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Talete, piccolo e grande

A scuola, chi studia la geometria razionale incontra, generalmente, due teoremi di Talete: il piccolo e il grande.

Il teorema di Talete: a molti dei docenti di matematica in servizio nelle scuole del secondo grado ricorda certamente la prova scritta del loro concorso a cattedra.  Ad altri ancora ricorda la Galleria dei risultati matematici del primo biennio.

Piccoli indizi rivelatori dell’importanza di un teorema che ha un posto e un peso notevoli nell’insegnamento.

E ci si potrebbe anche interrogare sulle ragioni che sono alla base di tale importanza: «che specie di teorema è»? Oppure: «cosa ne pensano i docenti»? È vero, queste non sono domande alle quali i docenti sono abituati a rispondere. È innegabile però quanto dovrebbero essere proprio i docenti i più pronti a dare risposte significative, condotti come sono nella quotidiana azione didattica, che è di spiegazione e di comprensione, ad entrare in tale intimità con le cose che trattano da poterle vedere in essenza e natura. Ed è indubbio che la natura del teorema è più greca che egizia. I caratteri che mostra sono chiaramente quelli di una cultura che è essenzialmente aristocratica, contemplativa, naturalistica. Nulla ha a che fare con misure, calcoli e strumenti operativi come ad esempio fa il teorema di Pitagora.

Quello di Talete è un teorema nobile, etereo, spaziale, legato al logos, al rapporto, che fluisce puro, identico, invariante.

Caratterizza una geometria in cui non ci sono metriche, né vi è ammesso l’uso del compasso; dove non c’è il teorema di Pitagora; dove non esiste differenza fra quadrati, rettangoli e parallelogrammi e anche cerchi ed ellissi sono indistinguibili e vi hanno lo stesso grado di perfezione. Michel Serres, i cui scritti matematici sono fonte generosissima di modi di dire nuovi e illuminanti per la didattica della matematica, l’ha definito “un teorema fugace e dolce quanto un raggio di sole munito delle sue ombre”.

L’espressione, per dirla alla René Thom, è dotata di tale pregnanza e salienza da poter essere considerata un vero dono fatto agli insegnanti di matematica.  È così bella e piena di significati che è impossibile non tenerla a mente: quel fugace fa pensare all’attimo in cui i raggi di sole, infiniti e paralleli, toccano il fondo del pozzo di Siene con la leggerezza del fascio di luce di cui sono portatori, mentre  “le sue ombre” richiamano un’altra misura, più antica, quella dell’altezza della grande piramide, tomba del Faraone.

A scuola, chi studia la geometria razionale incontra, generalmente, due teoremi di Talete: il piccolo e il grande.

I due teoremi, meglio, le due parti del teorema, sono un’invenzione dei professori di matematica così come lo sono il primo e il secondo teorema di Euclide dei quali si è detto altrove [VEDI]. Sono un prodotto della loro ricerca d’insegnare la geometria in modo che la spiegazione aumenti in comprensibilità senza perdere in rigore logico e senza che venga meno la catena deduttiva. Quello che si studia prima è il piccolo, la versione debole del teorema. Una versione limitata al parallelismo che conserva i rapporti quando si tratta di segmenti uguali e di somme di segmenti uguali, limitata cioè ai numeri razionali.

Ecco alcune formulazioni nelle quali si trova enunciato:

  • Se tre o più rette parallele di un piano sono intersecate da due trasversali e se due segmenti trasversali su una di queste trasversali dalle rette parallele sono uguali, allora i segmenti determinati sull’altra trasversale dalle stesse rette parallele sono anche uguali fra loro.
  • Se un fascio di rette parallele è tagliato da due trasversali r e s, a segmenti uguali su r corrispondono segmenti uguali su s.
  • L’insieme delle rette parallele ad una retta data (fascio di rette parallele), fa corrispondere a segmenti uguali su una trasversale segmenti uguali su un’altra trasversale.

Va segnalato che il teorema appare nei manuali sotto il nome di Talete con le relative dimostrazioni solo dalla seconda metà dell’Ottocento. In Euclide, nel libro VI si trova la sola proposizione che considera il caso particolare in cui una parallela passa per il vertice di un triangolo (proposizione 4).

L’opportunità o meno di  spezzare il teorema di Talete in due parti fu al centro delle animate discussioni degli anni Settanta e Ottanta, più volte definiti su Matmedia gli anni d’oro della didattica matematica in Italia. Discussioni che culminarono nella realizzazione di progetti editoriali che portavano la firma dei più autorevoli protagonisti di quel rinnovamento didattico che si voleva si realizzasse.

L’ultima delle formulazioni riportate si trova infatti, nel progetto di Lucio Lombardo Radice e Lina Mancini Proia.

È il progetto che più si distingue per il ruolo primario assegnato alla geometria affine.

Il primo incontro col mondo delle figure è infatti proposto attraverso “gli oggetti e le ombre”.  Il corso stesso di matematica inizia con le “ombre”: “Passa un aereo, proietta un’ombra; le case e gli alberi proiettano ombre, ora allungate, ora accorciate…”. Ecco allora, ma solo nel secondo volume, nel capitolo della similitudine, la formulazione del teorema di Talete, completo:

Un fascio di rette di direzione δ determina su due trasversali due insiemi di segmenti proporzionali.

Anche senza l’enfasi posta sulle ombre è questa la posizione seguita dalla maggior parte dei libri di testo di geometria: rimandano ad una fase successiva la formulazione del teorema completo di Talete in termini di grandezze e di proporzionalità.

In una posizione più sfumata rispetto al testo citato si pone invece Emma Castelnuovo con il suo progetto “La matematica nella realtà”. Non rinuncia alle due versioni del teorema ma le presenta in contemporanea, il secondo è solo una generalizzazione del primo: se un fascio di rette parallele sega due trasversali, a segmenti che stanno in un certo rapporto sull’una corrispondono, sull’altra, segmenti nello stesso rapporto, cioè segmenti corrispondenti sono in proporzione.

Dalle formulazioni riportate si comprendono le diverse scelte di organizzazione della materia operate dagli autori.

Ad esempio, questa di Angelo Fadini in termini di “classi di grandezze proporzionali”:
La proiezione parallela di una retta r su una retta s determina sulle due rette due classi di segmenti direttamente proporzionali[1]
che si ritrova anche in manuali più recenti:

Le due classi di segmenti corrispondenti individuati da un fascio di rette parallele su due trasversali sono direttamente proporzionali[2] che ugualmente si basa su enunciati non facili, didatticamente molto discussi, di classi di grandezze e di criteri generali di proporzionalità.

Tornando alla posizione della Castelnuovo, essa può dirsi  intermedia tra quella sviluppata da Lombardo Radice-Mancini Proia e quella di Giovanni Prodi, che in Matematica come scoperta si pone all’altro estremo.

All’interrogativo principale del momento storico, ovvero: assetto metrico o affine per la geometria?

Prodi risponde con la preferenza secca per l’assetto metrico. Inizia dunque facendo uso fin dall’inizio dei numeri reali. Introduce prima la distanza, con la disuguaglianza triangolare, poi la retta, con la sua caratterizzazione metrica e con la partizione che essa induce nel piano; quindi dopo aver esposta la nozione di isometria, introduce le simmetrie assiali e le simmetrie centrali. L’impostazione che egli  segue è quella che risale a Birkhoff (1941) e che, per gli aspetti assiomatici, ricalca quella di Gustave Choquet esposta in “L’insegnamento della Geometria” (1967) di particolare successo  in quegli anni in Italia. In effetti, il teorema di Talete, Prodi non ha proprio bisogno di spezzarlo in due fasi successive; ha a disposizione i numeri reali fin dall’inizio e l’assioma del rapporto di proiezione, che, nel contesto, è equivalente all’assioma dell’unicità della parallela e allo stesso (grande) teorema di Talete.

Se x ed R sono rette che si incontrano in O, indicando con P’ la proiezione di un punto P di R su x, si ha: OP’=kOP dove k è una costante (che viene detta rapporto di proiezione)[3]

Ecco allora l’enunciato del Teorema di Talete:

Date due rette r ed s fra loro incidenti in O, la proiezione parallela di r su s, secondo una direzione assegnata (non parallela né ad r né ad s) si rappresenta, prese su r ed s un sistema di coordinate con origine comune O, nella forma φ(x)=cx.

Un enunciato che rivela pienamente l’impostazione di Prodi tendente tra l’altro ad integrare, per il tramite delle trasformazioni, algebra e geometria tradizionalmente tenute separate. L’impostazione è certamente la  più rigorosa e logicamente coerente, ma anche quella che ha destato più perplessità fra i docenti ed è stata rivista dall’autore in un successivo progetto: Scoprire la matematica (2003).

Quanto fin qui esposto dà certamente una misura, una  buona approssimazione per difetto, dell’importanza didattica del teorema di Talete, importanza però che è anche nei risultati che ne conseguono, nelle applicazioni, negli oggetti della realtà e nelle loro forme, nella storia.

Nella Galleria detta del Teniers, che è un quadro pieno di altri quadri, tra i quali 16 prodotti dell’arte matematica, il teorema di Talete è presente.

È uno dei focal point dell’insegnamento/apprendimento della matematica nel primo biennio.

È un “punto di accumulazione” di conoscenze. In un qualsiasi suo intorno didattico si addensa una nutrita costellazione di altri risultati. Ad esempio, nel tradizionale e bel capitolo della “geometria dei parallelogrammi”:

  • La congiungente i punti medi dei lati di un triangolo è parallela al terzo lato e uguale alla sua metà.
  • I segmenti che hanno per estremi i punti medi dei lati di un quadrilatero qualsiasi sono i lati di un parallelogrammo.

E poi, nel capitolo della similitudine:

  • La costruzione del segmento quarto proporzionale, assegnati i segmenti a, b e c
  • La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in segmenti proporzionali ai lati dell’angolo
  • Se la bisettrice di un angolo esterno di un triangolo interseca il prolungamento del lato opposto, allora le distanze del punto d’intersezione dai vertici del lato che si è prolungato sono proporzionali agli altri due lati del triangolo.

Ma, forse, più rilevante di tutti, il risultato: la divisione di un segmento in n parti uguali o in parti che stanno in determinato rapporto.

È un risultato eccezionale sotto tutti i punti di vista. È connesso alla rivalutazione del piccolo. Anche le piccole parti si compongono di parti più piccole e queste ancora di più piccole. Del teorema di Talete il significato è anche questo: la divisione di un segmento in n parti uguali che porta alla graduazione (affine) della retta reale e così è presente nella Galleria matematica del Teniers.

Ad inizio di questa nota è stato ricordato il concorso a cattedre per insegnanti delle scuole superiori del 2000.  Il tema della prova scritta prevedeva la risposta a più quesiti scelti all’interno di uno solo dei gruppi di questioni proposti. Tra le richieste del primo gruppo, figurava la seguente:

Il teorema di Talete: enunciato e dimostrazione. Si esponga una organizzazione didattica di contenuti ad esso collegabili.

Da quel che risulta, non fu una domanda particolarmente gradita; ma ancor oggi rappresenta forse la tipologia di domande su cui si dovrebbe maggiormente saggiare la preparazione di un candidato ad insegnare Matematica.

Infine, un’osservazione sulle motivazioni della presente nota sul teorema di Talete, piccolo e grande. La motivazione è quella di contribuire, per quanto possibile all’autore, al dibattito avviato sulle LCD e sul prima e sul dopo. In particolare, segnalare quanto il riferire l’insegnamento a possibili organizzazioni globali della disciplina sia risultato insoddisfacente didatticamente e quanto sia stata sempre più seguita, negli ultimi decenni, la strategia delle organizzazioni locali o parziali; strategia in cui trova una sua collocazione teorica la Galleria matematica del primo biennio e la stessa idea di Indicazioni e non programmi, normativamente vigente nella scuola italiana. Ovviamente, però, tutto è finalizzato, note e dibattiti, la stessa esistenza di Matmedia ad offrire ai docenti occasioni di riflessione, convinti che insegnare bene è sempre e solo frutto di una riflessione ripetuta su ciò che s’insegna, come s’insegna e con quali risultati.

NOTE

[1] A. Fadini, Geometria Razionale, vol.1, Mursia, 1977

[2] L.Cateni-R.Fortini-C.Bernardi, Il Nuovo Pensiero geometrico, vol. 1, 1997

[3] G. Prodi, Matematica come scoperta, D’Anna Editore, 1975

Autore

  • Emilio Ambrisi

    Laureato in matematica, docente, preside (dal 1983) e ispettore ministeriale (dal 1991). Dal 2004 al 2015 responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Dal 1980 Segretario Nazionale della Mathesis e, successivamente, Vice-Presidente. Dal 2009 al 2019 Presidente Nazionale e direttore del Periodico di Matematiche.

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