Esami di Stato. La trigonometria nelle prove scritte della maturità scientifica e nella didattica. Una raccolta di quesiti e le relative soluzioni.
Un articolo dell’ispettore Domenico Bruno, scritto per il Periodico di Matematiche nel 2013 e riproposto qualche anno fa su Matmedia, fornisce un’interessante ricognizione dei quesiti di trigonometria assegnati agli esami di Stato nelle sessioni, allora, più recenti.
L’obiettivo principale è una riflessione sulla valenza didattica della trigonometria nella risoluzione di problemi di carattere geometrico, o collegati a un contesto reale, e sull’opportunità della sua presenza nelle prove d’esame: una riflessione che può essere riproposta nel contesto attuale .
Considerata spesso come la parte meno nobile della geometria, della quale sostanzialmente rappresenta l’aspetto algoritmico, la trigonometria è stata ridimensionata con l’entrata in vigore della riforma Gelmini, specialmente nelle tracce di matematica del liceo scientifico .
La conoscenza delle proprietà delle funzioni goniometriche è richiesta più che altro in alcuni quesiti di Analisi, principalmente calcolo di limiti, mentre nei problemi prevale la scelta di funzioni algebriche o esponenziali.
In verità le Indicazioni Nazionali del 2010 suggeriscono l’introduzione dei primi elementi di trigonometria fin dal biennio (soprattutto per le applicazioni nello studio della fisica), lasciando al docente la scelta del loro utilizzo nei percorsi didattici.
La rilettura di alcuni quesiti della «vecchia» maturità, dei quali proponiamo le soluzioni commentate, può suggerire validi spunti di approfondimento.
A) Questioni geometriche
In particolare, è evidente come gli ultimi 3 quesiti possano essere collegati a un problema classico, il problema di Regiomontano, suggerendo l’importanza di non trascurare la dimensione storica nella scelta di problemi.
L’astronomo matematico tedesco Johannes Müller (1436 -1476) da Königsberg ( latinizzato “de Regio Monte”) scrisse nel 1464 il trattato De triangulis omnimodis nella cui Prefazione sottolineava che «… nessuno può ignorare la scienza dei triangoli e raggiungere una buona conoscenza delle stelle …»
«..Coloro che intendono studiare queste magnifiche cose, e che si interrogano sul movimento delle stelle, devono leggere questi teoremi sui triangoli. La conoscenza di queste idee aprirà la porta ad alcuni problemi geometrici e a tutti quelli dell’astronomia.”…»
Senza sottovalutare la sua importanza nella modellizzazione di alcuni fenomeni fisici, la trigonometria è essenzialmente “la scienza dei triangoli” e come tale dovrebbe essere presentata agli allievi.
Vanno evitati ovviamente i problemi ripetitivi o inutilmente laboriosi, a favore di quelli che possono suscitare curiosità e interesse, eventualmente sfruttando le potenzialità degli strumenti di rappresentazione grafica o di calcolo.
Le soluzioni di 1 e 2
Le soluzioni di 3, 4 e 5
Le stesse considerazioni valgono per il secondo gruppo di quesiti
B) Applicazione a contesti reali
- Un ufficiale della guardia di finanza, in servizio lungo un tratto rettilineo di costa, avvista una motobarca di contrabbandieri che dirige in linea retta, perpendicolarmente alla costa, verso un vecchio faro abbandonato. L’angolo tra la direzione della costa e il raggio visivo dell’ufficiale che guarda la motobarca è di 34,6°; il natante si trova a 6 miglia marine dal faro e si muove con una velocità di 18 nodi (miglia marine all’ora). L’ufficiale ordina di salire immediatamente in macchina, in modo da raggiungere il faro, percorrendo una strada parallela alla spiaggia, 10 minuti prima che vi approdino i contrabbandieri, per coglierli con le mani nel sacco.
A che velocità media, in km/h, deve muoversi l’automezzo della guardia di finanza per arrivare nei tempi previsti? (Un miglio marino = 1853,182m). [Quesito 1. Straordinaria 2013. Ordinamento]
- Un osservatore posto sulla riva di un lago a 236 m sopra il livello dell’acqua, vede un aereo sotto un angolo di elevazione α=42,4° e la sua immagine riflessa sull’acqua sotto un angolo di depressione β=46,5°. Si trovi l’altezza dell’aereo rispetto all’osservatore. [Quesito 5- Suppletiva 2014-Ordinamento-PNI]
- Due osservatori A e B, posti in un campo orizzontale, alla distanza di 500 m, seguono con il cannocchiale di un teodolite, alto 1,50 m, un aeroplano. Quando questo passa per il piano verticale comune di A e B, gli angoli di elevazione sono, rispettivamente, in A di 80,33° e in B di 70°. A quale altezza dal suolo vola l’aeroplano ? [Quesito 1. Straordinaria Liceo della Comunicazione]
Le soluzioni dei quesiti 1,2,3
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