematici in contesti vari. Il terzo offre occasioni importanti agli allievi per costruire nuovi concetti e abilità, per arricchire di significati concetti già appresi e per verificare l’operatività degli apprendimenti realizzati in precedenza.

2. Nella Scuola di base la costruzione di competenze matematiche va perseguita in contesti culturalmente ricchi e motivanti, che permettano agli allievi esperienze cognitive significative e consonanti con quelle condotte in altri ambiti: scientifici, linguistici, motori, figurativi, ecc. Occorre comunque avere ben presente che il percorso per il raggiungimento dei concetti matematici e della loro formalizzazione non è lineare, ma passa necessariamente per momenti cruciali che costituiscono salti cognitivi in quanto affrontano concetti che possono costituire ostacoli per l’apprendimento o essere fonte di fraintendimenti e misconcetti. Un tipico esempio è l’introduzione dei decimali o delle frazioni. Ad es., nell’introdurre le moltiplicazioni con i numeri decimali gli allievi si scontrano con l’ostacolo, indotto dal modello dei naturali, che non sempre il prodotto fra due numeri decimali è maggiore dei due fattori; analogamente, nel confronto fra numeri decimali, è bene evidenziare, per esempio, che 0,45 è minore di 0,6 (e non viceversa come alcuni allievi credono sulla base che 6 è minore di 45). Per le frazioni, il modello forte dei naturali anche qui può essere fonte di ostacoli; occorrono interventi didattici opportuni per porvi rimedio; ad es., si sconsiglia di introdurre la procedura di addizione di due numeri razionali rappresentati sotto forma di frazione che fa uso della scomposizione in fattori dei denominatori: è invece opportuno insistere sul concetto di frazioni equivalenti, e far notare che, per addizionare due numeri razionali rappresentati sotto forma di frazioni, è sufficiente trasformare le due frazioni date in frazioni equivalenti, ma aventi lo stesso denominatore.

In tutti questi casi, è comunque fondamentale l’attivazione di esperienze cognitivamente ricche in campi di esperienza significativi per l’allievo, in sinergia con esperienze parallele condotte nei vari ambiti disciplinari; in tali attività sarà essenziale la mediazione del linguaggio naturale, sia parlato che scritto. La trasposizione didattica della matematica va infatti effettuata dall’insegnante nel concreto della sua classe, tenendo conto che la matematica deve essere strutturata opportunamente in campi di problemi, che hanno sia uno statuto epistemologico che cognitivo (ad es., i problemi moltiplicativi  fanno riferimento, da un lato, a un complesso di situazioni concrete in cui gli allievi compiono esperienze cognitive varie; dall’altro, corrispondono a concetti matematicamente rilevanti che gli allievi appunto costruiscono imparando a sintetizzare quanto esperito col linguaggio aritmetico). Gli aspetti ludici possono parimenti favorire situazioni di apprendimento significative per gli allievi e contribuire all’immagine di una matematica dal volto umano.

L’esperienza e la verbalizzazione col linguaggio naturale dovranno precedere la formalizzazione e la riflessione sui sistemi di notazione simbolica propria della matematica. Per esempio prima di imparare a formalizzare una strategia risolutiva per mezzo dei segni dell’aritmetica i bambini dovranno esplorare e operare in campi di esperienza in cui attuare attività di quantificazione utilizzando strumenti e sistemi di rappresentazione che sono caratteristici del campo stesso (il calendario lineare per risolvere problemi legati al tempo;  monete o loro rappresentazioni per risolvere problemi di compravendita di beni….). Analogamente per le conoscenze legate allo spazio e alle figure sarà essenziale l’esplorazione dinamica in contesti vari, supportata eventualmente da opportuni software di geometria dinamica, e l’uso del linguaggio naturale su cui fondare la transizione dalle esperienze alle notazioni matematiche. In alcuni contesti, l’esposizione al linguaggio simbolico potrà anche precedere l’attività di verbalizzazione, purché essa sia funzionale alla possibilità di provocare negli alunni processi interpretativi fruttuosi in relazione alle problematiche del contesto.

In entrambi i casi l’acquisizione di un linguaggio rigoroso deve essere un obiettivo da raggiungere nel lungo periodo e una conquista cui gli allievi giungono, col supporto dell’insegnante, a partire dalle loro concrete produzione verbali, messe a confronto e opportunamente discusse nella classe.

E’ quindi necessario che l’insegnante progetti e realizzi ambienti di apprendimento adeguati nei vari campi di esperienza: in tali ambienti saranno privilegiate l’attività di costruzione e di soluzione di problemi nonché quella di matematizzazione e modellizzazione. In questo contesto è opportuno distinguere tra esercizi, problemi, situazioni da modellizzare. I primi richiedono solo l’applicazione di regole e procedure note e codificate; nei problemi la scelta delle strategie risolutive è lasciata al solutore ed esige un pizzico di fantasia e di inventiva; nella situazione da modellizzare non è nemmeno esplicitata la formulazione delle domande per le quali si intenderebbe cercare una risposta (si parla in questo caso anche di problema aperto). La distinzione è naturalmente relativa al bagaglio di conoscenze degli allievi: ciò che è problema a una data età può diventare esercizio in età successiva. Proporre problemi e situazioni da modellizzare è un’attività che va proposta dai primi anni di scolarità; naturalmente si dovranno alternare momenti di posizione e di risoluzione di problemi con fasi di sistemazione e consolidamento delle conoscenze, dove anche gli esercizi hanno un importante ruolo per l’acquisizione e il consolidamento dei principali automatismi di calcolo e di ragionamento. E’ comunque cruciale che l’insegnante utilizzi problemi e situazioni da modellizzare al fine di mobilitare le risorse intellettuali degli allievi anche al di fuori delle competenze strettamente matematiche, contribuendo in tal modo alla loro formazione  generale.

Grande importanza come mediatori nei processi di acquisizione di conoscenza e nel supporto alla comprensione del nesso tra idee matematiche e cultura assumono i contesti ludici e gli strumenti, dai più semplici, come i materiali manipolabili, il compasso, il righello, fino agli strumenti tecnologici più complessi (tipicamente il computer o le calcolatrici numeriche e simboliche, ma anche le ‘macchine’, nel senso più ampio del termine, dagli orologi al distributore di bibite, ecc). Varie ricerche suggeriscono l’importanza di software che, nella loro interfaccia, rendono disponibili oggetti computazionali con i quali l’alunno può interagire per esplorare un dominio di conoscenza matematico o la matematica che caratterizza un campo di conoscenza extramatematico.

3. Il conseguimento delle competenze e conoscenze sopra elencate richiede tempo e partecipazione attiva degli allievi al progetto formativo. I ritmi dell’azione di insegnamento-apprendimento devono essere adeguati alle reali esigenze degli allievi e non possono essere dettati da programmi caratterizzati da un’eccessiva segmentazione dei contenuti che presuppongano improbabili percorsi quasi indipendenti fra loro. In altri termini, la progettazione dell’insegnante va condotta secondo una logica di una didattica lunga, attenta a garantire agli allievi possibilità di costruzioni di significato per gli oggetti di insegnamento-apprendimento.

I tempi lunghi necessari per l’acquisizione delle competenze matematiche e la loro rilevanza nel quadro formativo della scuola di base richiedono un numero sufficiente di ore dedicate continuativamente a tale ambito e una sua definizione precoce quale disciplina specifica: nella parte terminale del settennio sarà necessario altresì un docente ‘dedicato’.

4.L’ambito matematico-scientifico-tecnologico

La matematica, nei primi due anni della scuola di base, costituisce un ambito con le scienze e la tacnologia. L’insegnamento in tale ambito ha lo scopo di sviluppare la capacità di conoscere e rappresentare in modo via via più consapevole la realtà umana, naturale e del mondo tecnologico.

Il percorso di alfabetizzazione matematico-scientifico-tecnologico non inizia, tuttavia, nella scuola di base, poiché il bambino ha già fatto una serie di esperienze – nella scuola dell’infanzia, in contesti di gioco e di vita familiare e sociale – ed ha già consolidato alcune fondamentali competenze. Verso i sei anni, infatti, egli ha maturato esperienze relativamente a:

-confrontare, ordinare, classificare, porre in relazione oggetti in rapporto a diverse proprietà (estensione, lunghezza, altezza, forma, colore,…), ricorrendo a modi più o meno sistematici;

-utilizzare concretamente semplici strumenti di misura:

-usare simboli per la registrazione:

-risolvere semplici problemi tratti dalla vita quotidiana e di interesse immediato;

-orientarsi nello spazio (sopra/sotto; avanti/indietro::::9 e nel tempo (prima/dopo);

-localizzare persone e oggetti nello spazio;

-rappresentare percorsi ed eseguirli anche dietro semplici indicazioni verbali.

Infine il bambino comincia a formulare semplici ipotesi in ordine e fatti di vita quotidiana.

La scuola di base, nei primi due anni, in piena continuità con le precedenti esperienze del bambino, consolida e sviluppa ulteriormente i traguardi promossi dalla scuola dell’infanzia perseguendo specifici obiettivi di apprendimento nella matematica e nelle scienze, con una forte interconnessione tra loro e con le tecnologie.

L’ambito si configura attraverso il parallelo e ed integrato svolgimento di percorsico-scientifico-tecnologici che rispondono alla imprescindibile esigenza cognitiva del bambino, in modo da intrecciare competenze propriamente scientifiche e di applicazione delle scienze con competenze specificamente formali. Nel capitolo delle attività suggerite, sono presentate esperienze che realizzano la stretta connessione tra i vari “saperi” dell’ambito.

5. La struttura del documento

Il presente documento é suddiviso in 5 parti.

La presente premessa individua alcune linee guida per l’insegnamento della matematica nella scuola di base.

Il secondo punto definisce alcune competenze trasversali per tale ciclo, da raccordare con le analoghe competenze individuate negli altri ambiti.

La terza parte descrive sia i quattro Nuclei fondanti, evidenziando le competenze disciplinari e i relativi contenuti (articolati  secondo la scansione 2+3+2, suggerita dal legislatore quale articolazione nel ciclo di base) sia i tre Nuclei di processo in termini di competenze; i nuclei trasversali non hanno contenuti specifici ma si riferiscono a quelli propri dei quattro nuclei fondanti. Da notare i suggerimenti per l’inserimento di specifiche riflessioni storiche in varie sezioni dei Nuclei, indicate in carattere corsivo.

Conclude il documento una serie di allegati che comprende:

1. una riflessione sui contesti di apprendimento per la matematica;

2. alcune sintetiche considerazioni sulla valutazione specifica in matematica;

3. alcuni orientamenti per l’insegnante;

4. alcune considerazione sull’uso delle tecnologie in matematica

5. una raccolta di esempi di attività didattiche e di laboratorio di matematica corrispondenti alle competenze individuate per i vari nuclei; tali esempi hanno un valore puramente esemplificativo ed esplicativo: leggendoli si comprenderà meglio il significato dei contenuti e delle competenze elencate nei vari nuclei.

Le Competenze Trasversali

Collocare nel tempo e nello spazio

Avere consapevolezza della dimensione storica e della collocazione spaziale di eventi considerati.

Comunicare, comprendere e interpretare informazioni

Individuare forme e strumenti di espressione orali, scritta, grafica o iconica per trasmettere un messaggio.

Cogliere i significati di un messaggio ricevuto.

Costruire ragionamenti

Organizzare il proprio pensiero in modo logico e consequenziale. Esplicitare il proprio pensiero attraverso esemplificazioni e argomentazioni.

Formulare ipotesi e congetture

Intuire gli sviluppi di processi analizzati e di azioni intraprese.

Generalizzare

Individuare regolarità e proprietà in contesti diversi. Astrarre caratteristiche generali e trasferirle in contesti nuovi.

Inventare

Costruire ‘oggetti’ anche simbolici rispondenti a determinate proprietà.

Porre in relazione

Stabilire legami tra fatti, dati, termini.

Porre problemi e progettare possibili soluzioni

Riconoscere situazioni problematiche e individuare al loro interno dati, noti e non noti, e le relazioni esistenti tra essi. Verificarne la risolubilità. Stabilire le strategie e le risorse necessarie per la loro soluzione. Validare gli esiti delle scelte operate.

 Rappresentare

Scegliere forme di presentazione simbolica per rendere evidenti relazioni esistenti tra fatti, dati, termini. Utilizzare forme diverse di rappresentazione, acquisendo capacità di mobilità dall’una all’altra. Operare in situazioni rappresentate.

Obiettivi Specifici Di Apprendimento Relativi Alle Competenze Degli Alunni Alla Conclusione Del Ciclo

Il Numero

In situazioni varie, significative e problematiche, relative alla vita di tutti i giorni, alla matematica e agli altri ambiti disciplinari:

LE FIGURE E LO SPAZIO

In contesti diversi di indagine e di osservazione:

Le Relazioni

In vari contesti matematici e sperimentali:

I DATI E LE PREVISIONI

In situazioni varie, relative alla vita di tutti i giorni e agli altri ambiti disciplinari:

 ARGOMENTARE E CONGETTURARE

In contesti diversi, sperimentali, linguistici e matematici:

RISOLVERE E PORSI PROBLEMI

In diversi contesti sperimentali, linguistici e matematici, in situazioni varie, relative a campi di esperienza scolastici ed extrascolastici:

Il numero

Competenze

In situazioni varie, significative e problematiche, relative alla vita di tutti i giorni, alla matematica e agli altri ambiti disciplinari:

 1° – 2° anno

 Si suggerisce di non introdurre i numeri e le loro operazioni ricorrendo alla teoria degli insiemi, ma partendo dalla realtà concreta degli allievi. Il linguaggio degli insiemi può essere un comodo strumento per esprimere in modo sintetico certi concetti.

 3° – 4° – 5° anno

 (1)      Aspetti storici connessi (ad es. origine e diffusione dei numeri indo-arabi; evoluzione della forma delle cifre, dalle cifre arabe a quelle attuali; sistemi di scrittura non posizionali:le notazioni egizie e i numeri romani)

Si sconsiglia di affrontare in questi tre anni della scuola di base le operazioni e le espressioni con le frazioni. E’ bene, infatti, che i bambini imparino a comprenderne il significato dalla loro scrittura, la quantità che rappresentano, il numero decimale corrispondente l e l’uso in situazioni concrete.

 6° – 7° anno

Lo Spazio e le Figure

Competenze

In contesti diversi di indagine e di osservazione:

 1° – 2° anno

Si consiglia di evitare le definizioni a priori delle figure geometriche

 3° – 4° – 5° anno

Si eviterà di fare ricorso a formule di aree di poligoni più complessi attraverso l’uso dei numeri fissi.

  6° – 7° anno

(1)    Aspetti storici connessi: il metodo di Eratostene per la misura del raggio della terra
(2)     La misura a distanza nella geometria medioevale
(3)     Determinazione di alcuni valori di ?

Le relazioni

Competenze

In vari contesti matematici e sperimentali:

  1° – 2° anno

 3° – 4° – 5° anno

 6° – 7° anno

Si limiterà la memorizzazione di formule, abituando i ragazzi a ricavare formule inverse

I Dati e le Previsioni

Competenze

In situazioni varie, relative alla vita di tutti i giorni e agli altri ambiti disciplinari:

1° -2° anno

 3° – 4°- 5° anno

(1)   Aspetti storici connessi: Le prime tavole statistiche sulla natalità e mortalità, battesimi ed epidemie,  nell’Inghilterra del 1600

Gli eventi incerti e le predizioni al tempo dei Greci e di popoli antichi

6° -7° anno

(1)     Aspetti storici connessi: Questioni probabilistiche nel passato (ad es. I primi giochi con i dadi nella Francia del 1600)

Argomentare e Congetturare

Competenze

In contesti diversi, sperimentali, linguistici e matematici:

Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

 1° – 3° anno

 3° – 4° -5° anno

6° – 7° anno

Misurare

Competenze

Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

1° – 2° anno

3° – 4° – 5° anno

Si eviterà di fare apprendere le relazioni tra le unità campione nei sistemi di misura utilizzati in modo meccanico e ripetitivo, sganciato da processi operativi concreti in contesti significativi

6° – 7° anno

Risolvere e porsi problemi

Competenze

Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

Gli obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni, soprattutto per quanto riguarda i problemi, difficilmente possono essere conseguiti in tempi medio-brevi. Per tale motivo, tutti gli obiettivi elencati in un determinato ciclo della scuola di base, devono essere considerati caratterizzanti anche per il ciclo successivo. Ciò deve essere tenuto presente nella lettura delle tabelle che seguono, anche se in esse, per semplificare la lettura, si è evitato di ripetere, per ogni ciclo, gli obiettivi elencati nel precedente

1° – 2° anno

3° – 4° – 5° anno

6° – 7° anno

A ogni livello scolastico il risolvere problemi offre occasioni importanti agli allievi per costruire nuovi concetti e abilità, per arricchire di significati concetti già appresi e per verificare l’operatività degli apprendimenti realizzati in precedenza. Affinché il porre e risolvere problemi sia effettivamente utile a mobilitare risorse intellettuali anche al di fuori delle competenze strettamente matematiche, contribuendo in tal modo alla formazione  generale degli allievi, è necessario che quelli  proposti siano autentici problemi per gli allievi e non semplici esercizi a carattere ripetitivo.