Aggregazione Disciplinare Matematica

Aggregazione Disciplinare Matematica

Aggregazione Disciplinare Matematica

Documento conclusivo

Premessa: la matematica di base

Le competenze trasversali

Obiettivi specifici di apprendimento

Il numero

Lo spazio e le figure

Le relazioni

I dati e le previsioni

Argomentare e congetturare

Misurare

Risolvere e porsi problemi

La matematica nella scuola di base

1. L’educazione matematica deve contribuire a una formazione culturale del cittadino, in modo da consentirgli di partecipare alla vita sociale con consapevolezza e capacità critica. Le competenze del cittadino, al cui raggiungimento concorre l’educazione matematica, sono per esempio: esprimere adeguatamente informazioni, intuire e immaginare, risolvere e porsi problemi, progettare e costruire modelli di situazioni reali, operare scelte in condizioni di incertezza. Infatti, la conoscenza dei linguaggi scientifici, e tra essi in primo luogo di quello matematico, si rivela sempre più essenziale per l’acquisizione di una corretta capacità di giudizio. Per questo la matematica concorre, insieme con le scienze sperimentali, alla formazione di una dimensione culturale scientifica. In particolare, l’insegnamento della matematica deve avviare gradualmente a partire da campi di esperienza  ricchi per l’allievo, all’uso del linguaggio e del ragionamento matematico, come strumenti per l’interpretazione del reale, non unicamente come bagaglio astratto di nozioni. La formazione del curriculum scolastico non può prescindere dal considerare sia la funzione strumentale, sia quella culturale della matematica: strumento essenziale per una comprensione quantitativa della realtà da un lato, e dall’altro sapere logicamente coerente e sistematico, caratterizzato da una forte unità culturale. Entrambe sono essenziali per una formazione equilibrata degli studenti: priva del suo carattere strumentale, la matematica sarebbe un puro gioco di segni senza significato; senza una visione globale, essa diventerebbe una serie di ricette prive di metodo e di giustificazione. I due aspetti si intrecciano ed è necessario che l’insegnante li introduca entrambi in modo equilibrato fin dai primi anni. Dentro a competenze strumentali come contare, eseguire  semplici operazioni aritmetiche sia mentalmente che per iscritto, saper leggere dati rappresentati con una tabella, un istogramma, un diagramma a torta, o un grafico, misurare una grandezza, calcolare una probabilità è infatti sempre presente un aspetto culturale, che collega tali competenze alla storia della nostra civiltà e alla complessa realtà in cui viviamo. D’altra parte l’aspetto culturale che fa riferimento a una serie di conoscenze teoriche, storiche ed epistemologiche, quali la padronanza delle idee fondamentali di una teoria, la capacità di situarle in un processo evolutivo, di riflettere sui principi e sui metodi impiegati, non ha senso senza i riferimenti ai calcoli, al gioco delle ipotesi, ai tentativi ed errori per validarle, ecc che costituiscono il terreno concreto e vivo da cui le conoscenze teoriche della matematica traggono alimento. Per questo entrambi i tipi di competenze costituiscono obiettivi di lungo termine, alcuni dei quali potranno essere conseguiti compiutamente nella scuola secondaria; la loro costruzione si deve però iniziare già nella scuola di base, realizzando una didattica di tipo elicoidale, che riprende gli argomenti approfondendoli di volta in volta. Il nesso profondo tra aspetti strumentali e culturali potrà in particolare essere colto dagli alunni proponendo loro opportune riflessioni storiche, introdotte gradualmente, senza forzature e anticipazioni. Essendo per sua natura di carattere critico, la riflessione storica dovrà infatti attendere che i concetti relativi si siano consolidati, in modo da non generare confusione e quindi incertezza negli scolari. D’altra parte, è importante che non si operino delle forzature, o peggio si inventi una storia inesistente, per adattare le problematiche storiche alle conoscenze degli alunni: la narrazione storica potrà e dovrà essere semplificata, ma non falsata.

 

Con riferimento alla doppia modalità introdotta sopra, si individuano alcuni nuclei essenziali su cui costruire le competenze matematiche dell’allievo; quattro sono nuclei tematici e caratterizzano i contenuti dell’educazione matematica nella scuola di base: il numero, lo spazio e le figure, le relazioni, i dati e le previsioni. L’insegnante dovrà cercare di svilupparli in modo coordinato, cogliendo ogni occasione di collegamenti interni e con altre discipline. Vi sono poi tre nuclei trasversali, centrati sui processi degli allievi: misurare,  argomentare e congetturare, risolvere e porsi problemi. Il primo consente un approccio corporeo ed esperienziale ai concetti di numero e spazio, in collegamento con le scienze. Il secondo caratterizza le attività che favoriscono il passaggio dalle nozioni intuitive e dai livelli operativi a forme di pensiero più avanzate che, nella scuola superiore, saranno coinvolte nella dimostrazione matematica, nel calcolo algebrico, nell’uso di modelli matematici in contesti vari. Il terzo offre occasioni importanti agli allievi per costruire nuovi concetti e abilità, per arricchire di significati concetti già appresi e per verificare l’operatività degli apprendimenti realizzati in precedenza.

 

2. Nella Scuola di base la costruzione di competenze matematiche va perseguita in contesti culturalmente ricchi e motivanti, che permettano agli allievi esperienze cognitive significative e consonanti con quelle condotte in altri ambiti: scientifici, linguistici, motori, figurativi, ecc. Occorre comunque avere ben presente che il percorso per il raggiungimento dei concetti matematici e della loro formalizzazione non è lineare, ma passa necessariamente per momenti cruciali che costituiscono salti cognitivi in quanto affrontano concetti che possono costituire ostacoli per l’apprendimento o essere fonte di fraintendimenti e misconcetti. Un tipico esempio è l’introduzione dei decimali o delle frazioni. Ad es., nell’introdurre le moltiplicazioni con i numeri decimali gli allievi si scontrano con l’ostacolo, indotto dal modello dei naturali, che non sempre il prodotto fra due numeri decimali è maggiore dei due fattori; analogamente, nel confronto fra numeri decimali, è bene evidenziare, per esempio, che 0,45 è minore di 0,6 (e non viceversa come alcuni allievi credono sulla base che 6 è minore di 45). Per le frazioni, il modello forte dei naturali anche qui può essere fonte di ostacoli; occorrono interventi didattici opportuni per porvi rimedio; ad es., si sconsiglia di introdurre la procedura di addizione di due numeri razionali rappresentati sotto forma di frazione che fa uso della scomposizione in fattori dei denominatori: è invece opportuno insistere sul concetto di frazioni equivalenti, e far notare che, per addizionare due numeri razionali rappresentati sotto forma di frazioni, è sufficiente trasformare le due frazioni date in frazioni equivalenti, ma aventi lo stesso denominatore.

In tutti questi casi, è comunque fondamentale l’attivazione di esperienze cognitivamente ricche in campi di esperienza significativi per l’allievo, in sinergia con esperienze parallele condotte nei vari ambiti disciplinari; in tali attività sarà essenziale la mediazione del linguaggio naturale, sia parlato che scritto. La trasposizione didattica della matematica va infatti effettuata dall’insegnante nel concreto della sua classe, tenendo conto che la matematica deve essere strutturata opportunamente in campi di problemi, che hanno sia uno statuto epistemologico che cognitivo (ad es., i problemi moltiplicativi  fanno riferimento, da un lato, a un complesso di situazioni concrete in cui gli allievi compiono esperienze cognitive varie; dall’altro, corrispondono a concetti matematicamente rilevanti che gli allievi appunto costruiscono imparando a sintetizzare quanto esperito col linguaggio aritmetico). Gli aspetti ludici possono parimenti favorire situazioni di apprendimento significative per gli allievi e contribuire all’immagine di una matematica dal volto umano.

L’esperienza e la verbalizzazione col linguaggio naturale dovranno precedere la formalizzazione e la riflessione sui sistemi di notazione simbolica propria della matematica. Per esempio prima di imparare a formalizzare una strategia risolutiva per mezzo dei segni dell’aritmetica i bambini dovranno esplorare e operare in campi di esperienza in cui attuare attività di quantificazione utilizzando strumenti e sistemi di rappresentazione che sono caratteristici del campo stesso (il calendario lineare per risolvere problemi legati al tempo;  monete o loro rappresentazioni per risolvere problemi di compravendita di beni….). Analogamente per le conoscenze legate allo spazio e alle figure sarà essenziale l’esplorazione dinamica in contesti vari, supportata eventualmente da opportuni software di geometria dinamica, e l’uso del linguaggio naturale su cui fondare la transizione dalle esperienze alle notazioni matematiche. In alcuni contesti, l’esposizione al linguaggio simbolico potrà anche precedere l’attività di verbalizzazione, purché essa sia funzionale alla possibilità di provocare negli alunni processi interpretativi fruttuosi in relazione alle problematiche del contesto.

In entrambi i casi l’acquisizione di un linguaggio rigoroso deve essere un obiettivo da raggiungere nel lungo periodo e una conquista cui gli allievi giungono, col supporto dell’insegnante, a partire dalle loro concrete produzione verbali, messe a confronto e opportunamente discusse nella classe.

E’ quindi necessario che l’insegnante progetti e realizzi ambienti di apprendimento adeguati nei vari campi di esperienza: in tali ambienti saranno privilegiate l’attività di costruzione e di soluzione di problemi nonché quella di matematizzazione e modellizzazione. In questo contesto è opportuno distinguere tra esercizi, problemi, situazioni da modellizzare. I primi richiedono solo l’applicazione di regole e procedure note e codificate; nei problemi la scelta delle strategie risolutive è lasciata al solutore ed esige un pizzico di fantasia e di inventiva; nella situazione da modellizzare non è nemmeno esplicitata la formulazione delle domande per le quali si intenderebbe cercare una risposta (si parla in questo caso anche di problema aperto). La distinzione è naturalmente relativa al bagaglio di conoscenze degli allievi: ciò che è problema a una data età può diventare esercizio in età successiva. Proporre problemi e situazioni da modellizzare è un’attività che va proposta dai primi anni di scolarità; naturalmente si dovranno alternare momenti di posizione e di risoluzione di problemi con fasi di sistemazione e consolidamento delle conoscenze, dove anche gli esercizi hanno un importante ruolo per l’acquisizione e il consolidamento dei principali automatismi di calcolo e di ragionamento. E’ comunque cruciale che l’insegnante utilizzi problemi e situazioni da modellizzare al fine di mobilitare le risorse intellettuali degli allievi anche al di fuori delle competenze strettamente matematiche, contribuendo in tal modo alla loro formazione  generale.

Grande importanza come mediatori nei processi di acquisizione di conoscenza e nel supporto alla comprensione del nesso tra idee matematiche e cultura assumono i contesti ludici e gli strumenti, dai più semplici, come i materiali manipolabili, il compasso, il righello, fino agli strumenti tecnologici più complessi (tipicamente il computer o le calcolatrici numeriche e simboliche, ma anche le ‘macchine’, nel senso più ampio del termine, dagli orologi al distributore di bibite, ecc). Varie ricerche suggeriscono l’importanza di software che, nella loro interfaccia, rendono disponibili oggetti computazionali con i quali l’alunno può interagire per esplorare un dominio di conoscenza matematico o la matematica che caratterizza un campo di conoscenza extramatematico.

 

3. Il conseguimento delle competenze e conoscenze sopra elencate richiede tempo e partecipazione attiva degli allievi al progetto formativo. I ritmi dell’azione di insegnamento-apprendimento devono essere adeguati alle reali esigenze degli allievi e non possono essere dettati da programmi caratterizzati da un’eccessiva segmentazione dei contenuti che presuppongano improbabili percorsi quasi indipendenti fra loro. In altri termini, la progettazione dell’insegnante va condotta secondo una logica di una didattica lunga, attenta a garantire agli allievi possibilità di costruzioni di significato per gli oggetti di insegnamento-apprendimento.

I tempi lunghi necessari per l’acquisizione delle competenze matematiche e la loro rilevanza nel quadro formativo della scuola di base richiedono un numero sufficiente di ore dedicate continuativamente a tale ambito e una sua definizione precoce quale disciplina specifica: nella parte terminale del settennio sarà necessario altresì un docente ‘dedicato’.

 

4.L’ambito matematico-scientifico-tecnologico

 

La matematica, nei primi due anni della scuola di base, costituisce un ambito con le scienze e la tacnologia. L’insegnamento in tale ambito ha lo scopo di sviluppare la capacità di conoscere e rappresentare in modo via via più consapevole la realtà umana, naturale e del mondo tecnologico.

Il percorso di alfabetizzazione matematico-scientifico-tecnologico non inizia, tuttavia, nella scuola di base, poiché il bambino ha già fatto una serie di esperienze – nella scuola dell’infanzia, in contesti di gioco e di vita familiare e sociale – ed ha già consolidato alcune fondamentali competenze. Verso i sei anni, infatti, egli ha maturato esperienze relativamente a:

-confrontare, ordinare, classificare, porre in relazione oggetti in rapporto a diverse proprietà (estensione, lunghezza, altezza, forma, colore,…), ricorrendo a modi più o meno sistematici;

-utilizzare concretamente semplici strumenti di misura:

-usare simboli per la registrazione:

-risolvere semplici problemi tratti dalla vita quotidiana e di interesse immediato;

-orientarsi nello spazio (sopra/sotto; avanti/indietro::::9 e nel tempo (prima/dopo);

-localizzare persone e oggetti nello spazio;

-rappresentare percorsi ed eseguirli anche dietro semplici indicazioni verbali.

Infine il bambino comincia a formulare semplici ipotesi in ordine e fatti di vita quotidiana.

 

La scuola di base, nei primi due anni, in piena continuità con le precedenti esperienze del bambino, consolida e sviluppa ulteriormente i traguardi promossi dalla scuola dell’infanzia perseguendo specifici obiettivi di apprendimento nella matematica e nelle scienze, con una forte interconnessione tra loro e con le tecnologie.

L’ambito si configura attraverso il parallelo e ed integrato svolgimento di percorsico-scientifico-tecnologici che rispondono alla imprescindibile esigenza cognitiva del bambino, in modo da intrecciare competenze propriamente scientifiche e di applicazione delle scienze con competenze specificamente formali. Nel capitolo delle attività suggerite, sono presentate esperienze che realizzano la stretta connessione tra i vari “saperi” dell’ambito.

 

5. La struttura del documento

Il presente documento é suddiviso in 5 parti.

La presente premessa individua alcune linee guida per l’insegnamento della matematica nella scuola di base.

Il secondo punto definisce alcune competenze trasversali per tale ciclo, da raccordare con le analoghe competenze individuate negli altri ambiti.

La terza parte descrive sia i quattro Nuclei fondanti, evidenziando le competenze disciplinari e i relativi contenuti (articolati  secondo la scansione 2+3+2, suggerita dal legislatore quale articolazione nel ciclo di base) sia i tre Nuclei di processo in termini di competenze; i nuclei trasversali non hanno contenuti specifici ma si riferiscono a quelli propri dei quattro nuclei fondanti. Da notare i suggerimenti per l’inserimento di specifiche riflessioni storiche in varie sezioni dei Nuclei, indicate in carattere corsivo.

Conclude il documento una serie di allegati che comprende:

1. una riflessione sui contesti di apprendimento per la matematica;

2. alcune sintetiche considerazioni sulla valutazione specifica in matematica;

3. alcuni orientamenti per l’insegnante;

4. alcune considerazione sull’uso delle tecnologie in matematica

5. una raccolta di esempi di attività didattiche e di laboratorio di matematica corrispondenti alle competenze individuate per i vari nuclei; tali esempi hanno un valore puramente esemplificativo ed esplicativo: leggendoli si comprenderà meglio il significato dei contenuti e delle competenze elencate nei vari nuclei.

 

Le Competenze Trasversali

 

 

Collocare nel tempo e nello spazio

 

Avere consapevolezza della dimensione storica e della collocazione spaziale di eventi considerati.

 

Comunicare, comprendere e interpretare informazioni

 

Individuare forme e strumenti di espressione orali, scritta, grafica o iconica per trasmettere un messaggio.

Cogliere i significati di un messaggio ricevuto.

 

Costruire ragionamenti

 

Organizzare il proprio pensiero in modo logico e consequenziale. Esplicitare il proprio pensiero attraverso esemplificazioni e argomentazioni.

 

Formulare ipotesi e congetture

 

Intuire gli sviluppi di processi analizzati e di azioni intraprese.

 

Generalizzare

 

Individuare regolarità e proprietà in contesti diversi. Astrarre caratteristiche generali e trasferirle in contesti nuovi.

 

Inventare

 

Costruire ‘oggetti’ anche simbolici rispondenti a determinate proprietà.

 

Porre in relazione

 

Stabilire legami tra fatti, dati, termini.

 

Porre problemi e progettare possibili soluzioni

 

Riconoscere situazioni problematiche e individuare al loro interno dati, noti e non noti, e le relazioni esistenti tra essi. Verificarne la risolubilità. Stabilire le strategie e le risorse necessarie per la loro soluzione. Validare gli esiti delle scelte operate.

 

 Rappresentare

 

Scegliere forme di presentazione simbolica per rendere evidenti relazioni esistenti tra fatti, dati, termini. Utilizzare forme diverse di rappresentazione, acquisendo capacità di mobilità dall’una all’altra. Operare in situazioni rappresentate.

 

Obiettivi Specifici Di Apprendimento Relativi Alle Competenze Degli Alunni Alla Conclusione Del Ciclo

Il Numero

In situazioni varie, significative e problematiche, relative alla vita di tutti i giorni, alla matematica e agli altri ambiti disciplinari:

comprendere il significato dei numeri, i modi per rappresentarli, il valore posizionale delle cifre nei numeri naturali e decimali

comprendere il significato delle operazioni

operare tra numeri mentalmente, per iscritto e con strumenti di calcolo

usare il ragionamento aritmetico e la modellizzazione numerica per risolvere semplici problemi tratti dal mondo reale o interni alla matematica

LE FIGURE E LO SPAZIO

In contesti diversi di indagine e di osservazione:

esplorare, descrivere e rappresentare lo spazio

riconoscere e descrivere le principali figure piane e solide

utilizzare le trasformazioni geometriche per operare su figure

determinare lunghezze, aree volumi

usare la visualizzazione, il ragionamento spaziale e la modellizzazione geometrica per risolvere problemi del mondo reale o interni alla matematica

sviluppare argomenti e semplici concatenazioni di proposizioni in ambiente geometrico

Le Relazioni

In vari contesti matematici e sperimentali:

Individuare relazioni tra elementi e rappresentarle

mettere in relazione

utilizzare forme diverse di rappresentazione

classificare e ordinare in base a determinate proprietà e relazioni

utilizzare lettere e formule per generalizzare o per astrarr

individuare funzioni

usare coordinate cartesiane, diagrammi e tabelle per rappresentare relazioni e funzioni

rappresentare ed interpretare legami di proporzionalità diretta, inversa e dipendenza quadratica

I DATI E LE PREVISIONI

In situazioni varie, relative alla vita di tutti i giorni e agli altri ambiti disciplinari:

organizzare una ricerca: formulare domande, raccogliere informazioni quantitative, reperire, organizzare e rappresentare i dati

interpretare i dati usando i metodi statistici

sviluppare e valutare inferenze, previsioni ed argomentazioni basate sui dati.

effettuare valutazioni di probabilità di eventi mediante conteggio dei casi favorevoli e di quelli possibili o rilevando di frequenze relative.

 ARGOMENTARE E CONGETTURARE

In contesti diversi, sperimentali, linguistici e matematici:

osservare individuare e descrivere regolarità

produrre congetture

verificare le congetture prodotte testandole su casi particolari

validare le congetture prodotte, sia empiricamente, sia mediante argomentazioni, sia ricorrendo a eventuali controesempi

caratterizzare oggetti  matematici mediante le proprietà di cui godono e confrontare tali caratterizzazioni con le loro definizioni

giustificare le proprie idee durante una discussione matematica anche con semplici concatenazioni di proposizioni

RISOLVERE E PORSI PROBLEMI

In diversi contesti sperimentali, linguistici e matematici, in situazioni varie, relative a campi di esperienza scolastici ed extrascolastici:

riconoscere e rappresentare situazioni problematiche

avviare, discutere e comunicare strategie risolutive

risolvere problemi posti da altri

porsi e risolvere problemi

Il numero

Competenze

In situazioni varie, significative e problematiche, relative alla vita di tutti i giorni, alla matematica e agli altri ambiti disciplinari:

comprendere il significato dei numeri, i modi per rappresentarli, il valore posizionale delle cifre nei numeri naturali e decimali

comprendere il significato delle operazioni

operare tra numeri mentalmente, per iscritto e con strumenti di calcolo

usare il ragionamento aritmetico e la modellizzazione numerica per risolvere semplici problemi tratti dal mondo reale o interni alla matematica

 1° – 2° anno

 Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

 Contenuti essenziali

·    Contare sia in senso progressivo che regressivo

·    Contare oggetti e confrontare raggruppamenti di oggetti

·    Confrontare e ordinare numeri, sviluppandone il senso della grandezza; collocare numeri sulla retta

·    Leggere e scrivere numeri in base dieci

·    Usare consapevolmente i numeri nelle situazioni quotidiane in cui sono coinvolte grandezze e misure (lunghezze, pesi, costi ecc.)

·    Esplorare e risolvere situazioni problematiche che richiedono addizioni e sottrazioni, individuando le operazioni  adatte a risolvere il problema; comprendere il significato delle operazioni

·    Verbalizzare le strategie risolutive e usare i simboli dell’aritmetica per rappresentarle

·    Collegare le operazioni (addizione / sottrazione) tra numeri ad operazioni tra grandezze (lunghezze, pesi, costi ecc.)

·    Calcolare il risultato di semplici addizioni e sottrazioni, usando metodi e strumenti diversi in situazioni concrete

·    Eseguire semplici calcoli mentali con addizioni e sottrazioni

·    Eseguire semplici operazioni  del tipo :doppio/metà; triplo/un terzo

 ·    Numeri naturali

·    Rappresentazione dei numeri naturali in base dieci

·    Addizione e sottrazione tra numeri naturali

 Si suggerisce di non introdurre i numeri e le loro operazioni ricorrendo alla teoria degli insiemi, ma partendo dalla realtà concreta degli allievi. Il linguaggio degli insiemi può essere un comodo strumento per esprimere in modo sintetico certi concetti.

 3° – 4° – 5° anno

 Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

 Contenuti essenziali

 ·    Esplorare  situazioni problematiche che richiedono moltiplicazioni e divisioni tra numeri naturali

·    Verbalizzare le strategie risolutive scelte per la risoluzione dei problemi e usare i simboli dell’aritmetica per rappresentarle

·    Calcolare il risultato di semplici moltiplicazioni e divisioni

·    Eseguire semplici calcoli mentali con moltiplicazioni e divisioni, utilizzando le tabelline e la proprietà distributiva

·    Riconoscere e costruire relazioni tra numeri naturali (multipli, divisori)

·    Comprendere i significati delle frazioni (parti di un tutto unità, parti di una collezione)

·    Riconoscere scritture diverse (frazione decimale, numero decimale) dello stesso numero, dando particolare rilievo alla notazione decimal

·    Comprendere il significato e l’uso dello zero e della virgola

·    Comprendere il significato del valore posizionale delle cifre nel numero naturale e nel numero decimale (1)

·    Confrontare e ordinare numeri decimali

·    Comprendere il significato dei numeri interi relativi attraverso applicazioni in contesti conosciuti

·    Rappresentare i numeri naturali, i decimali e gli interi relativi sulla retta

·    Riconoscere le differenze tra diversi sistemi di      numerazione (es. additivo, posizionale); utilizzare i sistemi numerici necessari per esprimere misure di tempo e di angoli

·    Eseguire addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni con padronanza degli algoritmi, usando metodi e strumenti diversi (calcolo mentale, carta e matita, abaco, calcolatrici, …); controllare la correttezza del calcolo, stimando l’ordine di grandezza).

·    Modellizzare e risolvere situazioni problematiche in campi diversi di esperienza con il ricorso a numeri e operazioni in notazioni diverse (es. percentuali)

·    Costruire e rappresentare semplici sequenze di operazioni tra interi

 ·    Moltiplicazione e divisione tra numeri naturali

·    Proprietà dei numeri. Il numero zero e il numero uno

·    Numeri decimali, frazioni

·    Scrittura posizionale dei numeri naturali e decimali

·    Operazioni tra numeri decimali

·    Numeri interi relativi

·    Addizione e sottrazione tra numeri interi relativi

·    Proprietà delle operazioni

·    Composizione di operazioni e significato delle parentesi.

 (1)      Aspetti storici connessi (ad es. origine e diffusione dei numeri indo-arabi; evoluzione della forma delle cifre, dalle cifre arabe a quelle attuali; sistemi di scrittura non posizionali:le notazioni egizie e i numeri romani)

Si sconsiglia di affrontare in questi tre anni della scuola di base le operazioni e le espressioni con le frazioni. E’ bene, infatti, che i bambini imparino a comprenderne il significato dalla loro scrittura, la quantità che rappresentano, il numero decimale corrispondente l e l’uso in situazioni concrete.

 6° – 7° anno

Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

 Contenuti essenziali

·   Comprendere il significato di elevamento a potenza e le proprietà di tale operazione: elevare a potenza numeri naturali e interi

·    Leggere e scrivere numeri  (naturali e decimali) in base dieci usando la notazione polinomiale

·   Scomporre in fattori primi un numero naturale, anche con l’ausilio della calcolatrice

·   Determinare il massimo comune divisore ed il minimo comune multiplo di due numeri naturali

·   Comprendere i significati delle frazioni come rapporto e come quoziente di numeri interi

·    Modellizzare e risolvere situazioni problematiche in campi diversi di esperienza, anche  con il ricorso alle proporzioni

·    Riconoscere frazioni equivalenti

·    Confrontare numeri razionali e rappresentarli sulla retta

·    Eseguire semplici calcoli con numeri razionali usando metodi e strumenti diversi (calcolo mentale, carta e matita, calcolatrici)

·    Comprendere il significato di radice quadrata, come operazione inversa dell’elevamento al quadrato

·    Effettuare semplici sequenze di calcoli approssimati

 ·    Potenze di numeri naturali e interi

·    Numeri primi

·    Massimo comune divisore e minimo comune multiplo

·    Rapporti e proporzioni

·    Frazioni equivalenti

·    Numeri razionali

·    Confronto tra numeri razionali

·    Operazioni tra numeri razionali

Lo Spazio e le Figure

Competenze

In contesti diversi di indagine e di osservazione:

esplorare, descrivere e rappresentare lo spazio
riconoscere e descrivere le principali figure piane e solide
utilizzare le trasformazioni geometriche per operare su figure
determinare lunghezze, aree volumi
usare la visualizzazione, il ragionamento spaziale e la modellizzazione geometrica per risolvere problemi del mondo reale o interni alla matematica
sviluppare argomenti e semplici concatenazioni di proposizioni in ambiente geometrico

 1° – 2° anno

 Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

 Contenuti essenziali
·     Riconoscere e descrivere alcune delle principali relazioni spaziali (sopra/sotto, davanti/dietro, dentro/fuori, …)

·     Eseguire un semplice percorso partendo dalla descrizione verbale o dal disegno e viceversa.

·     Riconoscere, nel mondo circostante e nel disegno, alcune delle principali forme geometriche del piano e dello spazio, riflettendo sulle relazioni tra forma e uso

·     Progettare e costruire oggetti con forme semplici

 

 ·     Collocazione di oggetti in un ambiente.

·     Mappe, piantine e orientamento.

·     Le prime figure del piano e dello spazio (triangolo, quadrato, cubo…)

 

Si consiglia di evitare le definizioni a priori delle figure geometriche

 3° – 4° – 5° anno

Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

 Contenuti essenziali
·     Costruire e disegnare con strumenti vari le principali figure geometriche

·     Individuare gli elementi significativi di una figura (lato, angolo, altezza…)

·     Individuare simmetrie in oggetti e figure date; realizzarle e rappresentarle col disegno

·     Effettuare traslazioni e rotazioni (movimenti rigidi) di oggetti e figure

·     Usare in maniera operativa, in contesti diversi, il concetto di angolo (anche mediante rotazioni)

·     Conoscere le principali proprietà delle figure geometriche

·     Riconoscere figure equiscomponibili e usare il concetto di equiscomponibilità per la determinazione di aree e di volumi in casi semplici, senza ricavare formule

·     Calcolare perimetri, aree e volumi delle più semplici figure geometriche

·     Utilizzare il piano cartesiano per localizzare punti e figure

·     Utilizzare, in vari contesti, software di geometria dinamica

 

 ·     Le principali figure del piano e dello spazio

·     I principali enti geometrici

·     Simmetrie, traslazioni, rotazioni

·     Gli angoli e la loro ampiezza

·     Rette incidenti, parallele, perpendicolari

·     Uguaglianza tra figure

·     Scomposizione e ricomposizione di poligoni

·     Semplici scomposizioni di figure spaziali

·     Equivalenza di figure

·     Unità di misura di lunghezze, aree e volumi

·     Perimetro di poligoni

·     Area di semplici poligoni

·     Volume di semplici solidi

·     Sistema di riferimento cartesiano

Si eviterà di fare ricorso a formule di aree di poligoni più complessi attraverso l’uso dei numeri fissi.

  6° – 7° anno

Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

 Contenuti essenziali
·     Visualizzare oggetti tridimensionali a partire da una rappresentazione bidimensionale e, viceversa, rappresentare su un piano una figura solida

·     Riconoscere grandezze proporzionali e figure simili in vari contesti (1)

·     Risolvere problemi, usando con  proprietà geometriche delle figure  ed , eventualmente, software di geometria dinamica

·     Riconoscere figure uguali e descrivere le isometrie necessarie per portarle a coincidere

·     Riprodurre in scala

·     Misurare da lontano (ad esempio l’altezza di una torre) (2)

·     Calcolare perimetri, aree e volumi delle principali figure

·     Calcolare lunghezze di circonferenze e aree di cerchi (3)

 

 ·     Rappresentazione piana di figure solide

·     Rapporto tra grandezze

·     Somma degli angoli di un triangolo e di un poligono

·     Teorema di Pitagora

·     Traslazioni, rotazioni, simmetrie

·     Lunghezza della circonferenza e area del cerchio

·     Descrizione di alcuni numeri irrazionali

 

 

(1)    Aspetti storici connessi: il metodo di Eratostene per la misura del raggio della terra
(2)     La misura a distanza nella geometria medioevale
(3)     Determinazione di alcuni valori di ?

Le relazioni

Competenze

In vari contesti matematici e sperimentali:

Individuare relazioni tra elementi e rappresentarle
mettere in relazione
utilizzare forme diverse di rappresentazione
classificare e ordinare in base a determinate proprietà e relazioni
utilizzare lettere e formule per generalizzare o per astrarre
individuare funzioni
usare coordinate cartesiane, diagrammi e tabelle per rappresentare relazioni e funzioni
rappresentare ed interpretare legami di proporzionalità diretta, inversa e dipendenza quadratica

  1° – 2° anno

 Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

 Contenuti essenziali
 ·     In situazioni concrete, classificare oggetti, figure, numeri in base a una data proprietà e, viceversa; indicare una proprietà che spieghi una data classificazione  ·     Relazioni (equivalenze, ordinamenti) e prime loro rappresentazioni·     Semplici relazioni tra numeri naturali
·     In situazioni concrete, ordinare elementi in base a una determinata grandezza e riconoscere ordinamenti dati
·     Scoprire semplici relazioni tra numeri a partire da esperienze concrete

 3° – 4° – 5° anno

Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

 Contenuti essenziali
 ·     Rappresentare dati numerici·     Classificare oggetti, figure, numeri in base a due o più proprietà e realizzare adeguate rappresentazioni delle stesse classificazioni

·     Sapere passare da una rappresentazione all’altra Utilizzare simboli adeguati per indicare relazioni d’ordine tra numeri (>, <)

 

 ·     Relazioni e loro rappresentazioni (tabelle, frecce, piano cartesiano)·     Rappresentazioni di insiemi e relazioni con diagrammi di vario tipo

·     Equivalenze, ordinamenti

 6° – 7° anno

Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

 Contenuti essenziale
 ·     In contesti vari, individuare, descrivere e costruire relazioni significative: riconoscere analogie e differenze·     Combinare in vario modo elementi di un insieme

·     Utilizzare le lettere per esprimere in forma generale semplici proprietà e regolarità numeriche

·     Costruire, leggere e interpretare formule

·     Riconoscere in fatti e fenomeni relazioni tra grandezze

·     Usare coordinate cartesiane, diagrammi, tabelle per rappresentare relazioni e funzioni

·     Usare modelli dati o costruire semplici modelli per descrivere fenomeni ed effettuare previsioni

 ·     Alcune relazioni significative (essere uguale a, essere multiplo di, essere maggiore di, essere parallelo o perpendicolare a, …)·     Semplici questioni di tipo combinatorio

·     Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

·    Funzioni: tabulazioni e grafici

·    Funzioni del tipo y=ax, y=a/x, y=ax2e loro rappresentazione grafica

·    Semplici modelli di fatti sperimentali e di leggi matematiche.

Si limiterà la memorizzazione di formule, abituando i ragazzi a ricavare formule inverse

 

I Dati e le Previsioni

Competenze

In situazioni varie, relative alla vita di tutti i giorni e agli altri ambiti disciplinari:

organizzare una ricerca: formulare domande, raccogliere informazioni quantitative, reperire, organizzare e rappresentare i dati
interpretare i dati usando i metodi statistici
sviluppare e valutare inferenze, previsioni ed argomentazioni basate sui dati.

effettuare valutazioni di probabilità di eventi mediante conteggio dei casi favorevoli e di quelli possibili o rilevando di frequenze relative.

 

1° -2° anno

Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

Contenuti essenziali

 ·     Raccogliere dati su se stessi e sul mondo circostante e organizzarli in base alle loro caratteristiche

·     Classificare dati e oggetti

·     Rappresentare i dati raccolti

·     Descrivere un insieme di dati

·     Identificare la modalità più frequente

 

 ·    Il collettivo statistico e suoi elementi.

·     Semplici tabelle di frequenze

·     Semplici rappresentazioni grafiche

·     Confronti di frequenze

 3° – 4°- 5° anno

Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni Contenuti essenziali
 ·     Raccogliere dati mediante osservazioni e questionari

·     Classificare i dati

·     Rappresentare i dati con tabelle e grafici

·     Osservare e descrivere un grafico, usando: moda, mediana e media aritmetica

·     Confrontare fra loro modi diversi di rappresentare gli stessi dati

·     (1)

·     Riconoscere gli eventi certi, possibili, impossibili, equiprobabili, più probabili, meno probabili (2)

 

 ·     Caratteri qualitativi e caratteri quantitativi

·     Diagrammi  di vario tipo

·     Moda, mediana, media aritmetica

·     Evento certo, possibile, impossibile

·     Valutazione di probabilità in casi elementari

 

(1)   Aspetti storici connessi: Le prime tavole statistiche sulla natalità e mortalità, battesimi ed epidemie,  nell’Inghilterra del 1600

Gli eventi incerti e le predizioni al tempo dei Greci e di popoli antichi

 

6° -7° anno

Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

Contenuti essenziali
 ·     Classificare dati ottenuti da misurazioni

·     Rappresentare e interpretare dati, anche utilizzando un foglio elettronico

·     Usare ed interpretare misure di centralità e dispersione

·     Confrontare due distribuzioni rispetto allo stesso carattere

·     Scegliere, in modo casuale, un elemento da un collettivo

 

·     Riconoscere eventi complementari e eventi incompatibili

·     Prevedere, in semplici contesti,  i possibili risultati di un esperimento e le loro probabilità (1)

 

 ·     Caratteri derivanti da misurazioni

·     Classificazione di dati con intervalli di ampiezza uguale o diversa

·     L’istogramma di frequenze

·     Calcolo di frequenze relative e percentuali, e loro confronti

·     Campione estratto da una popolazione: esempi di campioni rappresentativi e non

·     Probabilità di un evento; valutazione della probabilità di semplici eventi

(1)     Aspetti storici connessi: Questioni probabilistiche nel passato (ad es. I primi giochi con i dadi nella Francia del 1600)

 

Argomentare e Congetturare

Competenze

In contesti diversi, sperimentali, linguistici e matematici:

osservare individuare e descrivere regolarità
produrre congetture
verificare le congetture prodotte testandole su casi particolari
validare le congetture prodotte, sia empiricamente, sia mediante argomentazioni, sia ricorrendo a eventuali controesempi
caratterizzare oggetti  matematici mediante le proprietà di cui godono e confrontare tali caratterizzazioni con le loro definizioni

giustificare le proprie idee durante una discussione matematica anche con semplici concatenazioni di proposizioni

 

Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

 1° – 3° anno

Individuare e descrivere regolarità in in semplici contesti concreti
Produrre semplici congetture
Verificare le congetture prodotte testandole su casi particolari

 

 3° – 4° -5° anno

Individuare e descrivere regolarità in contesti matematici e non,  tratti dalla propria esperienza o proposti per l’osservazione
Produrre semplici congetture
Verificare le congetture prodotte testandole su casi particolari
Validare le congetture prodotte, sia empiricamente, sia mediante argomentazioni, sia ricorrendo a eventuali controesempi
Attribuire denominazioni a “oggetti e stabilire definizioni, anche carenti o sovrabbondanti, con riferimento alle caratteristiche ed alle proprietà osservate
Giustificare le proprie idee durante una discussione matematica con semplici argomentazioni

 

6° – 7° anno

Descrivere proprietà di figure con termini appropriati
Individuare regolarità in fenomeni osservati
Produrre congetture
Verificare le congetture prodotte testandole su casi particolari
Validare le congetture prodotte, sia empiricamente, sia mediante argomentazioni, sia ricorrendo a eventuali controesempi, sia producendo euristici e semplici ragionamenti matematici
Comprendere il ruolo delle definizioni in matematica. Giustificare affermazioni durante una discussione matematica anche con semplici ragionamenti concatenati

 

Misurare

Competenze

In contesti interni ed esterni alla matematica, con particolare riferimento alle scienze sperimentali:
Misurare, leggere e scrivere misure di grandezze con incertezze di misura
Rappresentare misure utilizzando grafici, tabelle e strumenti tecnologici
Stimare misure
Effettuare scelte di grandezze misurabili, di unità di misura in contesti problematici
Risolvere problemi in cui sono coinvolte misure di grandezze
Individuare relazioni a partire da dati di misura
Modellizzare situazioni e fenomeni tratti dal mondo reale o interni alla matematica

 

Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

1° – 2° anno

Osservare oggetti e fenomeni individuando in essi alcune grandezze  misurabili; compiere confronti diretti e indiretti in relazione alle grandezze individuate, ordinare grandezze
Effettuare misure per conteggio (ad es. passi, monete, quadretti), ,  con oggetti e strumenti elementari
Effettuare misure con oggetti e strumenti elementari (ad es. il metro, la bilancia, l’orologio la tazza…); esprimere le misure effettuate con numeri utilizzando le unità di misura scelte (ad esempio passi) e rappresentazioni grafiche

 

3° – 4° – 5° anno

Analizzare oggetti e fenomeni individuando in essi le  grandezze misurabili
Effettuare misure dirette e indirette di grandezze (ad.es lunghezze tempi, masse..) ed esprimerle secondo unità di misure convenzionali
Cambiare misure utilizzando multipli e sottomultipli delle unità di misure
Stimare misure in semplici casi, anche attraverso strategie di calcolo mentale e col calcolo approssimato
Rappresentare graficamente le misure di grandezze
Risolvere problemi di calcolo con le misure (scelta delle grandezze da misurare, unità di misura, strategie operative)
Mettere un relazione misure di due grandezze (ad es. statura e lunghezza dei piedi)

Si eviterà di fare apprendere le relazioni tra le unità campione nei sistemi di misura utilizzati in modo meccanico e ripetitivo, sganciato da processi operativi concreti in contesti significativi

6° – 7° anno

Analizzare oggetti e fenomeni, scegliendo le grandezze da misurare e gli strumenti di misura, eventualmente anche tecnologici
Esprimere le misure in unità di misura del Sistema Internazionale
Effettuare e stimare misure in modo diretto e indiretto; esprimere, rappresentare e interpretare i risultati di misure, con particolare riferimento agli ordini di grandezza e alla significatività delle cifre
Risolvere situazioni problematiche a partire da dati di misure con la costruzione di semplici modelli (ad es. lineare o quadratico)

 

Risolvere e porsi problemi

Competenze

In diversi contesti sperimentali, linguistici e matematici, in situazioni varie, relative a campi di esperienza scolastici ed extrascolastici:
riconoscere e rappresentare situazioni problematiche
avviare, discutere e comunicare strategie risolutive
risolvere problemi posti da altri
porsi e risolvere problemi

 

Obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni

Gli obiettivi specifici di apprendimento relativi alle competenze degli alunni, soprattutto per quanto riguarda i problemi, difficilmente possono essere conseguiti in tempi medio-brevi. Per tale motivo, tutti gli obiettivi elencati in un determinato ciclo della scuola di base, devono essere considerati caratterizzanti anche per il ciclo successivo. Ciò deve essere tenuto presente nella lettura delle tabelle che seguono, anche se in esse, per semplificare la lettura, si è evitato di ripetere, per ogni ciclo, gli obiettivi elencati nel precedente

 

1° – 2° anno

Individuare l’obiettivo da raggiungere nel caso di problemi proposti dall’insegnante

Porsi con chiarezza un problema da risolvere e individuare l’obiettivo da raggiungere in una situazione problematica

Rappresentare in modi diversi (verbali, iconici, infine anche simbolici) una situazione problematica, al fine di creare un ambiente di lavoro favorevole per la risoluzione del problema.

Collegare le informazioni utili (ricavate dal testo o dal contesto della situazione problematica) all’obiettivo da raggiungere scegliendo e concatenando le azioni necessarie (azioni concrete, o disegni, o calcoli).

Esporre con parole, disegni, schemi grafici, un procedimento risolutivo seguito

Individuarne  eventuali carenze di un procedimento risolutivo seguito, attraverso il confronto con altre risoluzioni.

 

3° – 4° – 5° anno

Individuare le risorse necessarie per raggiungere un obiettivo (selezionando i dati forniti dal testo e le informazioni ricavabili dal contesto) e gli strumenti che possono risultare utili durante la risoluzione.
Individuare eventuali dati mancanti in un problema.
Collegare le risorse all’obiettivo da raggiungere scegliendo opportunamente le azioni da compiere e concatenandole in modo efficace.
Tenere sotto controllo il processo risolutivo con riferimento alla situazione problematica e all’obiettivo da raggiungere, con particolare attenzione per la validità delle soluzioni prodotte.

6° – 7° anno

Valutare la qualità dei procedimenti esaminati  con riferimento alla possibilità di applicarli in altre situazioni.
Realizzare formalizzazioni e possibili generalizzazioni di un procedimento risolutivo seguito, valutandone la portata e i limiti eventuali

A ogni livello scolastico il risolvere problemi offre occasioni importanti agli allievi per costruire nuovi concetti e abilità, per arricchire di significati concetti già appresi e per verificare l’operatività degli apprendimenti realizzati in precedenza. Affinché il porre e risolvere problemi sia effettivamente utile a mobilitare risorse intellettuali anche al di fuori delle competenze strettamente matematiche, contribuendo in tal modo alla formazione  generale degli allievi, è necessario che quelli  proposti siano autentici problemi per gli allievi e non semplici esercizi a carattere ripetitivo.

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