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I problemi di Fibonacci

La matematica non invecchia. I problemi di Fibonacci buon punto di partenza per fare matematica in classe.

Leonardo Pisano (1170? – 1242?)

Quello che si sa della vita di Leonardo Pisano, noto anche come Fibonacci, è proprio poco. Neppure le date della nascita e della morte si sanno con certezza. Cionondimeno è stato, presto e universalmente, riconosciuto come il padre della matematica in Occidente. Keith Devlin, che gli ha dedicato il libro Finding Fibonacci (si veda la recensione di Amedeo Feniello), l’ha definito il grande traghettatore della matematica greca e araba, in Italia e in Europa.

Scrive Devlin: «Per la portata della sua rivoluzione e per gli effetti sulla vita quotidiana dal medioevo ad oggi può essere accostato solo a gente come quella che oggi ci sta traghettando nell’era informatica». Devlin lo paragona a uomini come Steve Jobs o Bill Gates, a «uomini-cerniera capaci di assorbire le conoscenze del presente trasformandole in percorsi aperti verso il futuro».

Devlin con il suo giudizio non fa altro che sintetizzare il parere della maggior parte degli storici.

Fibonacci svolse effettivamente il ruolo di uomo-cerniera tra passato e presente, uomo che prepara al futuro. Egli non fu un monaco chiuso in un convento medievale. Per quel che si sa, fu un mercante, un uomo d’affari, dedito alla vita di relazione e ai viaggi, alla frequentazione dei porti e dei mercati, ma anche frequentatore della corte di Federico II, l’imperatore stupor mundis, e delle disfide matematiche che vi si svolgevano. Con tutti questi impegni riuscì comunque a trovare il tempo per studiare e scrivere, lasciando di sé la traccia indelebile di matematico di capacità fuori del comune.

Le sue non sono opere di compilazione, ma libri che hanno segnato la storia della matematica.

Il Liber Abaci del 1202 è stato, per secoli, il deposito dal quale i matematici hanno preso materiale per lavori sull’aritmetica e sull’algebra. Il Liber non è mai stato considerato un libro semplice da leggere, ma il grande numero di problemi che contiene, risolti anche in modo originale, hanno offerto lo spunto di studi e ricerche che hanno fatto crescere la matematica e la didattica della matematica. Il testo latino del Liber,  con traduzione e temi di ricerca, si trova nell’encomiabile progetto Fibonacci di Laura Catastini e Franco Ghione finalizzato ad un Fibonacci…in classe.

Si racconta che in occasione di un simposio scientifico alla corte di Federico II e alla sua presenza, Giovanni da Palermo, notaio imperiale, proponesse diversi problemi, che Leonardo risolse prontamente.

Due di questi problemi sono i seguenti:

  • Trovare un numero x tale che x 2 + 5 e x2 − 5 siano entrambi numeri quadrati.
  • Trovare la soluzione dell’equazione x3 + 2x2 + 10x = 20.

Un problema quest’ultimo che nella formulazione latina è:

Ut inveniretur quidam cubus numerus, qui cum suis duobus quadratis et decem radicibus in unum collectis essent viginti.

Il problema più noto di Fibonacci è certamente quello dei conigli, da cui discende la celeberrima successione che porta il suo nome.

  • Quante coppie di conigli verranno prodotte in un anno, a partire da un’unica coppia, se ogni mese ciascuna coppia dà alla luce una nuova coppia che diventa produttiva a partire dal secondo mese?

Molti sono i problemi di Fibonacci che sono  riportati su manuali scolastici e di storia.

In George Polya, La scoperta matematica (1971),  s’incontra il seguente:

«Il triangolo, avente i lati a, a e b è isoscele. Tagliatene via due triangoli, simmetrici uno dell’altro rispetto all’altezza relativa alla base b, in modo che il pentagono simmetrico che rimane sia equilatero. Esprimete il lato x del pentagono in funzione di a e di b».

Il problema così formulato è una generalizzazione di quello discusso da Fibonacci con a=10 e b=12. Si trova facilmente che la funzione richiesta è: (2b – a)x2 + (4a2– b2)(2x – a) = 0 che per a=10 e b=12 dà x=16(-8+3√11)/7 molto prossimo al valore 32/7 trovato da Fibonacci.

Altri problemi che spesso s’incontrano sono i due seguenti:

  • Se A ottiene da B 7 denari, allora la somma posseduta da A sarà 5 volte quella posseduta da B; se B ottiene da A 5 denari, la somma di B sarà sette volte quella A. Quale somma aveva ciascuno?
  • Sette anziane donne andarono a Roma. Ciascuna donna aveva sette muli; ciascun mulo portava sette sacchi; ciascun sacco conteneva sette forme di pane. Con ciascuna forma di pane v’erano sette coltelli; ciascun coltello era infilato in sette guaine. Qual è la somma totale di tutte le cose nominate?

Gli esempi mostrano quanto i problemi di Fibonacci siano didatticamente ricchi sul piano dialettico e operativo.

Sono per lo più problemi legati alla vita reale delle persone, ai loro commerci e affari. Esemplari anche quelli raccolti nell’opuscolo De modo solvendi quaestiones avium et similium che Fibonacci dedica al Maestro Teodoro, filosofo presso la corte dell’imperatore Federico II. Notizie molto precise circa l’opuscolo si trovano nella memoria Intorno ad alcune opere di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo presentata all’Accademia Pontificia De’ Nuovi Lincei (1854) dal principe Baldassarre Boncompagni, apprezzato storico della matematica.

Uno di questi problemi di uccelli è stato discusso e risolto dal prof. Luigi Taddeo con i suoi studenti di liceo classico. [VEDI]

Un altro problema adatto ad una attività didattica è il seguente:

Quidam emit passeres, 3 pro uno denario, et turtures, duo pro uno denario, et columbam, 1 pro denariis 2, et ex his tribus generibus avium habuit 30 pro denariis 30. Queritur quot aves emit ex uno quoque genere.

Il problema, la cui traduzione può costituire un’utile momento interdisciplinare, fu proposto da Ettore Bortolotti nelle questioni didattiche del Periodico di Matematiche, il n. 5 del 1922, esattamente un secolo fa. Una soluzione elementare fu pubblicata nel fascicolo successivo e qui si riporta:

Autore

  • Laureato in matematica, docente e preside e, per quasi un quarto di secolo, ispettore ministeriale. Responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Segretario, Vice-Presidente e Presidente Nazionale della Mathesis dal 1980 in poi e dal 2009 al 2019, direttore del Periodico di Matematiche.

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