Il problema degli uccelli e della fonte

Leonardo Fibonacci in classe: gli studenti affrontano e risolvono il problema degli uccelli che dalle sommità delle torri volano nella fontana.

Bologna, the two towers, Asinelli and Garisenda

Ho proposto il problema che segue ad allievi dell’indirizzo di Liceo Classico della Scuola Militare Nunziatella di Napoli. Il problema è tratto dal Liber Abaci di Leonardo Pisano. Diversi l’hanno risolto, condivido la soluzione proposta dall’allievo Francesco Marenna del 4 Classico sezione A.

Premetto che ho preso spunto da questo problema  per parlare anche  del più famoso problema “sull’evoluzione annuale di una popolazione di conigli”, dello stesso autore e che porta alla famosissima successione di Fibonacci. Grande stupore ed interesse ha suscitato, negli allievi, conoscere alcune delle numerosissime applicazioni di questa successione di numeri naturali.

In verità, spesso cerco, quando tratto degli argomenti, spunti, collegamenti, nel Mondo Classico, nella Storia della Matematica, nella Vita di Grandi Matematici. Per esempio faccio riferimento alla leggenda sulla costruzione di Cartagine, quando tratto problemi di minimo e di massimo; alla somma dei primi 100 numeri naturali, calcolata dal giovanissimo Gauss, quando mi accingo a trattare le progressioni aritmetiche; oppure alla vita di Evariste Galois, quando tratto le equazioni di grado superiore al secondo. Gli allievi mostrano sempre vivo interesse quando gli argomenti di matematica si intrecciano con la Storia, con questioni concrete, con aneddoti.

Il problema degli uccelli e della fonte

Duo aves erant altitudinem duarum turrium quarum una erat alta passibus 40, altera 30; et distabant in solo passibus 50; et uno ictu descenderunt pari volatu ad centrum cuiusdam fontis: et pariter uno momento ad ipsum devenerunt, qui erat inter utramque turrim.

Si chiede la posizione della fonte.

La traduzione: Due uccelli erano sulla sommità di due torri. Una di esse era alta quaranta passi, l’altra trenta. Distavano sul terreno cinquanta passi l’una dall’altra. I due uccelli spiccarono il volo in modo simultaneo. Discesero con pari velocità fino al centro di una fonte che si trovava fra l’una e altra torre. Vi giunsero appaiati nel medesimo istante.

La soluzione dello studente

I due uccelli partono con la stessa velocità e impiegano lo stesso tempo per arrivare alla fonte, quindi anche i due spostamenti obliqui devono essere uguali.

I due spostamenti sono le ipotenuse di due triangoli rettangoli.

Chiamiamo “c” il cateto del primo triangolo, quindi il secondo cateto è uguale a 50 (distanza tra le due torri) meno c.

Per il Teorema di Pitagora:

i²=1600 + c²

i₁²= 900 + (50-c)²

Poiché i₁ = i,    si ha: 1600+c² = 900 + (50 – c)²

Da cui c=18. La fonte è distante 18 passi dalla prima e 32 passi dalla seconda, più bassa.