La formula risolutiva dell’equazione di secondo grado ottenuta con il metodo di Lagrange. Relazioni fra coefficienti e radici.
«Il miglior maestro è quello che pensi meno a comparir lui, e lasci fare i giovani, dissimulando la sua opera e creando in loro questa illusione che quello che imparano sono loro stessi che l’hanno trovato». Francesco De Sanctis
Un’espressione spesso abusata è “Le vie del Signore sono infinite“. Ne vale però la pena: aiuta a non far perdere la speranza. Prima o poi un premio per chi lavora ci sarà sempre. Come per Margherita, la giovane dottoranda protagonista del film il Teorema di Margherita: alla fine la sua “ossessione” è premiata! Una soluzione, anche se parziale, al problema che l’ha presa in spirito e mente, riesce a trovarla. Un modo per dire che anche le vie della matematica sono infinite e un problema, prima o poi, lo diceva anche David Hilbert, si riesce sempre a risolvere. E questo vale anche nell’insegnamento: alla fine i docenti bravi riescono ad avere il loro premio e a sentirsi gratificati da allievi e ambiente di lavoro.
Il docente bravo non è apatico, è sempre entusiasta di quello che insegna, lo spiega con passione e sa spiegarlo in tanti modi diversi, sa seguire più vie per chiarire e legare fra loro concetti e idee della matematica. In ogni caso non s’addormenta sul proprio sapere per usare la bella espressione che Francesco De Sanctis, ministro, pronunciò nel suo discorso al Parlamento.
Consideriamo l’equazione:
ax2+bx + c = 0
le sue radici, reali o complesse, e sono legate ai coefficienti dell’equazione dalle relazioni + = -b/a e · = c/a. Un legame che per scoprirlo non è necessario conoscere le radici. Infatti, ne è indipendente. È dato, per tutte le equazioni algebriche di grado n, dalle formule dette di Viète-Girard – al riguardo si può vedere l’articolo di Antonino Giambò.
Le radici sono date invece dalla ben nota formula risolutiva alla quale si arriva sia con il metodo del completamento del quadrato sia con il metodo di Eulero e che adesso vogliamo scoprire con il metodo di Lagrange.
L’artificio che ci assicura il successo consiste nel porre z = –
Un modo, questo di Lagrange, che ha fra i suoi pregi didattici l’immediatezza delle deduzioni e la valorizzazione delle relazioni che legano le radici ai coefficienti. Non si può dire lo stesso dell’applicazione del metodo alla risoluzione delle equazioni algebriche di terzo e quarto grado. Qui le cose, se non più complicate, sono più lunghe richiedendo il metodo di Lagrange, che non è applicabile alle equazioni di grado superiore al quarto, il ricorso alle formule o identità di Newton-Girard.
Se x1, x2, …, xn indicano le radici dell’equazione:
a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…. + an-1x+an=0
le identità di Newton-Girard consistono nell’esprimere le quantità
Sk = x1k+ x2k +⋯+ xnk
in termini dei coefficienti a0, a1, a2, …. , an.
Nella dimostrazione sopra riportata figura sia S1 = x1+ x2 sia S2=x12+ x22 ma per esse non c’è stata alcuna necessità di ricorrere alle identità di Newton-Girard per esprimerle in funzione dei coefficienti. La formula risolutiva è stata raggiunta comodamente e velocemente senza scomodare quelle ingegnose identità e con il vantaggio di potenziare la rete didattica delle connessioni di idee e procedure.
Diverso sarebbe stato dover affrontare un esercizio come il seguente assegnato alle olimpiadi matematiche del 2022: «Dato il polinomio x7-x+1 quanto vale la somma delle potenze 14-esime delle sue radici?». Qui Newton e Girard sono necessari, ma si tratta di Olimpiadi!
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