La didattica della matematica in due metafore

Lo stato della didattica della matematica in due metafore letterarie: il sacco vuoto di Pirandello e la mappa 1:1 di Borges

La didattica della matematica è una riflessione continua su ciò che si insegna e su come lo si insegna: un campo ampio, ricco di idee, tradizioni, pratiche e tensioni. Tra queste se ne impongono due che appaiono talvolta addirittura antitetiche: da un lato l’esigenza di offrire una presentazione ordinata e sistematica delle conoscenze ritenute essenziali; dall’altro, la necessità di dare vita e significato all’idea stessa di matematica nel suo essere e nel suo divenire. Due metafore letterarie, provenienti da contesti diversi, possono illuminare questa dicotomia: la mappa 1:1 narrata da Jorge Luis Borges e il “sacco vuoto” evocato da Luigi Pirandello.

La mappa 1:1 ovvero l’ossessione della completezza

Nel breve racconto Sull’esattezza nella scienza (1946)¹, Borges riprende un’idea già presente in Lewis Carroll²: un impero immaginario, ossessionato dal desiderio di produrre mappe sempre più precise del suo territorio, giunge a costruirne una in scala 1:1. L’intero impero risultò così coperto da una mappa dell’impero.

Le risorse sprecate in questo mastodontico progetto di rappresentazione totale della realtà furono però tali da condurre alla rovina l’impero stesso; la mappa si disintegrò insieme al regno che pretendeva di riprodurre.

Questa immagine borgesiana della mappa globale sembra adattarsi bene alla logica che ha governato ( e ancora in parte governa) l’organizzazione della matematica a fini pedagogici. Il discorso per spiegare il senso di questo accostamento può fondatamente partire da Euclide e dai suoi Elementi: l’insegnante più famoso che la storia ricordi e il manuale che per secoli ha rappresentato non solo il “cosa” e il “come” insegnare, ma anche la base del costituirsi del concetto stesso di disciplina, della ratio ordinis studiorum di gesuitica memoria e, insieme, il modello, tuttora insuperato, di sistema ipotetico-deduttivo.

La metafora della mappa trova dunque giustificazione nelle osservazioni che seguono.

Euclide ideò e realizzò gli Elementi come libro di testo per i suoi allievi della scuola di Alessandria d’Egitto³. Un progetto che, tuttavia⁴, riuscì a realizzare non senza operare alcuni tagli. Non incluse infatti tutte le conoscenze dell’epoca, ma soltanto quelle che considerava essenziali per aprire ai giovani le porte della casa della Sapienza. Inserì, in altri termini, tutto ciò che era importante e che pertanto doveva essere insegnato e appreso. Ciò che in definitiva è tuttora un obiettivo della pedagogia matematica.

In quella sua mappa delle conoscenze matematiche dell’epoca, Euclide tracciò anche un percorso: un itinerario che permetteva di attraversare l’intero territorio, da un bordo all’altro del foglio mappale, con continuità e senza salti.

Questo itinerario, com’è noto, prende avvio dalla definizione di un certo numero di nozioni primarie (quelle che vanno insegnate per prime, perché fungono da ancore agli sviluppi successivi), prosegue con la costruzione del triangolo equilatero (il primo teorema), i criteri di uguaglianza dei triangoli e approda all’equivalenza delle figure piane. Sviluppa quindi la teoria delle proporzioni (libro V) e delle figure simili (libro VI), affronta la teoria dei numeri – includendo la sezione aurea, l’infinità dei numeri primi e i numeri perfetti – e la classificazione degli incommensurabili (libro X). Termina con i tre libri (XI-XII-XIII) dedicati alle figure solide, ponendo come traguardo finale del viaggio la dimostrazione dell’esistenza dei cinque solidi platonici (l’ultimo teorema: il 465°).

Una catena ininterrotta di anelli che legano un teorema al successivo: un passo dopo passo scandito dalle leggi della deduzione che diventa la via maestra dell’insegnamento della matematica.

Tre cardini fondamentali

Nella logica degli Elementi, la borgesiana “mappa 1:1” del territorio della Geometria è dunque il presupposto per procedere all’organizzazione globale dei suoi contenuti, cioè alla loro sistemazione didattica. Con questo presupposto la didattica della matematica sembra allora aver ruotato costantemente attorno ai seguenti tre cardini:

1. Un’idea globale della matematica e dei suoi capitoli. Una globalità che è, ovviamente, solo apparente; in realtà è approssimativa ed effimera, soggetta com’è a quella continua evoluzione che portò Michel Serres⁵ ad asserire che la matematica  “a volte sembra mutare non d’andatura ma di natura”. Questa mutevolezza e dinamicità della matematica si riflette inevitabilmente anche nella sua didattica.

2. La ricerca dei concetti primari. Una ricerca costante che a seconda dei periodi storici ha condotto a porre l’accento ora sul numero, ora sullo spazio e le figure, in ultimo sugli insiemi, sulle relazioni o sulle strutture (algebriche, d’ordine, topologiche), ecc.

3. La costruzione degli itinerari didattici. Itinerari pensati come percorsi consequenziali (le catene di anelli) e ispirati a metodi diversi: storico, storico-genetico, psicogenetico, euristico, sincretico, e così via.

Il rovesciamento di prospettiva

I tre aspetti appena richiamati sono ancora ben presenti nel taglio con cui vengono scritti la maggior parte dei libri di testo, sia universitari che della scuola secondaria. Ma sono anche quelli che più evidenziano i cambiamenti in atto nella ricerca pedagogica: un vero e proprio rovesciamento di prospettiva.

• Il primo punto non è più il presupposto ispiratore della didattica, ma diventa piuttosto l’obiettivo e il fine dell’insegnamento stesso.

• Il secondo punto sposta l’attenzione: non è più concentrata sui concetti primari, bensì sui punti di arrivo, sulle mete o traguardi dell’apprendimento.

• Il terzo punto muta radicalmente: agli itinerari didattici “canonici”, concepiti come catene lineari e gerarchiche di concetti, si sostituiscono reti di connessioni.

La linea pedagogica è completamente invertita: non è più dal continuo al discreto ma dal discreto al continuo. L’integrità del tessuto della matematica è punto di arrivo non di partenza!

Dal locale al globale: le tavole di apprendimento

Il capovolgimento di prospettiva porta dunque ad una diversa soluzione: non è presupposta alcuna mappa della matematica, né parziale, nè globale (difficile, peraltro, anche da pensare, non essendo la matematica una realtà in qualche modo immutabile). La mappa, obiettivo da conseguire, va costruita a partire dalla selezione di una breve lista di punti significativi e strategici (focal points).

Il problema didattico è allora di arrivare a quei punti (risultati di apprendimento) costruendo non una, ma una molteplicità di vie che vi conducono. È il punto di vista alla base delle Indicazioni Nazionali con cui sono stati sostituiti normativamente i programmi d’insegnamento e che si trova concretizzato nelle tavole d’apprendimento realizzate in due diversi progetti  ministeriali.

Sono le due tavole del Teniers e del Mondrian: mettono in mostra, come accade in una galleria d’arte, i risultati di apprendimento da conseguire a conclusione rispettivamente del primo biennio e dell’indirizzo di liceo scientifico. La loro costruzione e il loro significato sono oggetto di ampia illustrazione su questo sito.

Il sacco vuoto di Pirandello

Insegnare la matematica, spiegarla, farla capire non è mai stato semplice e il discorso di riuscirci è sempre aperto. Quello che è certo è che ciò non si può ottenere servendosi di un itinerario da ripercorrere e “scodellare”⁶  né tantomeno affidandosi a una lista di focal points. Deve essere un’attività più complessa: deve portare a legare, a scoprire, a inventare la topologia della mappa, a tesserne le tante trame atte a renderne il tessuto forte e integro.

Qui risuona allora l’altra metafora, tratta dal finale di Sei personaggi in cerca d’autore di Luigi Pirandello. Uno dei personaggi si chiede: «Che cos’è un fatto?» e risponde: «È un sacco vuoto che non si regge in piedi. Perché si regga, bisogna riempirlo con tutto ciò che l’ha prodotto.»⁷

E perché risuona? Perché un concetto matematico non può esistere come entità isolata. Ha bisogno di un “prima” e un “dopo” e ha bisogno di “perché”, di motivazioni, di connessioni e di significati. Il senso della metafora è allora che ciascun punto di quella lista deve essere visto come un sacco da riempire per stare in piedi. Ed è questo, peraltro, che viene espresso nella presentazione della tavola del Teniers:

Ciascun punto della lista ha la funzione di guidare il docente nella sua progettazione didattica, nella definizione del suo programma d’insegnamento. Il docente, in questo modo, sa qual è il traguardo, sa dove gli si chiede di arrivare. […] Una meta che può raggiungere come vuole, scegliendo metodi, strumenti, linguaggi, esempi che arricchiscono di significato, applicazioni che contestualizzano, riferimenti storici e, sempre calibrando i tempi, seguendo un itinerario che attraversa i capitoli tradizionali, connettendo variamente teoremi e algoritmi, cogliendone particolari e generalizzazioni in una visione unificatrice.

Il docente gioca cioè con il suo sapere matematico, come un giocoliere che manovra e assembla diversamente ciò che sa; non insegna l’Algebra, la Geometria, la Trigonometria nelle loro false sistemazioni, non srotola né ricapitola una matematica già fatta ma rimescola, associa fatti, idee e procedure che riorganizza in una rete robusta di ragionamenti e non seguendo le esili e canoniche catene deduttive.

Diderot e d’Alembert, proseguendo nella visione che fu di Euclide, nella voce Éducation dell’Encyclopédie, avevano scritto: “Il gran segreto della didattica, ovvero dell’arte d’insegnare, è di essere nelle condizioni di chiarire la subordinazione delle conoscenze.” Ma questo presupponeva l’esistenza di una mappa 1:1 delle conoscenze: era il loro credo, e l’Encyclopédie aspirava ad esserne la realizzazione. Un credo che si è sostanzialmente estinto ed un mito ormai tramontato. L’ alternativa è il “sacco” da riempire: una matematica che vive solo se colma di significato, di contesto e di legami vitali.

Così, la didattica della matematica abbandona il sogno impossibile della mappa 1:1 per trasformarsi in un’arte della composizione: un tessere paziente di fili, un intreccio che non chiude mai il suo disegno, ma lo rinnova ogni volta che qualcuno vi si mette in cammino.

Note

1. J.L. Borges, Sull’esattezza nella scienza, in L’Aleph (1949).
2. L. Carroll, The New Belfry of Christ Church, Oxford, parodia del concetto di mappa totale.
3. Pappo di Alessandria e altri autori antichi attribuiscono a Euclide la fondazione della scuola alessandrina.
4. Proclo, Commentario al primo libro degli Elementi di Euclide (V sec. d.C.).
5. M. Serres, Le origini della geometria (1994)
6. L’espressione è di B. de Finetti: “Stimolare non scodellare” in PdM 2/1975
7. L. Pirandello, Sei personaggi in cerca d’autore (1921), atto finale.