I quesiti di probabilità del concorso a cattedre

I quesiti di probabilità del tema 3 del 16 marzo 2000)

a)      La probabilità cercata è 1/2, ed è data dal rapporto tra le 9 coppie aventi come coordinate un numero pari ( (2,2), (2,4),(2,6); (4,2), (4,4), (4,6); (6,2), (6,4), (6,6)) e le 18 coppie dello spazio campione generato dal doppio lancio del dado.
Allo stesso risultato e più rapidamente può giungersi osservando che l’informazione sul primo lancio è inessenziale: il problema consiste cioè nella determinazione della probabilità che esca un numero pari.

b)      Due numeri sono primi fra loro se il loro M.C.D. è 1; 1 è primo con ogni numero, dunque anche con se stesso. La probabilità richiesta è 23/36 e si ricava dal rapporto tra le 23 coppie  ((1,1), 1,2),(1,3), (1,4), (1,5), (1,6); (2,1), (2,3), (2,5); (3,1), (3,2), (3,4), (3,5); (4,1), (4,3),(4,5); (5,1), (5,2), (5,3),(5,4), (5,6);(6,1), (6,5)) e le 36 coppie possibili.
( il quesito ha suscitato un vigoroso dibattito: (1, 1) è da considerarsi coppia di numeri primi fra loro? Non tutti sono d’accordo!)

c)      La probabilità desiderata è 81/216, ossia è il rapporto tra le 81 terne di numeri la cui somma non supera 9 e le 216 terne possibili.

Risulta agevole ricavare le 81 terne come differenza tra le 216 terne possibili e le 135 terne di numeri la cui somma è maggiore di 9.

Queste ultime possono essere contate nel modo seguente.
Lanciando due dadi otteniamo le 36 coppie :

Sommando gli elementi di ciascuna coppia otteniamo la seguente tabella :

Dalle 10 coppie che forniscono una somma dal 9 al 12 si ottengono 60 terne (10×6) che danno un punteggio maggiore del 9 (ad esempio, dalla coppia (3,6) si ottengono le 6 terne (3,6,1), (3,6,2), (3,6,3),(3,6,4),(3,6,5),(3,6,6)); dalle 5 coppie che danno un punteggio uguale ad 8 si ricavano 25 terne (5 x 5)  che danno una somma maggiore del 9 (ad esempio dalla coppia (2,6) si ottengono le 5 terne (2,6, 2), (2,6,3 ), (2,6, 4), (2,6,5 ), (2,6, 6)); dalle 6 coppie che danno un punteggio uguale a 7 si ottengono 24 (6×4) terne ordinata la cui somma è maggiore di 9 (ad esempio, dalla coppia (1,6) si ottengono le 4 terne (1,6, 3), (1,6, 4), (1,6, 5), (1,6, 6)); dalle 5 coppie che danno un punteggio uguale al 6 si ottengono 15 (5×3) terne ordinate che forniscono un punteggio maggiore del 9 (ad esempio dalla coppia (1,5) si ricavano le 3 terne (1,5, 4), (1,5, 5), (1,5, 6), ) ; dalle 4 coppie che danno un punteggio uguale a 5 si ricavano 8 terne ordinate la cui somma è maggiore di 9 (ad esempio, dalla coppia (1,4) si ricavano le 2 terne (1,4,5), (1,4,6)); infine dalle tre coppie che danno come somma 4 si ottengono 3 terne che forniscono un punteggio superiore a 9: (1,3,6), (2,2,6),(3,1,6)).

Evidentemente dalle coppie che danno un punteggio uguale al 3 o al 2 non è possibile ricavare terne la cui somma è maggiore di 9.

In conclusione le terne in questione sono : 60+25+24+15+8+3 = 135.

d)      Si può risolvere agevolmente ricorrendo alla variabile binomiale X. La prova “lancio di un dado”    viene ripetuta n=10 volte. In ogni singola prova l’evento “uscita di un numero maggiore di 4” può essere pensato come un successo con probabilità costante p=2/6.

Di conseguenza si considera un fallimento l’evento opposto al successo, ossia “l’uscita di un numero minore od uguale a 4” con probabilità q = 4/6.
La probabilità richiesta è

=0,017342+0,086708+0,195092+0,260123=0,559269

Il risultato può essere così ottenuto  mediante Excel:
·        Inserisci
·        Funzione
·        Statistiche
·        Distrib.bin.
·        Rispondere inserendo, nell’ordine, i seguenti dati : 3, 10, 2/6, vero.

Per ottenere la probabilità che X assuma, per esempio, il valore 2, inserire i seguenti dati: 2,10,2/6, falso.

Nella seguente tabella sono invece riportati, nelle colonne, i valori del coefficiente binomiale, della potenza k-esima di 2/6, della potenza (10-k)-esima di 4/6, ed infine, in rosso, le probabilità.