Equazioni funzionali e didattica della matematica

Cosa sono le equazioni funzionali e perché sono importanti nella didattica della matematica. Le funzioni lineare, esponenziale, potenza e logaritmo introdotte a partire da equazioni funzionali.

L’importanza delle equazioni funzionali nella didattica è stata così sottolineata da Bruno Rizzi:

«Volendo seguire nell’insegnamento vie che, essendo naturali, sono anche le più istruttive e gradevoli, sembra opportuno raccomandare che alle equazioni funzionali si riservi non solo maggiore attenzione e maggiore spazio (in ogni grado dell’insegnamento) ma anche un ruolo fondamentale, presentandole spesso come punto di partenza per definizioni e trattazioni».

Il passo è tratto da un articolo che Bruno Rizzi pubblicò sul numero 4/1973 del Periodico di Matematiche e dedicò alla “interpretazione di alcune equazioni funzionali”. Quali? Le quattro seguenti:

1. f (a+b) = f (a) + f (b)
2. f (a+b) = f (a)· f (b)
3. f (a· b) = f (a) · f (b)
4. f (a· b) = f (a) + f (b)

Esse esprimono le proprietà di cui godono, rispettivamente, le fondamentali funzioni elementari: lineare, esponenziale, potenza e logaritmo;  possono pertanto costituire il punto di partenza per introdurle nell’insegnamento.

La prima equazione comporta:

f (0+1) = f (0) + f (1)          cioè  f (0) = 0

f (1+1)= f (1) + f (1)                 cioè f (2) = 2f (1)

f (2+1)= f (2) + f (1)                 cioè f (3) = 3f (1)

Continuando, si potrà provare che f (n) = n· f(1) ed anche f (1/n) = f (1)/n in quanto deve risultare n·f(1/n) = f (1) e di conseguenza f(m/n)= m/n· f (1) che, assumendo f(1) = k, diventa f(x) = kx per ogni x razionale.

Il discorso può essere ampliato agli irrazionali e condurre al teorema valido in tutto l’insieme R dei numeri reali:

Le sole funzioni soddisfacenti l’equazione funzionale f (a+b) = f (a) + f (b) sono le funzioni lineari omogenee f(x) = kx.

L’equazione funzionale I è stata ricordata recentemente da Vincenzo Vespri arricchita di un suo  significato concreto. Ad esempio, che “il costo di un insieme di oggetti, ossia f(a+b), è pari alla somma del costo dei singoli oggetti, ossia è pari a f(a) + f(b)”. Naturalmente l’interpretazione è corretta nel caso in cui il prezzo del singolo oggetto rimanga invariato, sia cioè indipendente dal numero di oggetti acquistati. Se sul costo viene praticato uno “sconto” allora sarà: f (a+b)<f (a)+f (b).

La seconda relazione è:

f (a + b) = f (a) · f (b)

ragionando allo stesso modo si ha:

f (0 + 1) = f (0) · f(1)       cioè    f (0) = 1

f (1 + 1) = f (1) · f(1)       cioè    f (2) = [f (1)] ²

generalizzando: f (x) = [f (1)] ^x che posto f(1) = c diventa f(x)=c ^x.

In modo analogo si può ancora verificare che la relazione f (a· b) = f (a)· f (b)  conduce alla funzione potenza x^λ, mentre la relazione f (a· b) = f (a) + f (b) porta alla funzione y=log_cx, inversa dell’esponenziale.

È da osservare, passando all’ambito delle strutture algebriche, che la funzione logaritmo stabilisce, attraverso la proprietà espressa dalla IV, un omomorfismo tra il gruppo moltiplicativo dei reali positivi e il gruppo additivo dei reali, che meglio esprime la ragione del suo successo originario: semplificare i calcoli rimpiazzando una moltiplicazione con una addizione.

Una ulteriore osservazione riguarda la dimostrazione della proprietà espressa dalla IV a partire dalla definizione di logaritmo naturale che si può trovare in Analisi matematica:

,   x >0

La proprietà che lnax = lna + lnx può essere dimostrata in vari modi. Per esempio, intuitivamente, attraverso la considerazione delle aree che definiscono lnax, lna e lnx. Molto più elegante ed istruttivo (e rigoroso) è dimostrarla muovendo dalla considerazione che le due funzioni lnax e lnx hanno la stessa derivata. Il che, per il teorema del valor medio, equivale a dire che esse differiscono di una costante C, ovvero è:  lnax = lnx + C.

Per x=1, allora si ha: ln(a·1) = ln1 + C, ovvero lna = 0 + C cioè C= lna e in conclusione:

lnax = lna + lnx

La dimostrazione riprende, a grandi linee, quella più ampia e articolata contenuta nel notissimo Che cos’è la matematica? di Courant e Robbins originata dal proposito degli autori di invertire l’ordine della trattazione canonica. In definitiva, di non seguire l’ordine consolidato secondo il quale il logaritmo viene dopo l’esponenziale, come si fa nell’insegnamento secondario, ma procedere in ordine inverso. Assumere cioè la definizione di logaritmo come primaria, che viene prima, e quella di funzione esponenziale secondaria rispetto ad essa.

E non c’è insegnante accorto che non sia nelle condizioni di vedere quanto questa pluralità di modi e di punti di vista sotto i quali è possibile inquadrare una medesima questione o il  seguire itinerari diversi, anche inversi uno dell’altro, per raggiungere un medesimo risultato risultino di grande vantaggio per la comprensione della matematica e dunque strategie didattiche alle quali cercare sempre di ispirarsi. Non minor interesse hanno per la didattica della matematica la ricerca del significato da attribuire a ciò che si va costruendo.

Vale la pena allora di riprendere qualche passo dell’articolo di Rizzi ove questo significato è bene esplicitato, come nel seguente:

Bruno Rizzi con Emilio Ambrisi (1981)

Diversi sono i problemi che conducono a considerare funzioni esponenziali ( e quindi all’equazione funzionale II): tutti quelli per cui si può ritenere che al crescere ( o decrescere) in progressione aritmetica della variabile indipendente, la grandezza che da essa dipende cresce ( o decresce) in progressione geometrica; o, in forma più generale, tutti quelli per cui ad incrementi uguali della variabile indipendente corrispondono aumenti, o diminuzioni, percentualmente uguali della variabile che da essa dipende.

Esempi significativi sono i seguenti: il modo di aumentare o di diminuire di una popolazione (sotto classiche ipotesi), di un capitale (nel caso della capitalizzazione continua), di una quantità di sostanza radioattiva. Quanto affermato ovviamente non è valido se il tasso d’incremento demografico, il quoziente di mortalità, il tasso d’interesse, il tasso di disintegrazione radioattiva ecc. non rimangono costanti.

In conclusione la variazione di una quantità nell’intervallo t₁+t₂ è espressa dalla II ogni qualvolta essa risulti il prodotto delle variazioni relative a due qualsiasi intervalli di somma t₁+t₂. […] La proprietà espressa dall’equazione IV è, in un certo senso, inversa della precedente: il tempo occorrente ( nelle stesse condizioni della II) per far crescere, ad esempio, il valore di un capitale (in capitalizzazione continua) nel rapporto da 1 a 6 è la somma del tempo che occorre per raddoppiarlo e di quello occorrente ulteriormente per triplicarlo, da un punto di vista formale ciò si può esprimere con l’ovvia realzione ln6=ln2+ln3. […]

L’equazione III è la relazione che regola i cambiamenti di unità di misura delle grandezze geometriche, fisiche, statistiche, ecc. Infatti tutte le misure sono riconducibili a potenze di misure fondamentali ed ogni cambiamento di unità si esprime con funzioni di questo tipo.Bruno Rizzi, Interpretazione di alcune equazioni funzionali - in PdM 4/1973