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Kant e la matematica

Immanuel Kant ancora vivo dopo tre secoli. Fin quando continueranno le ricerche nel campo della filosofia della matematica, Kant resterà attuale.

 “Bisogna dunque tornare a Kant”
Otto Liebmann

Immanuel Kant (1724-1804)

Kant e la matematica

22 aprile 1724: data di nascita dell’insigne filosofo. Non segniamo qui la data di morte, perché dopo trecento anni è ancora vitale il suo pensiero critico, in cui continuano ad essere riscontrati elementi di estremo interesse.

Kant concepì la propria filosofia come una “rivoluzione copernicana“, tale da condurre fra l’altro a superare il dogmatismo metafisico, che caratterizzava in particolar modo il pensiero leibniziano commisto di filosofia e teologia. L’eredità della visione kantiana consiste nella ricerca critica sulle condizioni del conoscere.

Benché molti elementi propri della sua speculazione siano stati nel tempo oggetto di notevoli critiche, Kant rimane un pensatore fondamentale per la comprensione della filosofia moderna, di cui è considerato una delle figure fondanti, essendosi opposto sia all’empirismo che al razionalismo.

Nella prefazione alla seconda edizione della Critica della ragion pura scrive Kant:

“La matematica e la fisica sono le due conoscenze teoretiche della ragione, che devono determinare a priori il loro oggetto: la prima in modo del tutto puro, la seconda almeno in parte, ma poi tenendo conto ancora di altre fonti di conoscenze oltre quella della  ragione […] II primo che dimostrò il triangolo isoscele  (si chiamasse Talete o come si voglia), fu colpito da una gran luce: perché comprese ch’egli non doveva seguire pedissequamente ciò che vedeva nella figura, né attaccarsi al semplice  concetto di questa figura, quasi per impararne le proprietà; ma, per  mezzo di ciò che per i suoi stessi concetti vi pensava e rappresentava  (per costruzione), produrla; e che, per sapere con sicurezza qualche cosa a priori, non doveva attribuire alla cosa se non ciò che scaturiva necessariamente da quello che, secondo il suo concetto, vi aveva posto egli stesso.”

Per quanto riguarda la fisica, Kant interpreta così gli esperimenti scientifici:

“Quando Galilei fece rotolare le sue sfere su di un piano inclinato, con un peso scelto da lui stesso, e Torricelli fece sopportare all’aria un peso, che egli stesso sapeva di già uguale a quello di una colonna d’acqua conosciuta, e, più tardi, Stahl trasformo i metalli in calce, e questa di nuovo in metallo, togliendovi o aggiungendo qualche cosa, fu una rivelazione luminosa per tutti gli investigatori della natura. Essi compresero che la ragione vede solo ciò che lei stessa produce secondo il proprio disegno, e che, con princìpi dei suoi giudizi secondo leggi immutabili, deve essa entrare innanzi e costringere la natura a rispondere alle sue domande; e non lasciarsi guidare da lei, per dir così, colle redini; perché altrimenti le nostre osservazioni, fatte a caso e senza un disegno prestabilito, non metterebbero capo a una legge necessaria, che pure la ragione cerca e di cui ha bisogno.

È   necessario dunque che la ragione si presenti alla natura avendo in una mano i princìpi, secondo i quali soltanto è possibile che fenomeni concordanti abbiano valore di legge, e nell’altra l’esperimento, che essa ha immaginato per venire istruita da lei, non in qualità di scolaro che stia a sentire tutto ciò che piaccia al maestro, ma di giudice, che costringa i testimoni a rispondere alle domande che egli loro rivolge. La fisica pertanto è debitrice di così felice rivoluzione compiutasi nel suo metodo solo a questa idea, che la ragione deve (senza fantasticare intorno ad essa) cercare nella natura, conformemente a quello che essa stessa vi pone, ciò che deve apprenderne, e di cui nulla potrebbe da sé stessa sapere. Così la fisica ha potuto per la prima volta esser posta sulla via sicura della scienza, laddove da tanti secoli essa non era stato altro che un semplice brancolamento.

Alla metafisica, conoscenza speculativa razionale, affatto isolata, che si eleva assolutamente al di sopra degli insegnamenti dell’esperienza, e mediante semplici concetti (non, come la matematica, per l’applicazione di questi all’intuizione), nella quale dunque la ragione deve essere scolara di sé stessa, non è sinora toccata la fortuna di potersi avviare per la via sicura della scienza; sebbene essa sia più antica di tutte le altre scienze, e sopravviverebbe anche quando le altre dovessero tutte quante essere inghiottite nel baratro di una barbarie che tutto devastasse. Giacché la ragione si trova in essa continuamente in imbarazzo, anche quando vuole scoprire (come essa presume) a priori quelle leggi, che la più comune esperienza conferma. In essa si deve innumerevoli volte rifar la via, poiché si trova che quella già seguita non conduce alla mèta; e, quanto all’accordo dei suoi cultori nelle loro affermazioni, essa è così lontana dall’averlo raggiunto, che è piuttosto un campo di lotta […]”

Possiamo ipotizzare che, fin quando continueranno le ricerche nel campo della filosofia della matematica, l’impostazione del problema operata da Kant resterà attuale.

Conforta l’ipotesi Hao Wang, Professore sia di Matematica che di Filosofia presso la Rockefeller University di New York e ricercatore presso il MIT – Massachusetts Institute of Technology, autore fra l’altro di una serie di interviste a Kurt Gödel (interviste confluite in A Logical Journey: From Gödel to Philosophy, Cambridge, Massachusetts, MIT Press, 1996). Hao Wang ritiene ancora produttivo l’approccio metodologico kantiano  (Hao Wang, Dalla matematica alla filosofia, Bollati Boringhieri, 2016; titolo originale: From Mathematics to Philosophy, Routledge Revivals, 1974):

“Possediamo per natura una viva curiosità verso il mondo e verso la nostra mente; non intendo certo negare che la fisica e la psicologia possano aprirci la via alla conoscenza, ma ritengo che l’ambizioso metodo trascendentale di Kant sia un approccio filosoficamente più interessante […] In pratica, perfino la derivazione kantiana della fisica di Newton dai princìpi primi è ben lontana dall’essere conclusiva; tuttavia la nostra sensazione che Kant abbia fatto qualcosa di notevole con il suo studio della ragione pura si fonda su dati ben migliori del semplice rispetto per l’autorità.”

Per Hao Wang si tratta di comprendere e spiegare come la matematica, pur avvalendosi di “puri giochi di simboli”, sia caratterizzata da uno “stretto legame con il mondo fisico”. Ed è per l’appunto questa caratteristica che Kant ha sottoposto al vaglio della ragion pura:

“Secondo Kant, la matematica è determinata dalla forma della nostra intuizione pura, così che è impossibile immaginare qualcosa che violi la matematica. Se siamo d’accordo sul fatto che il mondo fisico, compreso il nostro cervello, è un fatto puro e semplice, si può dire che questo punto di vista implica che il mondo esterno, inclusa la struttura fisiologica della nostra mente, determina la matematica.”

Hao Wang da un lato non ritiene che le geometrie non euclidee conducano a confutare la dottrina kantiana, perché possono essere costruite come sovrastrutture della geometria euclidea, mentre dall’altro ritiene che non sia chiaro come da tale dottrina possano essere ricavati i princìpi di tale costruzione. Resta però il fatto che secondo l’insegnamento di Kant “la matematica è riconducibile alla logica”. Pertanto, la filosofia ha molto ancora da insegnare ai matematici, così come la matematica ha ancora molto da insegnare ai filosofi. La ricerca dei fondamenti della matematica è ancora aperta, dal momento che non sappiamo “che cosa siano un numero reale o un insieme di interi”.

Altra suggestione proveniente da Kant nel pensiero di Hao Wang riguarda gli usi pratici della matematica.

A questo proposito lo studioso cita dalla kantiana Fondazione della metafisica dei costumi un passo ove si illustra la distinzione fra l’agire umano per “interesse pratico” o per “interesse patologico”: nel primo caso si agisce con una volontà regolata dalla ragione, mentre nel secondo caso la ragione è piegata ad assecondare un’inclinazione.

Hao Wang dedica un certo spazio alla posizione di Frege rispetto a quella di Kant:

“Frege sostiene di avere ricondotto l’aritmetica alla logica e di avere stabilito così il carattere analitico delle proposizioni aritmetiche. Egli ritiene di avere in questo modo confutato Kant, che considera le proposizioni aritmetiche come sintetiche a priori.”

Il dibattito resta più che mai aperto nel pensiero contemporaneo e per questo va riconosciuto a Kant il merito di avere focalizzato l’attenzione sulle differenze fra “analitico” e “sintetico” in matematica. Secondo Hao Wang si tratta di mantenere questa distinzione e di saperla usare.

Ludwig Wittgenstein (1872-1970)

Aggiungiamo che un altro merito da riconoscere a Kant consiste nell’avere spinto a riflettere sull’importanza del linguaggio nella definizione degli enti matematici.

Infatti per l’espressione matematica “7 + 5 = 12” Kant non usa il termine “calcolo”, bensì il termine “giudizio”. Si tratta quindi di chiarire il rapporto fra simboli matematici e simboli linguistici, ovvero fra segni del linguaggio matematico e segni del linguaggio naturale. È stimolante in proposito l’approccio di Ludwig Wittgenstein ai fondamenti della matematica (Ludwig Wittgenstein, Lezioni sui fondamenti della matematica, Bollati Boringhieri, 1982; titolo originale: Wittgenstein’s Lectures on Foundations of Mathematics, Cornell University Press, 1976). Si rifletta, ad esempio, su questa affermazione che riguarda per l’appunto la logica:

“Non c’è una distinzione netta: ci sono cose che non sapremmo se chiamare calcolare o pensare, oppure no”.

Pur senza nominare Kant nel corso di queste sue lezioni, Wittgenstein mostra di concordare con lui sul piano logico, ammettendo che “ci sono anche proposizioni che vengono considerate sintetiche a priori” e adducendo come esempio la frase “Una macchia non può essere verde e rossa nello stesso tempo”:

“Questa non viene annoverata tra le proposizioni logiche. Ma l’impossibilità che essa esprime non dipende dall’esperienza o dalle osservazioni fatte”.

Kant viene nominato da Wittgenstein nel suo Tractatus logico-philosophicus e nei Quaderni 1914-1916. (Ludwig Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus e Quaderni 1914-1916, Einaudi, 1968; titoli originali: Tractatus logico-philosophicus, Routledge and Kegan Paul, 1961 e  Notebooks 1914-1916, Basil Blackwell, 1961).

Nel Tractatus Wttgenstein si richiama al problema kantiano delle mani, scrivendo:

“Il problema kantiano della mano destra e della sinistra, che non si possono far coincidere, sussiste già nel piano, anzi nello spazio ad una dimensione, ove le due figure congruenti a e b non possono esser fatte coincidere senza essere rimosse da questo spazio. Mano destra e mano sinistra sono in realtà perfettamente congruenti. E che non si possa farle coincidere non ha nulla a che fare con ciò.

Si potrebbe calzare il guanto destro alla mano sinistra, se lo si potesse rivoltare nello spazio a quattro dimensioni”.

Ancora nel Tractatus si riferisce così all’imperativo categorico:

“Il primo pensiero, nell’atto che è posta una legge etica della forma <<Tu devi …>> è: E se non lo faccio? Ma è chiaro che nulla l’etica ha da fare con pena e premio, nel senso ordinario di questi termini. Dunque, questo problema delle conseguenze d’un’azione non può non essere irrilevante. – O almeno, queste conseguenze non devono essere eventi. Infatti in quella domanda qualcosa deve pur essere corretto. Dev’esservi sì una specie di premio etico e di pena etica, ma questi non possono non essere nell’azione stessa.
(Ed è anche chiaro che il premio dev’essere qualcosa di grato; la pena, di ingrato)”.

Nei Quaderni Kant viene citato a proposito della matematica pura:

“Luce sulla questione di Kant «Come è possibile la matematica pura?» mediante la teoria delle tautologie!”

Oltre a questi riferimenti diretti Wittgenstein riprende nelle opere citate la questione fondamentale della Critica della ragion pura di Kant, vale a dire la necessità di una filosofia del linguaggio che si fondi sulla ricerca inerente alla logica delle proposizioni come enunciati elementari e sulle modalità con cui un predicato si raccorda a un soggetto.

In generale, l’apporto che il pensiero di Kant ha dato allo sviluppo delle ricerche sui fondamenti della matematica non può essere sottovalutato.

David Hilbert (1862-1943)

Il rapporto fra soggetto e oggetto così come è stato impostato da Kant continua a rinviare al dibattito ancora aperto sull’origine della matematica, per cercare di stabilire se siamo di fronte a una forma interna al pensiero oppure derivante dall’esperienza. Sull’argomento si sono cimentati, fra gli altri, Henri  Poincaré (Sur la nature du raisonnement mathematique), Richard Dedekind (Was sind und  was sollen die Zahlen), Gottlob Frege (Die  Grundlagen der Arithmetik), Georg  Cantor (Mitteilungen zur Lehre vom Transfinitem), Kurt Gödel (Diskussion zur Grundlegung der Mathematik), David Hilbert (David Hilbert’s Lectures on the Foundations of Arithmethic and Logic). Hilbert riconosce in Kant un maestro:

“Già Kant ci ha insegnato che la matematica dispone di un contenuto assicurato indipendentemente da ogni logica. Come prerequisito per l’uso delle inferenze logiche, ci deve essere dato già qualcosa nell’immaginazione: certi   oggetti discreti extralogici, che esistono intuitivamente come esperienze immediate prima di ogni pensiero”.

Non disposto a tornare a Kant si rivela invece Bertrand Russell, che nel criticarlo assume l’aspetto del pensatore anglosassone condizionato dall’empirismo e perciò disturbato dalla filosofia trascendentale del pensatore tedesco,  come si può verificare nella sua ambiziosa  Storia della filosofia occidentale e dei suoi rapporti con le  vicende politiche e  sociali dall’antichità ad oggi (History of  Western Philosophy and its Connection with Political and  Social Circumstances from the Earliest Times to ther Present Day). è l’intero schema della filosofia kantiana a non persuadere Russell, che sul piano della ragion pura contesta in particolar modo i giudizi sintetici a priori, la teoria dello spazio e del tempo e all’interno di essa la concezione della geometria e dell’aritmetica.

Russell a sua volta non è esente da critiche, come questa che si ritrova in rete:

“Russell was a fantastic philosopher and popularizer of philosophy but I tend to share the view that his skills as a historian of philosopher were overrated, partly for this reason. He is ridiculing his predecessors’ answers without always acknowledging well that he and they were asking very different questions, and subsequently it’s sometimes hard to come away from the view that he sees the Hellenistic philosophers on one side of history and the analytics on the other, with (mostly) two thousand years of idiots in between. For Russell, Kant is just another one of those idiots.”

Secondo Russell la concezione kantiana della geometria, che riguarda lo spazio, sarebbe questa:

“Gli oggetti del senso debbono obbedire alla geometria, perché la geometria è legata al nostro modo di percepire, e noi non possiamo percepire in altro modo. Ciò spiega perché la geometria, benché sintetica, sia a priori ed apodittica”.

Secondo Russell la concezione kantiana della matematica, che riguarda il tempo, sarebbe questa:

“Gli argomenti intorno al tempo sono essenzialmente gli stessi; l’aritmetica prende però il posto della geometria, con la premessa che il contare richiede del tempo”.

Orbene, proprio le critiche di Russell con il loro sentore di stravaganza mista a irritazione concorrono a ribadire che Kant non è affatto caduto nel dimenticatoio.

Kant e la politica

Bernard-Henry Lévy ricorda lo spirito cosmopolitico di Kant (la Repubblica, 11.04.2024):

“[…] Perché non pensare a un Parlamento mondiale di popoli liberi che – davanti a una nuova guerra che veda contrapporsi l’impero (l’Occidente, le democrazie e coloro che nei due terzi del pianeta vivono sottomessi ma si richiamano ai principi dell’Illuminismo) e i cinque regni (Russia, Cina, Turchia neo-ottomana, nostalgici del Califfato sunnita, Iran) – riprenda il nobile programma del cosmopolitismo kantiano, dotandosi però, questa volta, dei mezzi necessari a realizzarlo?”

Alessandro Verrelli si ricollega all’esortazione di Otto Liebmann col sottolineare che “anche in politica bisogna tornare a Kant” (FrosinoneToday – supplemento al plurisettimanale telematico RomaToday – 27.12.2019)):

“[…] Bisogna far proprio il concetto che, per Kant, il valore della pace è un criterio costitutivo del destino storico e politico di tutta l’umanità oltreché misura del progresso umano. L’umanità, come ogni singolo uomo, va trattata come fine e mai come mezzo, tenendo bene a mente che il valore di ogni individuo è supremo dovere dell’agire umano. Ed oggi, in un’epoca in cui le istituzioni e la politica sembrano essere schiave degli interessi personali e personalistici, questi concetti devono essere ripresi e fatti propri.”

L’imperativo categorico kantiano, che pone il dovere come fine a se stesso, non subordinato ad alcuna ipotesi, anima in particolare il saggio Zum ewigen Frieden, in cui il filosofo illustra il suo progetto per una pace perpetua,  contrastato purtroppo a tutt’oggi da forze ostili ancor più feroci di quelle che il suo allievo Friedrich Gentz contrappose alla visione del maestro considerata utopistica (Friedrich Gentz, Poscritto al ragionamento del signor Professor Kant sul rapporto tra teoria e prassi e Sulla pace perpetua. Introduzione, traduzione e note a cura di Giulio De Rosa, Esa – Edizioni Scientifiche Artistiche, 2024). Siamo nel Duemila e il pessimismo di Gentz riceve sempre nuove conferme. Continuiamo a chiederci perché una “costituzione universale basata sul diritto internazionale” rivesta i caratteri dell’utopia.  Ecco la risposta di Gentz:

“Innanzitutto perché un tale sistema federativo se non è universale non funziona, ma nello stesso tempo costruire una federazione mondiale è impossibile.”

Infatti il diritto non riesce e non riuscirà a superare ostacoli innati nella natura degli esseri umani:

Bertrand Russell (1872-1970)

“Da una parte, infatti, non riesce sempre a reprimere o a incanalare verso sbocchi legali la sfera animale fatta di pulsioni distruttive o primordiali, ostili a qualsiasi regolamentazione e contro la quale si trova in lotta perenne, e dall’altra esso per la sua natura uniformante e relativamente estendibile non può abbracciare tutta l’umanità in un’unica federazione basata su una costituzione civile.”

A Kant, che immagina e cerca di dimostrare che nella natura umana alberga e può avere pieno sviluppo una positiva razionalità, viene opposta una desolante obiezione:

“Ma l’uomo non sarà mai un puro essere razionale e non potrà esserlo in alcun momento della sua vicenda terrena.”

Tuttavia, proviamo a intendere il progetto kantiano come scommessa che l’umanità intera riesca finalmente ad accettare i dettami della ragione e a ripudiare sempre e dovunque la guerra: bisogna ammettere che in caso di   vittoria la posta in palio si risolverebbe in un guadagno infinito, mentre nel caso contrario sarebbe infinita la perdita. Così possiamo intendere l’insegnamento per sempre attuale di Kant: rinunciare all’utopia significherebbe dichiararsi perdenti in partenza, senza essersi impegnati in alcuna scommessa.

Perfino Bertrand Russell riconosce a Kant, pur definendolo “sospettoso della democrazia”, il merito di avere elaborato “l’importante concetto di una federazione mondiale come mezzo per assicurare la pace”.

Mentre esistono ancora esseri umani così feroci da perpetuare la “scienza esatta persuasa allo sterminio”, come avviene con le raccapriccianti guerre odierne sfocianti in crimini contro l’umanità, a favore dell’impegno per la pace ereditato da Kant si pronuncia oggi il venerando vegliardo Edgar Morin nel concludere il suo volume sull’identità umana (Edgar Morin, Il metodo. 5. L’identità umana, Raffaello Cortina Editore, 2002; edizione originale: La Méthode. 5. L’Humanité de l’Humanité. Tome I. L’identité humaine, Edition du Seuil, 2001):

“Sarà possibile salvare l’umanità realizzandola pienamente? Niente è sicuro, neanche il peggio.”

Autore

  • Biagio Scognamiglio

    Biagio Scognamiglio (Messina 1943). Allievo di Salvatore Battaglia e Vittorio Russo. Già docente di Latino e Greco e Italiano e Latino nei Licei, poi Dirigente Superiore per i Servizi Ispettivi del Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca. Ha pubblicato fra l’altro L’Ispettore. Problemi di cambiamento e verifica dell’attività educativa.

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