Coincidenze, indovinelli, epitaffi, problemi ed equazioni diofantee nella didattica della matematica. In che anno era nato De Morgan? E un epitaffio per Leonardo da Vinci.
Felix Klein (1849 -1925)
Di Felix Klein, che è ricordato anche come il più “influente” insegnante di matematica della sua epoca, si racconta che era solito scherzare sulla sua data di nascita: il 25 aprile 1849. Con evidente compiacimento sottolineava che erano tutti quadrati perfetti e quadrati di numeri primi: 5, 2, 43.
Un episodio che in qualche modo richiama quello di Klein, è legato ad Abraham De Moivre, anche lui grande matematico e insegnante di valore. La sua fu una vita di studioso e di insegnante. Per necessità, passò i suoi giorni a dare lezioni private ai giovani rampolli delle famiglie che potevano permetterselo ottenendo comunque risultati matematici per i quali il suo nome è rimasto legato all’insegnamento e ancora risuona nelle aule scolastiche di tutto il mondo. Fu anche un esperto di probabilità e un abile giocatore. Invece di scherzare sulla data di nascita, si era divertito a puntare sulla data della sua morte. La calcolò con esattezza: il 27 novembre del 1754. E così fu!
Tra De Moivre e Klein s’inserisce cronologicamente Augustus De Morgan, matematico e logico inglese a cui si devono l’introduzione e la definizione dell’induzione matematica e che non fu da meno in quanto a dedizione all’insegnamento della matematica. È ricordato anche per aver posto sotto forma di indovinello il suo anno di nascita: «Ho compiuto x anni nell’anno x2»
Per lui, che era nato dopo il 1800 l’x2 dell’indovinello è, e non poteva essere che così, l’anno di nascita di Klein. Il 1849 è infatti l’unico di quel secolo ad essere un numero quadrato, il quadrato di 43. De Morgan era nato nel 1806, il 27 giugno. Morì a Londra il 18 marzo 1871.
L’indovinello di De Morgan si ritrova spesso nelle collezioni di esercizi dei manuali scolastici enunciato in forma impersonale: «Aveva esattamente x anni nell’anno x2. In che anno era nato De Morgan?»
In verità il problema è, a rigore, indeterminato ed è un problema diofanteo. Un termine quest’ultimo che deriva da Diofanto anche se Diofanto c’entra poco. Infatti, com’è usato oggi, il termine si riferisce a equazioni (o sistemi di equazioni) algebriche a coefficienti interi di cui si ricercano soltanto le soluzioni in numeri interi che è una limitazione che non si ritrova nelle opere del matematico alessandrino cosa messa bene in evidenza da Bourbaki nei suoi Elementi di Storia della Matematica.
Diofanto è passato alla storia come il padre dell’algebra e moltissimo gli deve anche il mondo dell’insegnamento. È lui infatti l’iniziatore di una tradizione pedagogica e didattica che ha negli enigmi, negli indovinelli, negli esercizi piacevoli e divertenti la sua parte più attiva e coinvolgente. Origine di questa tradizione è l’epitaffio che porta il suo nome. L’epitaffio descrive la durata della sua vita e non c’è manuale scolastico, di ieri e di oggi, che non lo riporti:
«Questa tomba rinchiude Diofanto e, meraviglia!
dice matematicamente quanto ha vissuto.
Un sesto della sua vita fu l’infanzia,
aggiunse un dodicesimo perché le sue guance si coprissero della peluria dell’adolescenza.
Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie,
e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio.
L’infelice (figlio) morì improvvisamente
quando raggiunse la metà dell’età che il padre ha vissuto.
Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni
e raggiunse infine il termine della propria vita.»
L’epitaffio è dunque la sua biografia ripartita nelle frazioni di vita in cui è stato fanciullo, adolescente, sposo e padre. Qual è il motivo del suo successo nell’insegnamento? Quali pregi gli insegnanti vi ravvisano? La risposta è certamente, e prima di tutto, nel lavoro di traduzione.
Punto nodale di questa traduzione è indicare l’età vissuta con x e mettere in equazione; poi viene l’operatività algebrica, meccanica. L’equazione è: x/6+x/12+x/7+5+x/2+4 = 4 che dà x = 84. Diofanto visse dunque 84 anni, si sposò che ne aveva 33 e divenne padre a 38.
Esistono altri epitaffi famosi, ma hanno un registro narrativo diverso, per lo più poetico o grafico. Sulla tomba di Archimede compare la sfera e il cilindro; su quella di Jakob Bernoulli una spirale.
Nessun epitaffio o enigma è però paragonabile a quello di Diofanto che è stato generatore di una quantità incalcolabile di problemi che hanno fatto la storia dell’insegnamento della matematica. Molti si ritrovano già nella raccolta che ne fece Claude-Gaspar Bachet signore di Méziriac nei Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres e, successivamente, in tutti i manuali di algebra come, ad esempio, quelli di Newton e Eulero.
Un esempio di problema che ultimamente è stato oggetto di una particolare attenzione e presentato come un autentico “puzzle” è il seguente:
Un padre disse a suo figlio: “Due anni fa avevo tre volte la tua età; ma tra quattordici anni ne avrò solo il doppio”. Qual è l’età del padre e quale quella del figlio?»
Quali difficoltà incontrano gli studenti? Ecco: se si indicano con p e f rispettivamente le età del padre e del figlio, l’accortezza sta nel temporalizzarle a due anni fa e fra 14 anni. Quindi p-2 = 3(f-2) e p+14= 2(f+14). Dal sistema delle due: x=50 e y=18.
Molto interessante è però anche il problema: l’età della signora Z.
La signora Z non è molto giovane, perché è nata tra le due guerre mondiali, ma, come tutte le donne, non vuole rispondere direttamente a domande sulla sua età. Alla domanda rivoltale il 27 luglio 1950, in occasione del quarto anniversario di matrimonio, rispose: “Ho solo un anno, perché festeggio il mio compleanno solo quando cade nel giorno esatto della settimana. E questo è accaduto una sola volta nella mia vita”. Quanti anni ha la signora Z?
La risposta è: ha 30 anni. È nata il 29 febbraio 1920. Il problema si trova, risolto, nei Cento problemi di Hugo Steinhaus.
Tornando a Diofanto e al suo epitaffio l’insegnante che l’ha posto ai suoi allievi e vuole dargli un seguito perché non rimanga isolato o fine a se stesso, può pensare di inventarne di simili, eventualmente chiamando in causa altri personaggi. Un contributo veramente prezioso su questo versante creativo lo ha offerto la collaborazione di ChatGPT. Ovviamente dapprima ha pedissequamente riprodotto il medesimo schema narrativo e matematico, ma richiesto di tenere conto anche dei periodi in cui le diverse fasi della vita non sono disgiunte ma si sovrappongono, ha proposto il seguente epitaffio immaginario di Leonardo da Vinci :
Leonardo da Vinci, un genio poliedrico del Rinascimento, dedicò la sua vita a esplorare molteplici campi del sapere. Si stima che abbia trascorso almeno un terzo della sua vita a dipingere, almeno un quarto a studiare anatomia e almeno un quinto a progettare macchine innovative. Gli anni rimanenti li dedicò allo studio della matematica e della filosofia. Sapendo che visse 67 anni, qual è la combinazione di anni più probabile che dedicò a ciascuna di queste attività, considerando che spesso le sovrapponeva?
ChatGPT ha così spiegato:
“Cosa rende questa formulazione efficace?
- Supera l’approccio riduzionistico: Non assume che Leonardo abbia diviso rigidamente il suo tempo tra le diverse attività, ma riconosce la complessità della sua vita e la sovrapposizione dei suoi interessi.
- Stimola il pensiero critico: Invece di fornire una risposta unica, invita gli studenti a esplorare diverse possibilità e a giustificare le loro scelte.
- Promuove la collaborazione: Gli studenti possono lavorare in gruppo per confrontare le loro ipotesi e trovare soluzioni creative.
- Collega la matematica alla storia e all’arte: Il problema non è solo un esercizio matematico, ma un’occasione per approfondire la figura di Leonardo da Vinci e il contesto storico in cui visse.
Come affrontare il problema in classe:
- Presentazione del problema: Spiega agli studenti il contesto storico e la figura di Leonardo da Vinci. Sottolinea l’importanza della sua poliedricità e la difficoltà di quantificare esattamente il tempo dedicato a ciascuna delle sue attività.
- Analisi del testo: Chiedi agli studenti di individuare le parole chiave e le informazioni più importanti contenute nel problema.
- Formulazione di ipotesi: Incoraggia gli studenti a formulare delle ipotesi iniziali sulla ripartizione del tempo di Leonardo.
- Risoluzione del problema:
- Impostazione delle disequazioni: Aiuta gli studenti a tradurre le informazioni del problema in disequazioni matematiche. Ad esempio:
- Pittura: x ≥ (1/3) * 67
- Anatomia: y ≥ (1/4) * 67
- Macchine: z ≥ (1/5) * 67
- Totale: x + y + z + (tempo dedicato ad altre attività) = 67
- Esplorazione delle soluzioni: Invita gli studenti a trovare diverse combinazioni di valori per x, y e z che soddisfino le disequazioni.
- Valutazione delle soluzioni: Chiedi agli studenti di confrontare le diverse soluzioni e di scegliere quella che ritengono più plausibile, tenendo conto delle informazioni storiche e delle loro conoscenze su Leonardo da Vinci.
- Impostazione delle disequazioni: Aiuta gli studenti a tradurre le informazioni del problema in disequazioni matematiche. Ad esempio:
- Discussione e confronto: Organizza una discussione in classe per confrontare le diverse soluzioni proposte dagli studenti e per sottolineare l’importanza di argomentare le proprie scelte.
Possibili approfondimenti:
- Ricerca storica: Gli studenti possono fare una ricerca su Leonardo da Vinci per scoprire maggiori dettagli sulla sua vita e sul suo lavoro.
- Analisi delle opere: Possono analizzare alcune delle opere più famose di Leonardo per cercare di capire come le sue diverse passioni si riflettevano nella sua produzione artistica.
- Creazione di rappresentazioni grafiche: Possono rappresentare le diverse soluzioni del problema utilizzando diagrammi a barre, grafici a torta o altri strumenti visivi.
In conclusione, questa nuova formulazione del problema offre un’opportunità unica per stimolare la curiosità degli studenti, sviluppare le loro capacità di ragionamento e di problem solving, e avvicinarli al mondo della matematica, della storia e dell’arte“.
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