Dieci questioni sui numeri primi

Lavoriamo di più con i numeri primi. Dieci questioni per ragionare di matematica sfruttando quel che già è noto.

Ecco 10 questioni e un teorema antico che rimane tra i più belli di tutta la matematica.

1. Dimostriamo che se p è un numero primo, allora p² + p non è un numero primo.
2. Vogliamo una sequenza di numeri interi m, m + 1, m + 2 che siano tutti numeri primi. Dimostriamo che è un desiderio impossibile da esaudire.
3. Se k è un numero primo maggiore di 2, allora k² + 1 non è un numero primo. Come possiamo dimostrarlo?
4. Quanti esempi possiamo fornire di numeri della forma b (b + 1) + 1 che sono primi? Ce ne sono infiniti? Perché?
5. Il celebre teorema dei numeri primi, dovuto a Jacques Solomon Hadamard ( lo zio maestro di Laurent Schwartz) e Charles Jean Étienne Gustave Nicolas Baron de la Vallée Poussin, afferma che il numero di numeri primi minori o uguali a N è approssimativamente N / ln N. Quindi il numero di numeri primi inferiore o uguale a 1.000.000 è di circa 1.000.000 / ln 1.000.000 ≈ 72382. Questo è decisamente un meraviglioso risultato. Quanti numeri primi ci sono da 1 a 1000? Quanti ce ne sono minori o uguali a 10.000? In che modo queste informazioni si adattano alla previsione fornita dal Teorema dei numeri primi? Per aiutare le nostre ricerche possiamo usare un computer; in particolare se questo fa piacere agli studenti.
6. Una congettura che è stata avanzata e studiata è che un numero intero con tutte le cifre 1 sia un numero primo. Ebbene, 1 non è un numero primo per definizione. Ma 11 è primo. Certamente 111 non è primo. Che ne dite di 1111 o 11111? Ragioniamoci! Può essere conveniente utilizzare il computer? Qual è il numero primo più grande con tutte le cifre 1 che riusciamo a trovare?
7. È vero che la differenza di due numeri primi non è mai un numero primo?
8. È vero che per n=0,1,2,3,4,….la formula n²+n+41 fornisce tutti numeri primi? Se non è vero, quanti ne fornisce?
9. Esaminiamo l’espressione n²+n+11. L’espressione è generatrice di numeri primi? Possiamo trovare altre espressioni?
10. Per provare che n è un numero primo è sufficiente mostrare che n non è divisibile per alcun primo p≤√n. Può essere l’enunciato di un teorema?

Teorema molto antico. Ha circa 2300 anni. Risale ad Euclide: Esistono infiniti numeri primi. Lo dimostriamo?

In effetti la dimostrazione del teorema risale ad Euclide che lo dimostrò nel libro IX, proposizione 20, degli Elementi. La richiesta di indicare dove Euclide dimostrasse il teorema figurava in uno dei quesiti per l’accesso ai corsi per l’abilitazione (TFA) del 2012. La domanda, per la ex classe 47,  risultò molto difficile. Eccola:

La risposta giusta sarebbe stata più individuabile se l’alternativa delle riposte fosse stata:

In questo caso infatti chiunque avesse saputo qualcosa dell’organizzazione degli Elementi avrebbe escluso i libri I e II perché riguardanti la geometria piana e avrebbe escluso il libro XIII che tratta la geometria solida. La risposta, il libro IX, sarebbe stata più facile.

La nota soprariprodotta è tratta da:

In classe con i numeri primi