I tecnicismi ripetitivi dell’insegnamento dell’Algebra sono necessari per preparare al saper vedere e ragionare in matematica.
Sfogliando un vecchio libro di algebra per il biennio* trovo segni evidenti del suo uso:
Gli esercizi dal 1161 al 1166: è l’assegno per casa, sei esercizi in successione, con il quale, come ancora d’abitudine, si sarà conclusa la lezione del professore in quella prima classe di istituto tecnico di 40 anni fa o più.
In qualsiasi testo d’algebra tutti gli esercizi sono ordinati per capitoli, progressivamente più articolati e impegnativi, da svolgere uno dopo l’altro e l’ottimo sarebbe senza saltarne alcuno. Il concetto/precetto è: più se ne svolgono, più saldo e sicuro è l’apprendimento delle tecniche di calcolo e maggiore è il gusto e il piacere che si acquisisce di fare l’algebra. E non è che oggi il concetto sia cambiato molto. È innegabile che gli esercizi sulle espressioni contenenti frazioni algebriche letterali, calcolarne il risultato per determinati valori attribuiti alle lettere, la loro semplificazione o ancora la verifica di identità, siano fondamentali come l’imparare a risolvere equazioni.
Negli esercizi mostrati sopra compaiono espressioni a “più piani” contro le quali, in questi ultimi decenni, si sono scagliati in tanti che più di un insegnante ne è rimasto intimorito avvertendo come un delitto il continuare a proporli. Ad esempio, l’esercizio
si trova tra quelli assegnati al M.I.T. quasi un secolo e mezzo fa, ma è intelligente prototipo di tanti altri che non sono per niente scomparsi dalla scena didattica.
In algebra non si può fare a meno degli esercizi e più se ne fanno meglio è. Più che l’ordine stabilito dal libro di testo però vale la scelta che fa l’insegnante di esercizi che non siano solo ripetitivi, tesi a rafforzare e potenziare il possesso delle regole di calcolo, ma mirino a “saper vedere” e far comprendere qualcosa di nuovo, a esercitarsi a dimostrare!
L’insegnante propone ai suoi studenti l’espressione:
e chiede di semplificarla avvertendo che a, b e c sono numeri reali distinti. L’esercizio. non a torto, sembra configurarsi come lungo e fastidioso! In effetti già i sei fattori dei denominatori possono essere ridotti nel calcolo del m.c.m. a tre, impegnando ad una salutare riflessione sui segni. Ma questo non basta a facilitare i calcoli richiesti dall’operare canonico. Comunque, piuttosto che ricorrere subito a Wolfram Alpha, conviene fare qualche sforzo di lettura e comprensione.
L’incognita compare solo al numeratore e ciascuno dei tre addendi è di secondo grado in x. Se si pone x=c, l’espressione è 1. Lo stesso avviene quando x=a e x=b. L’intera espressione non è altro che un polinomio di secondo grado: P(x) = Ax2+Bx+C. E, per quanto già detto, l’equazione P(x)-1=0 ha tre radici distinte: a,b,c. Ma questo è impossibile perché un’equazione di grado n può avere al più n radici. Anzi, vale il teorema: Se un polinomio p(x)=a0xn+ a1xn-1 + a2xn-2+ …+an di grado al più n ha più di n radici, allora i suoi coefficienti sono tutti nulli.
Questo teorema, la cui dimostrazione usuale usa il teorema di fattorizzazione, prova che l’espressione assegnata è 1.
Un altro esercizio che vale la pena di menzionare è il seguente:
Di tre numeri si sa che se moltiplicati danno prodotto 1 e se addizionati danno per somma la somma dei loro inversi. Dimostrare che uno almeno dei tre numeri è 1.
In ossequio al già ricordato precetto didattico: denota e conquista, siano a,b e c le lettere scelte per indicare i tre numeri. Allora è: abc=1 e 1/a+1/b+1/c = a+b+c.
Dalla seconda si ricava che è anche: bc+ac+ab = a+b+c
Siccome uno almeno dei tre numeri deve essere 1, sviluppiamo il prodotto (a-1)(b-1)(c-1). Si ha:
(a-1)(b-1)(c-1)= abc -1 +ab+bc+ca – (a+b+c) = 0 il che prova che o a=1 o b=1 oppure è c=1.
Una diversa dimostrazione si può ottenere con un ragionamento che chiama in causa i polinomi. Consideriamo il polinomio P(x)= (x-a)(x-b)(x-c) che ha per radici i numeri dati. Sviluppando si ha:
P(x) = x3 -Ax2+Ax-1= (x-1)[x2+(1-A)x+1] cioè P(1)=(1-a)(1-b)(1-c) =0 quindi uno almeno dei tre numeri deve essere 1.
L’esercizio: “Il polinomio di quarto grado P(x) assume il massimo valore 3 per x=2 e x=3 e P(1)=0. Calcola P(4)”.
è un quesito che figura tra quelli assegnati nella sessione ordinaria della maturità 2014. L’algebra imparata bene al biennio aiuta nella soluzione: il polinomio Q(x)=P(x)-3 ha le soluzioni x=2 e x=3 doppie. Cioè Q(x)=a(x-2)2(x-3)2 e quindi P(x)=a(x-2)2(x-3)2-3 da cui P(1)= a·1·4-3=4a-3=0 ovver0 a=3/4. Ecco dunque determinato P(x) e P(k) per ogni k che si vuole.
Significativo per le finalità di questa nota è anche l’esempio seguente:
Provare che, se
allora le frazioni sono ambedue uguali a:
Il problema si può affrontare anche introducendo un nuovo simbolo k per il valore della frazione.
Questo esempio si trova sviluppato in W.W. Sawyer, Preludio alla matematica, 1962
Infine un paradosso antico:
Se a ≠ b allora x-a ≠ x-b per tutti gli x, ma anche (x-a)2 sarà diverso da (x-b)2.
L’equazione (x-a)2=(x-b)2 sembra dunque impossibile, priva di soluzioni. Nondimeno effettuando i quadrati, si ha: x2-2ax+a2= x2-2bx+b2 da cui x=(a+b)/2. Una soluzione c’è! Come si spiega?
NOTE
*Il testo è di Roberto Ferrauto, Aritmetica e Algebra, volume primo, Dante Alighieri (1981)
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