I meriti di Viète e di Cartesio

Il periodo francese della storia dell’Algebra. I meriti di Viète e Cartesio e le loro risolventi per le equazioni di quarto grado.

François Viète (1540 – 1603)

La storia dell’Algebra chiude con Rafael Bombelli il suo glorioso periodo italiano e emigra in Francia, da François Viète, italianizzato Francesco Vieta, e da René Descartes ovvero Renato Cartesio.

François Viète nacque a Fontenay-le-Comte in Vandea nel 1540. Studiò da avvocato e svolse un ruolo non secondario in politica. Fu anche consigliere di Enrico IV di Navarra, il re rimasto famoso per la frase «Parigi val bene una messa». Sul finire del secolo, allontanatosi dalla politica, si dedicò interamente alla matematica ottenendo quei risultati per i quali è tuttora ricordato. In particolare egli è il padre dell’Arithmetica speciosa, ovvero del calcolo letterale. Fu infatti il primo a denotare i dati con lettere anziché con numeri e ciò costituisce la sua superiorità sui predecessori. Fino ad allora, le sole equazioni risolte nei trattati di algebra erano a coefficienti numerici.

Viète considerò l’equazione cubica nella forma x³+3ax=2b. Una forma alla quale si può ridurre, come era già noto, qualsiasi equazione cubica. Invece che porre x=u+v partì con la sostituzione x=a/y-y che la trasforma nell’equazione:

y⁶+2by³=a³

ovvero un’equazione di secondo grado in y³. Quindi trovato y³ anche y è determinato e così x.

Per  la risoluzione della quartica il metodo di  Viète utilizza un artifcio diverso da quello di Ludovico Ferrari.

Viète considera la quartica ridotta alla forma x⁴+ax²+bx =c. Questa può essere scritta

x⁴ = c- ax²-bx

Addizionando x²y²+y⁴/4 ad entrambi i membri si ha:

A questo punto si può prendere y di modo che il secondo membro sia un quadrato perfetto. Il che si ottiene con la condizione y⁶ – ay⁴ + 4cy²= 4ac + b²

Ovvero una cubica in y². Quindi trovato y² il problema si riduce all’estrazione di una radice quadrata.

A titolo d’esempio l’equazione di Zuanne de Tonini da Coi x⁴+ 6x²+ 36 = 60x con il metodo di Viète ha risolvente: y⁶ – 6y⁴ -144y²= 2736

Renato Cartesio era nato sul finire del secolo, a La Haye il 31 marzo 1596, e tutti i suoi  contributi alla matematica sono inclusi nella Géométrie, una delle tre appendici al Discours de la méthode stampato nel 1637 in Olanda in lingua francese^*. Se si tiene conto del fatto che il 1637 viene universalmente riconosciuto come l’anno di nascita della matematica moderna allora si ha una misura dell’importanza di Cartesio per la matematica, la filosofia e l’insegnamento**.

Nel libro II della Geometrie Cartesio dà la notissima regola delle variazioni e delle permanenze che decidono il numero delle radici positive o negative di un’equazione algebrica e si occupa della costruzione geometrica delle soluzioni di equazione di secodo grado. È nel terzo libro che affronta la risoluzione di una quartica con un metodo che è detto dei coefficienti indeterminati.

Data l’equazione di quarto grado nella forma ridotta

x⁴+bx²+cx + d = 0

Il metodo di Cartesio consiste nel supporre il primo membro fattorizzato nella forma

(x²+ kx + h)(x² – kx + m)     (1)

Da qui uguagliando i coefficienti dei termini simili si ottiene un sistema di tre equazioni in k, h, m. Eliminando h ed m si ottiene un’equazione di sesto grado che è una cubica in k² ed è la risolvente della quartica.

In modo più preciso, svolgendo i calcoli in (1) si ha:

m+h-k²=b    k(m-h)=c     hm=d

dalle quali:

2m=(k³+bk+c)/k   e   2h =k³+bk-c)/k

Dalla terza relazione si ha allora:

(k³+bk+c)(k³+bk-c) = 4dk²

ovvero

k⁶+ 2bk⁴ +(b²-4d)k² – c² =0

che è una cubica in k².

Come esempio di applicazione del metodo di Cartesio, si può prendere in considerazione il problema di determinare le radici della quartica:

x⁴ – 2x² +8x – 3 = 0

la cubica associata o risolvente è:

k⁶ – 4k⁴ +16 k²– 64 = 0

equazione di cui una radice è k²=4. Segue allora

m= (k³+bk+c)/2k =3    h= (k³+bk-c)/2k =-1

e

x⁴ – 2x² + 8x – 3 = b(x²+2x-1)(x²-2x+3)

Segue che le quattro radici della quartica sono : -1 ±√2  e 1±√-2

Dopo Viète e Cartesio la risoluzione di un’equazione di quarto grado non è più un mistero. È ricondotta, attraverso una pluralità di artifici, alla risoluzione della cubica associata. Sulla base di tali risultati, verso il 1750, Eulero tenterà senza riuscirci, di ridurre la risoluzione di un’equazione di quinto grado a quella di una quartica associata. Lo stesso infruttuoso tentativo farà una trentina d’anni dopo Lagrange.

Paolo Ruffini (1765-1822)

A smorzare le speranze che i tentativi avessero buon fine fu l’italiano Paolo Ruffini. Nel 1799 pubblicò una dimostrazione dell’impossibilità di risolvere per radicali le equazioni algebriche di grado superiore al quarto. Purtroppo la dimostrazione era incompleta e toccò al giovane norvegese Niels Henrik Abel (1802 -1829) dare nel 1824 la dimostrazione esatta del risultato, oggi noto come teorema di Abel-Ruffini.

C’è però ancora un nome da aggiungere a questo filone di ricerche sulla risolubilità delle equazioni algebriche. È quello di un altro giovane genio, Évariste Galois (1811-1832). I numerosi artifici utilizzati nei tentativi di risolvere cubiche e quartiche possedevano in nuce quella che successivamente a Lagrange e Gauss sarà detta “teoria delle sostituzioni” ma della quale vero iniziatore è Galois. Il grande contributo di Galois consiste nel ricondurre lo studio delle equazioni algebriche a quello dei gruppi di permutazioni che ad esse egli associa. Dopo Galois cambia il punto di vista sulle equazioni algebriche e l’Algebra diventa sempre più Algebra astratta, è lui tra l’altro, come riconosce Bourbaki, a definire il concetto di gruppo invariante.

NOTA

^*La Geometrie fu tradotta in latino nel 1649 e questo ne favorì la diffusione. L’importanza del latino per la matematica!

^**È utile per gli insegnanti sapere che George Polya trae ispirazione per i suoi lavori didattici su come risolvere i problemi alle Regulae ad directionem ingenii di Cartesio