I quarant’anni di Gödel, Escher, Bach

Un inno elevato all’eterna ghirlanda brillante del sapere, stella polare dell’insegnamento

Nel clima di ritrovato interesse per l’interdisciplinarità viene spontaneo ricordare Gödel, Escher, Bach il libro di Douglas R. Hofstadter pubblicato esattamente quarant’anni fa, nel 1979. Un libro di successo, tradotto in tante lingue e più volte riedito. In Italia, la prima edizione, da Adelphi, è del 1984.

Il titolo Gödel, Escher, Bach è completato da: un’eterna ghirlanda brillante e ancora prolungato nel sottotitolo: una fuga metaforica su menti e macchine nello spirito di Lewis Carroll. Frasi che, se da una parte liberano una moltitudine di significati che si vorrebbe rincorrere, dall’altra invitano a proseguire nella scelta di sotto-sottotitoli, come in un gioco regolato da una soggiacente procedura ricorsiva. Si è portati cioè ad attivare un processo che è non lontano dallo spirito dell’autore di Alice nel Paese delle Meraviglie e a penetrare fin da subito finalità e struttura di un libro marcatamente interdisciplinare vincitore, nel 1980, del premio Pulitzer per la saggistica.

Un libro di ragionamenti e di pensiero che sull’onda del giovanile entusiasmo del suo autore, appena trentatreenne, figlio di un Nobel per la Fisica (Robert, vincitore del premio nel 1963) lega insieme matematica, arte, musica, logica, macchine, informatica, ingegneria, IA e robotica, neuroscienze in uno “strano anello”. Strano perchè fa pensare “al fatto di ritrovarsi inaspettatamente, salendo o scendendo lungo i gradini di qualche sistema gerarchico, al punto di partenza. Salire una scala e ritrovarsi ai piedi della scala. Un fenomeno che Escher ha disegnato, che Bach ha messo in musica, che Gödel ha posto al centro del suo teorema”. Salire una scala e ritrovarsi ai piedi della scala.  Come nell’esempio fornito da Sir Roger Penrose. Ma anche come muoversi sulla superficie dell’anello o nastro di Mobius: camminare sulla faccia esterna e ritrovarsi su quella interna senza averla attraversata.

Interdisciplinarità. Hofstadter è un appassionato di musica, di logica, di computer, di arte. Lo è in un modo naturalmente interdisciplinare, frutto di una formazione sviluppata in un ambiente sociale ricco di voci e registri culturali. Egli ha maturato l’idea che Gödel, Escher e Bach siano solo “ombre” proiettate in diverse direzioni da una qualche solida essenza centrale. Il suo è allora il tentativo di ricostruire questo oggetto centrale. I tre fili del discorso che Gödel, Esher e Bach hanno separatamente sviluppato s’intrecciano continuamente in nodi che sono gemme che luccicano, brillanti come sono i prodotti del pensiero e eterni com’è la vera conoscenza, com’è la matematica che non ha nulla di cadùco, di effimero, di transeunte: “è ciò che sempre è e non nasce e non perisce”, per dirla con Platone.

Una narrazione, quella di Hofstadter, non sempre facile da seguire, ma avvincente, quando capìta. Il ruolo di Escher, ad esempio, è quello del liberatore. Il suo è il tentativo continuo di portare fuori dalla mente quelli che ne sono i prodotti.  Attraverso il disegno dà rilevanza visiva all’attività del cervello, dà spazio e sostanza a concetti, idee, procedure, grovigli e labirinti mentali. E tra tutte queste attività della mente ce ne sono due che attirano particolarmente l’attenzione di Hofstadter e che hanno per lui un fascino tutto particolare. Sono il teorema di Gödel sull’incompletezza dei sistemi formali e l’idea di ricorsività. “Escher – scrive Hofstadter – è, nel campo dell’arte, la massima approssimazione umanamente concepibile all’idea di ricorsività e cattura in maniera sorprendente in alcune sue immagini lo spirito del teorema di Godel”.

Che cos’è la ricorsività? Hofstadter è letteralmente preso dalla ricorsività e oncettualmente bella e coinvolgente è la descrizione che ne dà: “l’annidarsi di cose entro cose e le sue variazioni […] Un racconto all’interno di un racconto, una commedia nella commedia, un quadro dentro un quadro, scatole cinesi dentro scatole cinesi (perfino commenti tra parentesi all’interno di commenti tra parentesi!): tutto ciò dà solo una piccola idea del fascino della ricorsività”. Più concretamente, quasi tutte le nostre operazioni sono di tipo ricorsivo: mangiare, camminare, contare, misurare. Si tratta cioè di un metodo dinamico in cui ogni passo si compie a partire dal precedente. Le macchine operano in maniera ricorsiva e una tesi, detta di Church [da Alonzo Church (1903-1905)], molto importante nel panorama della complessità e della calcolabilità, afferma che tutti e soli i problemi risolubili sono di tipo ricorsivo generale. L’ idea di ricorsività è molto congeniale ai giovani di oggi e l’operare in modo ricorsivo costituisce un’attività molto ricca nel “fare matematica” (Esempi in Spunti in matematica discreta e Ricorsività)

I teoremi di Gödel. Hofstadter è affascinato dai teoremi di  Godel.  Sono per lui le vere perle del pensiero logico. Hanno un valore che trascende gli steccati della logica e della matematica. Sono gioielli dalla “misteriosa semplicità” che fissano un limite alla qualità dell’umano sapere, un limite a ciò che si può fare e a ciò che si può dimostrare, una prova dell’esistenza dell’indecidibile. Ad esempio: non possiamo provare la completezza dell’aritmetica rimanendo all’interno del sistema «aritmetica». O anche, in un contesto applicativo: un calcolatore per quanto potente ci sarà almeno un problema formulabile nel suo linguaggio che non saprà risolvere. Bisognerà ricorrere a un altro calcolatore e poi ancora ad un altro, in una gerarchia che non vedrà mai raggiunta la risolubilità completa dei problemi ammissibili.

È come quando per vedere meglio ciò che succede intorno a noi dobbiamo cambiare punto di vista, salire su una qualche altura, elevarci. Gödel quindi non è solo negatività, limitazione, incertezza.  Insegna anche che ci saranno sempre nuovi gradini da salire, sempre nuovi spazi da esplorare e raccordare, sempre nuovi risultati da aggiungere. Mai porremo la parola “fine” all’impegno intellettuale dell’uomo e la matematica non finirà. Mai ci sarà un ultimo risultato della matematica. Se ci fosse potremmo ordinare l’insieme dei risultati, scegliere un buon ordinamento e risolvere una volta per tutte anche il problema pedagogico: trovare la via regia per insegnare la matematica.

Discorsi che s’intrecciano. Gödel, Esher e Bach, dunque, un libro che distilla materie diverse. Una lettura che porta a percepire ciò che è suono, visione, immaginazione, esattezza e coerenza logica riunito nell’essenza di quella che è la più interdisciplinare delle qualità rilevabili: la bellezza. Un libro che offre  “cose interessanti a vari livelli” in analogia a quanto avviene nell’Offerta musicale di Bach dove, con le parole di Hofstadter:  «vi sono giochi di prestigio con note e lettere; variazioni ingegnose…fughe straordinariamente complesse; vi è bellezza ed estrema profondità emotiva. Ne scaturisce un’esultanza che emana dalla molteplicità di livelli dell’opera. L’ Offerta musicale è una fuga di fughe, una Gerarchia Aggrovigliata come quelle di Gödel e di Escher, una costruzione intellettuale che […] ricorda […] la magnifica fuga a più voci della mente umana. E questo è il motivo per cui nel mio libro i tre fili del discorso sviluppato da Gödel, da Escher e da Bach s’intrecciano insieme in un’Eterna Ghirlanda Brillante».

ALTRI RIFERIMENTI:

Emilio Ambrisi, Gödel, Esher e Bach: bellezza, eternità, insegnamento in Periodico di Matematiche 1-2/2019.

Emilio Ambrisi, Editoriale, Periodico di Matematiche 3/2011

Emilio Ambrisi, Spunti in matematica discreta, XXXVI Olimpiadi di Matematica, Cesenatico Maggio 1995

Emilio Ambrisi, Semplicità e Bellezza canoni della vita.

 

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