Concorsi a Cattedre 2000

Concorsi a Cattedre 2000

CONCORSI A CATTEDRE E PER IL CONSEGUIMENTO DELL’ABILITAZIONE
(D.D.G. 1 APRILE 1999)
SCUOLA SECONDARIA SUPERIORE
CLASSE 48/A: MATEMATICA APPLICATA

Il candidato svolga, a scelta, uno dei seguenti temi:

Tema 1

In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali, è assegnata la curva g i cui punti sono tali che la somma dei quadrati delle loro coordinate è uguale al prodotto di tali quadrati.

a)     Studiarla e disegnarne l’andamento
b)    Determinare l’insieme M dei movimenti che mutano g in sé e studiare la struttura algebrica (M, *) dove * rappresenta la composizione di due movimenti.
c)     Di ciascuno dei suddetti movimenti fornire le equazioni.
d)    Dopo aver determinato le equazioni di una generica isometria diretta e di una generica isometria speculare, far vedere che le equazioni trovate nel precedente punto c) sono casi particolari dell’una o dell’altra.

Tema 2

Tizio accende un mutuo e riceve da un istituto bancario la somma C. Egli estinguerà il debito versando una somma costante R alla banca, alla fine di ognuno di n periodi prestabiliti, al tasso d’interesse composto i (riferito al periodo considerato), a cominciare dalla fine del periodo che inizia nel momento in cui Tizio ha acceso il mutuo.
L’operazione attivata è nota come ammortamento progressivo a rata costante posticipata.

a)     Supposti noti i valori di C, i, n, descrivere il piano di ammortamento progressivo a rata costante posticipata spiegando come si calcola la rata R e, ad ogni scadenza j, la quota capitale K(j), la quota interesse I(j), il debito estinto E(j) e il debito residuo V(j).
b)    Descrivere pure un algoritmo tale che, assegnati C, i, n, permetta di elaborare il suddetto piano di ammortamento e di comunicarne il risultato.

Tema 3

Un esperimento consiste nel lanciare un dado con le facce numerate da 1 a 6 e aventi le stesse possibilità di uscita.

a)    Posto che nel primo di due lanci il numero uscito sia pari, calcolare la probabilità che anche nel secondo esca un numero pari.
b)    Calcolare la probabilità che, in due lanci, escano due numeri primi fra loro.
c)   Calcolare la probabilità che, in tre lanci, escano tre numeri la cui somma non supera 9.
d)   Calcolare la probabilità che, in 10 lanci, non più di 3 volte esca un numero maggiore di 4.

A completamento del problema:
e)   Dimostrare la formula:

spiegando anche il significato dei simboli che vi intervengono.
La formula (1) fornisce, per k che varia da 0 a n, la distribuzione di probabilità della cosiddetta variabile binomiale: dimostrare che effettivamente è così e che la media di tale variabile vale np.

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