Gli esercizi di Newton e di Eulero

Il grande repertorio di esercizi e problemi per insegnare la matematica. Il punto di vista di Polya che ripropone problemi tratti dai manuali di Newton e Eulero.

Cos’è insegnare matematica se non l’attività di risolvere problemi?

Gli esempi, gli esercizi, i problemi fanno parte dell’insegnamento, ne sono parte integrante. Questo è vero oggi come era vero ai tempi di Pitagora e di Socrate, di Fibonacci e di Tartaglia. Vero nel Settecento, il gran secolo della didattica, che è anche il secolo dell’Encyclopédie, di d’Alembert e di Rousseau, dell’esplosione dei manuali per l’educazione matematica della gioventù come recita il titolo del libro dell’Agnesi.

Quei manuali sono pieni di esercizi e problemi di realtà. Molti non sono nuovi e fanno già parte della tradizione dell’insegnamento. Malgrado gli anni non hanno perso niente della loro validità. Pensati per insegnare bene hanno conservato la loro efficacia e dato vita ad un grande repertorio che nel tempo si è sempre più arricchito mantenendo inalterate radici e finalità.

Lo conferma George Polya che nel suo lavoro teso a far “capire, imparare e insegnare a risolvere i problemi” attinge a loro, ai manuali di Newton e di Eulero i quali “non considerarono indegno della loro dignità spiegare ed illustrare per esteso l’applicazione delle equazioni alla risoluzione di «problemi enunciati a parole»”.

Problemi dall’Arithmetica universalis di Newton

1. Tre operai fanno una certa parte di lavoro in tempi determinati, cioè A una volta in tre settimane. B tre volte in 8 settimane e C cinque volte in 12 settimane. si desidera sapere in quanto tempo possono finire insieme il lavoro.
2. Essendo date parecchie forze agenti, determinare il tempo nel quale arriveranno unitamente a compiere un dato effetto.
3. Un tale comperò 4o bushel di grano, 24 bushel di orzo e 20 bushel di avena, per un totale di 15 sterline e 12 scellini. Comperò ancora, degli stessi cereali, 26 bushel di grano, 30 bushel di orzo e 50 bushel di avena per un totale di 16 sterline. E da ultimo comprò, sempre dello stesso tipo di cereali, 24 bushel di grano, 120 bushel di orzo e 100 bushel di avena, per un totale di 34 sterline. Si domanda a quale prezzo dovette essere valutato un bushel di ciascun tipo di cereale. Generalizzate.
4. Se 12 buoi mangiano 3¹⁄_³ acri di pastura in quattro settimane e 21 buoi mangiano 10 acri di pastura, dello stesso tipo, in 9 settimane, trovare quanti buoi mangeranno 24 acri in 18 settimane.
5. Una progressione geometrica ha tre termini. La somma di questi termini è 19 e la somma dei loro quadrati è 133. Trovare i termini della progressione.
6. Una progressione geometrica ha quattro termini. La somma dei due termini estremi è 13 e la somma dei due termini medi è 4. Trovare i termini della progressione.

Le procedure risolutive sono tutte molte istruttive. Ad esempio, per il 5: essendo q la ragione, i tre numeri sono aq^-1, a, aq sono tali che:

aq^-1+ a + aq = 19    e    (aq^-1)²+ a² + (aq)² = 133 

Se si pone q+1/q=x, il sistema si trasforma in quest’altro:

a(x+1) = 19    e   a² ( x² – 1) =133

che risolto dà a = 6 e x = 13/6. Quindi è q=3/2 oppure q=2/3 cioè ci sono due progressioni (solo banalmente differenti): 4, 6, 9 e  9, 6, 4.

Dall’Algebra di Eulero

1. Un mulo ed un asino trasportavano carichi per un ammontare di alcuni mezzi quintali. L’asino si lamentò del suo e disse al mulo: “Mi occorre soltanto un mezzo quintale del tuo carico per rendere il mio il doppio del tuo”. Il mulo rispose: ” Sì, ma se tu dessi a me mezzo quintale della tua soma, io sarei carico tre volte quello che saresti tu”. Quanti mezzi quintali portava ciascuno?
2. Un padre di tre figli lascia loro in eredità 1600 corone. Il testamento precisa che il maggiore avrà 200 corone più del secondo e che il secondo avrà 100 corone più dell’ultimo. si domanda la quota di ciascuno.
3. Un padre lascia quattro figli, che dividono la sua proprietà nel modo seguente: Il primo prende la metà del patrimonio, meno 3000 sterline. Il secondo ne prende un terzo, meno 1000 sterline. Il terzo prende esattamente un quarto della proprietà. Il quarto prende 600 sterline e la quinbta parte della proprietà. A quanto ammontava l’intero patrimonio e quanto ebbe ogni figlio?
4. Un padre lascia alla sua morte parecchi figli che dividono la sua proprietà nel modo seguente: Il primo riceve cento corone e la decima parte del rimanente. Il secondo riceve duecento corone e la decima parte del rimanente. Il terzo prende trecento corone e la decima parte del rimanente. Il quarto prende 400 corone e la decima parte del rimanente. E così via.
   Alla fine risulta che la proprietà è stata divisa ugualmente fra tutti i figli. Si chiede a quanto essa ammontasse, quanti figli vi fossero e quanto ebbe ciascuno.
5. Tre persone giocano insieme: nella prima partita la prima perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuna di loro. Nella successiva, la seconda persona perde a favore di ciascuno degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono. Da ultimo, nella terza partita, la prima e la seconda persona guadagnano ciascuna dalla terza tanto denaro quanto ne avevano prima. A questo punto smettono e trovano che ciascuna ha la stessa somma, cioè 24 luigi. Si domanda con quanto denaro ciascuna si sedette a giocare».

Quest’ultimo problema fu proposto nel 2007 tra i quesiti della prova scritta di maturità scientifica in una forma leggermente diversa e per ricordare i trecento anni dalla nascita di Eulero: