La matematica è un’entità socio-storico-culturale che si alimenta delle grandi opposizioni dialettiche dell’essere e del divenire e che come tale va considerata e insegnata.
«Come si fa ad insegnare e ad apprendere bene la matematica se non si ha un’idea di ciò che essa è e rappresenta? Forse non ha torto chi asserisce che se le cose non vanno proprio bene nell’insegnamento e nell’apprendimento della matematica questo dipende da una diffusa ignoranza o travisamento della sua natura».
Che cos’è la matematica?
È il titolo di un libro, uno dei più noti e diffusi al mondo. Un libro che conserva la sua freschezza malgrado gli 83 anni dalla sua prima edizione (1941) e che i docenti di matematica non sbaglierebbero a tenere costantemente alla loro portata, ben visibile sulla loro scrivania, così come aveva già consigliato Francesco Severi.
Richard Courant e Herbert Robbins ne sono gli autori; ma è un libro di matematica, non sulla matematica. E non è la “matematica”, ma solo un modo, ancorché efficace, di fare e di comunicare la matematica. Che cos’è la matematica? Courant&Robbins lo spiegano nell’introduzione. In poche pagine! La più sintetica e completa esposizione di filosofia della matematica che ha al suo interno, forse, la più seria e convincente definizione della matematica mai data.
A riprendere il titolo di questo libro pensò alcuni decenni più tardi Reuben Hersh.
Nel 1997 diede alle stampe: Che cos’è davvero la matematica? con l’intento di porre all’attenzione dei matematici la necessità di saperne di più sulla filosofia della matematica, essenziale a sua volta per discorrere di pedagogia della matematica. Hersh si schiera nettamente a favore di Aristotele, di Locke e di Hume, di J.S.Mill, di J. Pjaget e ancora di G. Polya e di C.S. Peirce, contro il platonismo; asserisce che la matematica è una “entità socio-storico-culturale”. Non è dunque immutabile ed è importante che come tale venga considerata e insegnata.
«Quello che c’era nella testa di Archimede – scrive Hersh – è diverso da quello che c’era nella testa di Newton e questo a sua volta differisce da quel che c’era nella testa di Gauss. Non è una questione di “quantità”, ovvero che Gauss conoscesse più matematica di Newton il quale, a sua volta, ne conosceva più di Archimede. È anche una questione di “diversità”. Lo stato attuale del sapere è inestricabilmente connesso ad una rete di motivazioni e aspirazioni diverse, di interpretazioni e potenzialità diverse».
Quanto riportato, Hersh l’aveva già asserito in l’Esperienza matematica il libro scritto in collaborazione con P. Davis (1981, 1985).
Una scelta di campo, quella di Hersh che, come sempre accade, tiene conto di alcune cose e ne trascura altre. A essere d’aiuto allora è di nuovo il testo di Courant e Robbins. A essere d’aiuto è proprio quella succinta ma luminosa Introduzione della quale si è detto sopra, ove si trova la più avvincente e realistica definizione possibile di matematica. Ed è con essa che inizia il libro:
«Come espressione della mente umana, la matematica riflette la volontà attiva, la ragione contemplativa e il desiderio di perfezione estetica. I suoi elementi fondamentali sono la logica e l’intuizione, l’analisi e la costruzione, la generalità e l’individualità. Tradizioni diverse potranno mettere in evidenza aspetti diversi, ma è soltanto la reazione di queste forze antitetiche e la lotta per la loro sintesi che costituiscono la vita, l’utilità e il valore supremo della scienza matematica».
Per un momento la mente va a Dante Alighieri quando nel canto alla Vergine armonizza e integra gli opposti: Vergine Madre, figlia del tuo figlio, umile e alta. . .
La matematica è l’unica disciplina a rendere compossibili al suo interno le grandi opposizioni dialettiche; come una calamita con i suoi poli, presenta, indissolubili, le coppie antitetiche che ne sostanziano la natura:
Algoritmico/Dialettico, Analisi/Sintesi, Astratto/Concreto, Centrato/Acentrato, Discreto/Continuo, Eterno/Cadùco, Esatto/Approssimato, Esoterico/Essoterico, Finito/Infinito, Individuale/Collettivo, Interno/Esterno, Locale/Globale, Oggetto/Soggetto, Ordine/Caos, Qualità/Quantità, Razionale/Irrazionale, Uno/Molti, Utile/Inutile . . . .
Su ognuna si potrebbe discutere ed imbastire un racconto matematico di appassionante presa didattica.
Il mito del labirinto, ad esempio: la coppia Algoritmico/Dialettico vi trova la sua più incisiva interpretazione. Per uscire dal labirinto bisogna, o munirsi del filo di Arianna, caratteristico del calcolo e del pensiero algoritmico, oppure tentare il volo verso l’alto alla conquista della terza dimensione, di cui modello insuperabile è la misura della piramide, effettuata da Talete; non una misura diretta ma un atto di furbizia della mente: il ricorso ad un invariante. Un vero atto di magia: un umile strumento e la sua ombra sfidano ciò che non è accessibile e percorribile, l’altezza della tomba del Faraone e ne hanno ragione!
S’innestano qui le questioni dell’infinitamente grande e dell’infinitamente piccolo, la divisione di un segmento in n parti uguali e il paradosso di Achille e la tartaruga. Ma il discorso si amplia alle coppie filosofiche Locale/Globale e Discreto/Continuo che René Thom, l’autore della teoria delle catastrofi, considera così centrali da costituire le vere aporie fondatrici della matematica.
E un altro francese, il grande Michel Serres, scrive(1993):
Michel Serres visto da B. Scognamiglio
«La matematica è: tanto oggettiva che è l’unica a essere veramente collettiva; tanto collettiva che è l’unica a essere veramente oggettiva; tanto inutile che è l’unica a essere veramente utile; tanto esteriore che è l’unica a essere veramente interiore; tanto interiore che è l’unica a essere veramente esteriore; tanto nell’essere che eccelle nella conoscenza; tanto nella conoscenza che eccelle nell’essere; tanto astratta che è l’unica a essere veramente concreta, tanto concreta che si è creduto, a volte, che il suo spazio fosse la forma del senso esterno. . . tanto concreta, infine, che è l’unica a essere veramente astratta: la nascita della sua astrazione. . . deriva dalla somma integrale del reale più concreto che essa attraversa. Eminentemente oggetto, essa assorbe tutti gli oggetti; soggetto collettivo, eminentemente, essa pensa da sola, al punto che siamo divenuti i suoi levìti e i suoi accoliti. Dalla nascita, volenti o nolenti, noi viviamo e pensiamo in essa e per essa.».
Si innesta qui il mito di Metis, il mito d’origine della matematica e della conquista della razionalità.
Zeus re dell’Olimpo s’innamora di Metis, dea dell’astuzia umana; la sposa e la mette incinta. L’evento terrorizza Zeus! Un figlio potrà fare a lui ciò che lui ha fatto al padre Crono e questi al padre Urano: detronizzarlo! Mentre Metis dorme al suo fianco, nel talamo nuziale, Zeus la mangia, la incorpora. La gestazione continua, e quando è tempo, con un colpo di scure inferto da Efesto, nasce Atena, dea della razionalità; nasce dalla testa di Zeus.
L’impresa di Talete che misura l’altezza della piramide del Faraone rapportandone l’ombra a quella del misero bastone è talmente magica da ricordare Zeus che incorporando Metis origina la razionalità, fa della sua testa il grembo del pensiero razionale.
Ecco che dalla nascita, volenti o nolenti, noi viviamo e pensiamo in essa e per essa.
La matematica è prodotta dalla mente ma non se ne separa se non come proiezione, come l’ombra con la piramide, e allo stesso tempo è perenne testimonianza del suo funzionamento, quasi come esistesse un organo esterno di stimolo e di controllo. Di nuovo qui la coppia platonismo e aristotelismo estremi di una essenza che talvolta appare scoperta altre volte pura invenzione.
Giano bifronte divum pater, dio non greco ma latino
Ecco allora delinearsi l’immagine di Giano bifronte, dio non greco ma latino che, diversamente da Zeus, non ha progenitori. È lui il primo: divum pater. Un dio che guarda ovunque. Dio delle porte e dei ponti, che sovraintende ai passaggi, ai legami, alle connessioni! E cos’è, per inciso, l’intelligenza se non la capacità di trovare legami e connessioni anche fra cose apparentemente lontane?
Giano è la metafora della matematica intelligente, che non nasce e non perisce. È la matematica che è attività della mente e espressione della sua attività, ovvero manifestazione del suo esserci. È la matematica che pervade ogni campo d’azione umana, che guardando ovunque ha abbattuto gli steccati di ogni possibile ambito disciplinare; è la matematica cioè che si pone come metadisciplina come attività per pensare e riflettere.
Giano ha due teste e due volti, diversi come gli aspetti antitetici che sostanziano la formazione concettuale già nei bambini: Alto/Basso, Prima/Dopo, Sopra/Sotto, Destra/Sinistra riferimenti primari dell’insegnamento della matematica già nella scuola dell’infanzia.
Matematica e Mente: chi la perla e chi l’ostrica?
Una matematica che non può fare a meno della coesistenza al suo interno delle grandi opposizioni dialettiche non può fare neppure a meno di riflettere su se stessa e sul suo valore pedagogico. Anzi, è la riflessione sulla natura della matematica a costituire la base per una corretta impostazione della didattica della matematica e della divulgazione matematica, poiché la didattica è parte della divulgazione.
È un convincimento quest’ultimo che è comune alla maggior parte dei matematici accorti a trovare e dare un senso al loro essere matematici.
Ennio De Giorgi (1928-1996)
Tra questi una menzione speciale merita l’italiano Ennio De Giorgi per la sua vita scientifica costantemente alla ricerca di un’armonia tra interno ed esterno, tra visibile e invisibile, noto e ignoto anche perchè «Il significato ultimo del pensiero matematico risiede nell’idea di una sottile complessa armonia tra tutte le realtà visibili e invisibili».
De Giorgi rinnova l’invito ai matematici a non “restringersi” alla sola disciplina. A non lasciarsi prendere esclusivamente dai problemi interni alla matematica. L’invito è a guardare oltre, all’esterno, a quei temi più ampi che possono riempire di significato ciò che egli fa. Ad esempio i temi della Religione. Cita la visione religiosa del matematico russo Igor R. Shafarevich di una matematica che è una grande sinfonia, perennemente in esecuzione, con orchestrali vissuti in luoghi lontani tra loro e in epoche altrettanto lontane che operano sotto la guida di un Maestro unico che dà armonia globale alla molteplice varietà di parti, spesso antitetiche tra loro.
Ad un’altra immagine ricorre spesso De Giorgi nei suoi scritti: è quella della Matematica parte della Sapienza.
L’attinge dal libro dei Proverbi: la Sapienza ha costruito la sua dimora edificandola su sette colonne, ha imbandito una grande tavola e mandato in giro le sue ancelle ad annunciare il grande banchetto.
Gli insegnanti vi hanno un duplice ruolo: sono invitati di riguardo e i preparatori dello stesso banchetto. Sono coloro che sanno che il fine ultimo di ogni insegnamento deve essere «in primo luogo suscitare quel sentimento che gli antichi chiamavano “filosofia”, cioè amore della sapienza».
La matematica qualsiasi cosa potrebbe essere, è anche l’altra, l’opposta: pura e applicata, materiale e ideale, dogmatica e democratica, mistero e realtà, religione e ateismo. La sua essenza è Sapienza. È questa essenza che porta chi la coglie a saperne trasmettere profumi e sapori. Forse l’aveva capito già Aristotele affermando che ciò che contraddistingue chi sa da chi non sa è la capacità di insegnare.
Riferimenti nel sito:
La matematica, un test per insegnarla meglio
Il vero nodo pedagogico: la natura della matematica
Il dibattito sulla natura della matematica.
Insegnare la matematica è arte antica
Miti e Aporie della Matematica
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