Karl Popper e il Mondo 3 degli oggetti matematici. Un contributo di Popper alla filosofia della matematica.
Karl Popper (1902-1994)
L’epistemologia di Karl Popper è conosciuta anche al di fuori della cerchia degli studiosi soprattutto per il famoso criterio di demarcazione della scienza. Secondo Popper una teoria è scientifica se può essere falsificata dalle osservazioni e dagli esperimenti; al contrario, le teorie che riescono compatibili con fatti di ogni tipo (come certe ideologie del Novecento o le previsioni di indovini e astrologi) non possono dirsi scientifiche ma devono essere classificate come teorie metafisiche o pseudoscienze.
Tutto il sapere scientifico, secondo Popper, è provvisorio e congetturale, perché nessuno può escludere che anche la teoria più collaudata possa, in futuro, essere confutata dall’emergere di nuove evidenze sperimentali; e tuttavia la confutazione e la correzione di nuove congetture ci porta ad un’approssimazione sempre migliore della verità.
Si può notare subito che in questo discorso di Popper non sembrano trovar posto le teorie matematiche. Siamo infatti abituati a pensare che le verità della matematica siano permanenti e che su di esse non incomba il rischio della confutazione; perché in matematica, rispetto alle scienze empiriche, abbiamo strumenti di controllo supplementari: le dimostrazioni. Il teorema sull’infinità dei numeri primi, dimostrato da Euclide più di duemila anni fa, resta ancora immutabile davanti a noi.
Questo è anche il parere dello stesso Popper che in qualche occasione, anziché distinguere soltanto fra teorie scientifiche e teorie non scientifiche, procede a una classificazione tripartita in cui la matematica occupa un ruolo autonomo e diverso sia dalla scienza che dalla metafisica. In un saggio pubblicato nel 1958, Popper scrive:
“Possiamo distinguere in questa sede tre tipi di teorie:
- le teorie matematiche e logiche;
- le teorie empiriche e scientifiche;
- le teorie filosofiche o metafisiche.
Come possiamo, in ognuno di questi gruppi, distinguere fra teorie vere e false? Per il primo gruppo la risposta è ovvia. Ogniqualvolta troviamo una teoria matematica [ …] proviamo a dimostrarla, o a confutare la sua negazione […] finché giungiamo a una decisione, oppure archiviamo il problema in quanto è troppo difficile per noi […]. Nella matematica (ma solo in essa) simili decisioni sono generalmente definitive: sono rare le dimostrazioni sbagliate che sfuggono alla ricerca.” (Congetture e confutazioni, pp. 338-339).
Qui Popper mette bene in luce la differenza che intercorre tra le scienze empiriche e la matematica: mentre nelle scienze una teoria è accettata solo provvisoriamente, perché col tempo possono emergere nuovi fatti che costringono a rivederla, in matematica la fase della revisione dei risultati è generalmente assai breve e, una volta accertata l’affidabilità delle dimostrazioni, le conclusioni restano definitive. Forse per questa ragione Popper non elabora per la matematica una epistemologia paragonabile in estensione a quella per le scienze empiriche. I suoi riferimenti alla matematica sono tuttavia frequenti e anche significativi, per esempio a proposito di un altro caposaldo della sua epistemologia, la cosiddetta Teoria dei tre mondi.
Popper elaborò questa teoria in seguito alle critiche di Thomas Kuhn e di altri studiosi secondo i quali il falsificazionismo di Popper è troppo astratto, si basa solo sulla forma logico-linguistica delle teorie e non tiene abbastanza conto del lavoro concreto degli scienziati e della psicologia della ricerca.
Secondo questa teoria, elaborata da Popper nella seconda metà degli anni Sessanta, nella realtà possiamo distinguere i seguenti tre mondi:
MONDO 1 degli oggetti e degli stati fisici;
MONDO 2 degli stati di coscienza e degli stati mentali;
MONDO 3 dei contenuti oggettivi di pensiero, specialmente dei pensieri scientifici, poetici e delle opere d’arte.
A questi diversi mondi sono collegati approcci diversi alla conoscenza. Se la conoscenza del Mondo 2 degli stati di coscienza è certamente soggettiva, Popper ci parla di conoscenza oggettiva, non solo per il Mondo 1 degli oggetti fisici, ma anche a proposito del Mondo 3, cioè del mondo della cultura umana e dei contenuti di pensiero. Secondo Popper, i suoi critici sbagliano quando insistono sull’importanza della ricerca in senso soggettivo. Perché i contenuti oggettivi di pensiero gettano una grande luce anche sul Mondo 2 della conoscenza soggettiva e sui processi di pensiero degli scienziati: lo studio dei problemi in sé è più importante della psicologia della ricerca.
Per chiarire la differenza fra questi diversi approcci, soggettivo e oggettivo, alla conoscenza, Popper fa un esempio semplice. Se seguiamo l’approccio soggettivo dobbiamo pensare che un libro non è un libro se non c’è un lettore: un libro senza un lettore sarebbe solo una serie di macchie nere tracciate sulla carta. Invece, secondo l’approccio oggettivo sostenuto da Popper, un libro rimane tale anche se non viene letto da nessuno. Il fatto che vi sia un uomo che legge e comprende un libro è un fatto accidentale. È la potenziale disposizione ad essere interpretato ciò che fa di una cosa un libro. Inoltre un uomo che comprende un libro per intero è una creatura molto rara; c’è tutto un Mondo 3 di contenuti, di idee, di problemi che non saranno mai compresi da nessuno.
Questo Mondo 3, a cui appartiene anche la scienza, distinto sia dal Mondo 2 degli stati mentali che dal Mondo 1 degli oggetti fisici, è un mondo di conoscenze senza soggetto conoscente già adombrato nel mondo delle idee di Platone, nelle idee di Bolzano e poi di Frege sul carattere oggettivo dei pensieri e della loro distinzione dalle rappresentazioni soggettive. Popper cita Bernard Bolzano, matematico e teologo di Praga, che scrisse oltre ai Paradossi dell’infinito, anche un’opera intitolata Dottrina della scienza, imperniata sul concetto di «verità in sé».
Dire che le verità sono «in sé» significa che sono indipendenti dal processo psicologico soggettivo con cui si perviene alla loro conoscenza e che la loro validità permane, indipendentemente dal fatto che siano riconosciute, espresse o pensate. Anche Gottlob Frege, considerato uno dei fondatori della logica moderna, parlava di contenuti oggettivi di pensiero distinti dall’atto soggettivo del pensare.
Il Mondo 3 di Popper richiama con ogni evidenza anche il mondo delle Idee o delle Forme di Platone, che era un mondo oggettivo di contenuti, situato accanto e al di fuori del mondo fisico e anche del mondo degli stati di coscienza. Il mondo di Platone era un mondo atemporale, di verità eterne superiori alla condizione umana, che esistevano anche prima che esistessero gli uomini. Anche se noi possiamo scoprire qualche frammento di questo mondo di Idee, questo mondo è al di fuori del nostro controllo.
Tuttavia – osserva Popper – questo modo di vedere le cose non riesce a spiegare adeguatamente come noi possiamo interagire con gli oggetti di questo mondo ideale, come possiamo conoscerli e come questi oggetti agiscono su di noi.
Popper sostiene che la sua concezione del Mondo 3 si differenzia dal mondo delle idee di Platone, proprio perché riesce a spiegare meglio i rapporti tra la mente umana e questo mondo ideale. il Mondo 3 infatti, in quanto produzione umana, può essere certamente compreso dai suoi creatori. E tuttavia, nonostante ciò, sviluppa conseguenze autonome e talvolta impreviste anche per coloro che ne sono i creatori.
Il Mondo 3 – è questa la novità introdotta da Popper – anche se prodotto dagli uomini, è parzialmente autonomo dai suoi produttori, nel senso che un’ampia parte di contenuti e di argomentazioni del Mondo 3 è una conseguenza non intenzionale e autonoma dei contenuti effettivamente prodotti. Popper ricorre proprio all’ esempio della matematica per chiarire come il mondo delle teorie create dall’uomo sia largamente autonomo, anche se prodotto da noi: «Con buona pace di Kronecker – scrive Popper – io sono d’accordo con Brouwer che la successione dei numeri naturali è una costruzione umana».
Qui Popper cita Leopold Kronecker, matematico tedesco dell’Ottocento, che formulò il famoso detto: “Dio ha creato i numeri interi; tutto il resto è opera dell’uomo” e poi Luitzen E. J. Brouwer, matematico olandese fondatore della scuola fondazionale intuizionista, con cui Popper intratteneva rapporti di una certa amiciza. E poi Popper così prosegue: «Però sebbene siamo noi a creare questa successione essa crea i suoi problemi autonomi. La distinzione fra numeri pari o dispari non è creata da noi: essa è piuttosto una non intenzionale e inevitabile conseguenza della nostra creazione. I numeri primi sono, in maniera analoga fatti autonomi ed è ovvio che nel loro caso ci sono molti fatti per noi da scoprire: ci sono congetture come quella di Goldbach, e tali congetture sebbene riguardino gli oggetti della nostra creazione, si riferiscono a problemi e a fatti […] che non possiamo controllare o influenzare: si tratta, per così dire, di fatti ostinati e la verità su di essi è spesso difficile da scoprire. Questo esemplifica ciò che io intendo quando dico che il terzo mondo è largamente autonomo anche se creato da noi […]. C’è anche un importantissimo effetto di feed-back dalle nostre creazioni su noi stessi; dal terzo mondo sul secondo mondo. Difatti l’emergere dei nuovi problemi ci stimola verso nuove creazioni». (Conoscenza oggettiva, p. 165).
In questo passo Popper accenna alla famosa Congettura di Goldbach secondo cui ogni numero pari (maggiore di 2) è la somma di due numeri primi, valida per ogni numero finora sottoposto a verifica, ma di cui non si conosce una dimostrazione generale. Ma questo discorso verrà ripreso ancora da Popper, secondo il quale il ricorso alla matematica come esempio tipico della esistenza del Mondo 3 può anche servire a conciliare due visioni da sempre contrapposte, che riguardano la natura e la conoscenza degli oggetti matematici. A questo proposito Popper scrive :
“Abbiamo due filosofie della matematica:
(1) La matematica è opera umana perchè si fonda sulla nostra intuizione, oppure è nostra costruzione, oppure è una nostra invenzione (intuizionismo, costruttivismo, convenzionalismo);
(2) La matematica è un campo oggettivo esistente di per sè. E’ un campo infinitamente ricco di realtà oggettive, che noi non creiamo, ma che al contrario ci stanno di fronte nella loro oggettività. E noi possiamo scoprire non poche di queste verità (questa concezione della matematica è di solito definita “platonismo”).
Queste due filosofie della matematica si sono fino ad oggi contrapposte irriducibilmente. Ma la teoria del Mondo 3 mostra come entrambi abbiano ragione: la serie infinita dei numeri naturali, ad esempio è una nostra invenzione linguistica, nostra convenzione, nostra costruzione. Ma non lo sono i numeri primi e i problemi ad essi legati; questi li scopriamo in un mondo oggettivo che noi abbiamo inventato o creato ma che, come tutte le invenzioni, si oggettiva distaccandosi dai suoi creatori e rendendosi indipendente dalla loro volontà: diventa «autonomo», «puramente ideale» , «platonico ». Tra le due filosofie della matematica non può dunque sussistere, dal punto di vista della teoria del Mondo 3, alcun disaccordo” (Alla ricerca di un mondo migliore, pp. 35-36).
Noi sappiamo di essere i creatori degli oggetti matematici – ci spiega Popper – ma poi abbiamo bisogno di scoprire, spesso faticosamente, le proprietà delle nostre stesse creazioni. La matematica è un’attività di creazione e di scoperta: non è solo scoperta, come vorrebbe il platonista puro, nè soltanto creazione, come vorrebbe il costruttivista puro.
Ma a questo punto si può aggiungere qualche altra osservazione sulla dicotomia platonismo/costruttivismo. La concezione platonista, secondo cui gli enti matematici avrebbero un’esistenza autonoma, in un mondo ideale e indipendente dalla mente umana, è stata condivisa da grandi matematici, come Cantor o Gödel, e, a volte, è fatta propria anche dagli studenti, tutti accomunati dall’impressione che la matematica sia qualcosa che ci trascende, che scopriamo ma che non dipende da noi e dalla nostra capacità di indagine. Ma se pensiamo che gli enti matematici popolino un mondo parallelo che non è un mondo fisico, ci dovrà essere qualche facoltà speciale che ci fa accedere alla loro verità.
Platone sosteneva che noi possiamo conoscere le proprietà degli enti matematici mediante il ricordo, perché la nostra anima, ancor prima della nascita, era stata nell’Iperuranio, a contatto con queste forme ideali. Ovviamente per i matematici di oggi risulta difficile condividere questa antica teoria della reminiscenza, ma anche ora molti studiosi continuano a pensare che gli oggetti matematici si trovino un un mondo esterno all’uomo e che ci sia comunque una qualche sorta di facoltà privilegiata che ci fa accedere, o ci avvicina, alla loro verità.
Gödel, nel suo famoso saggio sul Problema del Continuo di Cantor si dichiarava convinto che gli insiemi e gli oggetti della matematica ci impongano la loro verità: “Nonostante la loro distanza dalla esperienza sensoriale – scrive Gödel – abbiamo in qualche modo una percezione anche degli oggetti della teoria degli insiemi, come appare dal fatto che gli assiomi ci si impongono come veri“. Popper, come già spiegato, giudica insoddisfacente e poco chiara questa pretesa del platonismo puro. Secondo Popper e la sua teoria del Mondo 3, la conoscenza delle verità matematiche non può avvenire per accesso diretto, sulla base di una sorta di illuminazione privilegiata e inspiegabile, ma è un processo interattivo e dialettico, talvolta faticoso, che coinvolge l’uomo e le sue creazioni.
Dunque il platonismo appare, a giudizio di Popper, una concezione poco soddisfacente. Ma anche il costruttivismo comporta problemi di tipo conoscitivo. I costruttivisti, come Brouwer e i seguaci della sua scuola, pensavano che in matematica possa esistere solo ciò che creiamo noi, ciò che riusciamo ad ottenere con i nostri metodi costruttivi. Perciò tendevano a bandire dalla matematica le dimostrazioni indirette e l’uso della legge logica del terzo escluso, perché l’esistenza e le proprietà matematiche sono garantite solo da costruzioni effettive.
Queste limitazioni, che pochi matematici sono disposti ad accettare, anche secondo Popper sembrano frutto di una preoccupazione eccessiva. Il costruttivista non dovrebbe pretendere che la mente umana possa conoscere tutto ciò che crea: la matematica è opera nostra e ciononostante può essere misteriosa, come ogni altro tipo di costruzione umana.
Queste idee di Popper saranno richiamate, qualche decennio dopo, dai matematici americani Philip J. Davis e Reuben Hersh coautori di un libro che ha avuto un certo successo anche in Italia: L’esperienza matematica (Edizioni di Comunità, 1985).
Secondo Davis & Hersh la teoria del Mondo 3 di Popper può dar ragione di entrambi i fatti su cui poggia l’esperienza matematica:
Fatto 1: La matematica è una nostra creazione, che nasce da idee della mente umana;
Fatto 2: La matematica è una realtà oggettiva, nel senso che i suoi oggetti hanno proprietà in parte conosciute, in parte misteriose e difficili da conoscere.
Il platonismo – spiegano Davis & Hersh – poggia sul Fatto 2 (cioè riconosce che gli oggetti matematici hanno proprietà che non dipendono da noi), mentre è incompatibile con il Fatto 1: se gli oggetti matematici hanno proprietà che non dipendono da noi, non possono essere opera nostra.
Il costruttivismo poggia sul Fatto 1 (riconosce che la matematica è una creazione della mente umana), mentre vuole limitare il Fatto 2: se la matematica la creiamo noi, nulla in matematica può esistere o essere vero fino a che non riusciamo a dimostrarlo con metodi costruttivi.
Ma “se crediamo alla nostra esperienza e accettiamo entrambi questi due fatti – proseguono Davis&Hersh – allora dobbiamo domandarci come si possono concilare, come possiamo considerarli compatibili e non contradditori […]. Possiamo allora cercare di sbarazzarci di questi presupposti per sviluppare un punto di vista sufficientemente ampio da accettare tutta la realtà dell’esperienza matematica […]. Questa è la nostra conclusione, non amputare la matematica per adattarla a una filosofia troppo angusta per accoglierla, ma esigere invece che siano ampliate le categorie filosofiche […]. L’opera recente di Karl Popper fornisce un contesto in cui situare senza distorsioni la realtà dell’esperienza matematica”. (L’esperienza matematica, p. 355).
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