Pedagogia dell’esposizione e pedagogia della comunicazione nell’insegnamento della matematica. Osservazioni didattiche sulla definizione di derivata di una funzione.
La maggior parte dei libri di matematica sembrano seguire i principi della pedagogia dell’esposizione. La loro preoccupazione è tesa ad assicurare la coerenza interna dei vari capitoli, a giustificare la loro successione logica e a dare dimostrazioni accettabili. Quasi tutti, non solo i manuali scolastici, si sforzano di formulare enunciati chiari, concisi, privi di ambiguità e di arricchirli di esempi adeguati, ma lasciano poi al lettore-studente il compito di comprendere il testo e i legami più intimi soggiacenti alla sua trama.
L’attività del buon docente, invece, dovendo colmare ciò che il manuale non può dare, deve essere ispirata dalla pedagogia della comunicazione e del metodo attivo (in breve pedagogia dinamica). Meno ordinata della prima, l’aspirazione della pedagogia dinamica è di rendere comprensibile quello che viene insegnato inserendolo in una più fitta e solida rete di connessioni e motivazioni. È la pedagogia che mira a incitare costantemente l’allievo a mettere in opera attivamente, efficacemente, le conoscenze già acquisite mettendole a frutto e costruendone altre con esse e su di esse. È la pedagogia che spinge l’insegnante ad adattarsi alla classe, a captare di rimando le reazioni degli allievi, a suscitare la loro iniziativa dinamica e a formarsi egli stesso grazie a questo dialogo. In definitiva, l’acquisizione di conoscenze sviluppa un comportamento attivo del docente e del discente.
Detto in altre parole, mentre libri e manuali di matematica seguono per lo più una struttura lineare e trasmissiva, tipica appunto della pedagogia dell’esposizione, le qualità didattiche dei docenti, la loro sensibilità e preparazione se ne allontanano per imboccare la via di una pedagogia dinamica. Quest’ultima pone al centro dell’apprendimento l’attività dello studente, incoraggiandolo a costruire attivamente le proprie conoscenze. Se i manuali tradizionali privilegiano la coerenza interna e il rigore dimostrativo, l’insegnamento ispirato dalla pedagogia dinamica cerca di stimolare la curiosità e la partecipazione degli studenti, proponendo attività pratiche, problemi aperti e discussioni di comunità, rompendo anche ogni linearità e privilegiando la ciclicità che equivale a riprendere periodicamente singoli argomenti per ampliamenti e approfondimenti.
George Glaeser, un autore di cui già si è parlato, è uno di quelli che ha riflettuto sulla differenza tra le due pedagogie più di mezzo secolo fa e ne ha fornito un esempio molto calzante. L’esempio è un focus sulla definizione di derivata che mette in luce alcune difficoltà di comprensione che essa comporta e che il docente conoscendole può superare, mettendo in atto la sua pedagogia dinamica. Le osservazioni di Glaeser sono tratte dal libro: Matematica Moderna per chi deve insegnarla e sono le seguenti:
a) Per comprendere questa definizione bisogna, per prima cosa, possedere un certo vocabolario. La parola “limite”, per esempio, dovrebbe non soltanto evocare una definizione precisa, ma fondarsi su un’abilità pratica, frutto di molti esercizi e di molti calcoli. La situazione pedagogica si presenta in un luce completamente diversa secondo che questa base sia solidamente stabilita o posta lì frettolosamente, nel momento in cui dovrà essere utilizzata.
b) Sono molti i liceali che arrivano a imparare a memoria la definizione e ad applicarla in casi semplici. ma la nozione di derivata appare loro artificiale: non vedono l’interesse di prendere in considerazione un rapporto di cui sfugge loro l’origine, e le ragioni del passaggio al limite restano misteriose. In breve, è indispensabile motivare l’introduzione della derivata e farne intuire l’importanza in molti campi della scienza. Bisogna far prendere coscienza che una velocità, una pendenza, un debito, un tasso di natalità sono derivate particolari. Nè è certo superflua qualche nozione di storia del calcolo infinitesimale.
c) la restrizione “se esiste”, che figura tra parentesi nella definizione, generalmente crea disagio in un lettore impreparato. Non si può, infatti, cogliere appieno la nozione di derivata finchè non si sia constatato che un tale limite potrebbe non esistere, e non ci si sia familiarizzati con contro-esempi di funzioni non derivabili (quali, per esempio, t→|t| e t→ t sen1/t ).
d) Non basta aver appreso gli argomenti di un corso di calcolo differenziale per servirsene efficacemente. È davvero utile conoscere una dimostrazione del teorema degli incrementi finiti, se non si è compreso che si tratta di una formula di maggiorazione? Ogni trattazione di matematica dovrebbe essere accompagnata da un esame critico sul modo d’impiego e sulla fecondità delle nozioni presentate. La teoria deve essere accompagnata da una metodologia.
C’è anche da osservare che è difficile che i manuali scolastici riescano a sfuggire ai crismi della pedagogia dell’esposizione mentre la pedagogia dinamica è propria delle qualità pedagogiche del docente e discende dalle sue interpretazioni del manuale adottato.
Esistono comunque manuali che sempre di più stimolano a interpretazioni multiple. Un manuale siffatto (ma ne esistono molti altri di più recente progettazione) è quello di Emma Castelnuovo che è certamente tra le più autorevoli rappresentanti della pedagogia dinamica. Nel caso particolare discusso da Glaeser della definizione della derivata, la Castelnuovo inizia il capitolo relativo illustrando e discutendo alcuni problemi che conducono alla derivata di una funzione. Ad esempio:
- la velocità istantanea di un corpo che si muove con una data legge oraria;
- il tasso di crescita di una popolazione
- la tangente ad una data curva in un punto.
A questa introduzione, E. Castlenuovo fa seguire la definizione di derivata e gli esempi di calcolo del limite del rapporto incrementale per determinate funzioni. Lo stesso ordine è presente nella parte degli esercizi che rivela comunque una certa autonomia dalla parte teorica e costituisce, per il docente, un incitamento ad adattarsi alla classe eventualmente cambiando anche l’ordine della trattazione.
Se lo ritiene il docente può benissimo assumere come punto di partenza la definizione, continuare con gli esercizi di calcolo e affrontare i problemi di significato. Ad esempio: il carattere locale del concetto di derivata, il suo legame con la nozione di tangente e i due modi di avere intuizione di una tangente ad una curva, l’uno dinamico e l’altro statico. Il primo è quello che trova la sua traduzione nella scrittura della derivata come limite che vede la retta tangente diventare il limite di rette secanti. Il secondo è quello immortalato da Leibniz: la tangente non è definita da un processo (passaggio al limite) ma da una posizione di contatto legato a un dx infinitesimale.
Quanto finora detto apre ovviamente ad affrontare il problema del rapporto tra il docente e il libro di testo ma anche a considerare come tutto ciò possa avere implicazioni per la formazione dei docenti.
COMMENTS