Il vero nodo pedagogico: la natura della matematica.

Che cos’è la matematica? Il problema filosofico della natura della matematica vero nodo pedagogico.

filosofia, matematica, meccanizzazione, realtà

Il nome del filosofo e matematico Alain Badiou è stato ultimamente al centro di varie riflessioni.

Alcuni interventi su Matmedia, sia di Biagio Scognamiglio che miei, sono dedicati a lui. Dedicati alla sua idea di “vera vita”, al suo elogio delle matematiche, alla sua proposta di fondare la filosofia sulla teoria degli insiemi. Una scelta, quest’ultima, che se non è proprio originale, è molto significativa per la matematica, la sua gestione e il suo insegnamento. Nel contesto attuale, infatti, che vive ancora dei sentimenti di opposizione allo strapotere di quella teoria che per più di un secolo ha creato scompiglio tra i matematici, rea finanche di aver cospirato per l’instaurazione nelle scuole di una nuova matematica, cosiddetta moderna, è una scelta che ha il valore di un riscatto.

Negli anni ’60-70 del secolo scorso, a partire dalla scuola dell’infanzia, i seguaci dell’indirizzo modernista volevano che tutto si dovesse insegnare a partire dagli insiemi e con gli insiemi, poi, dopo la condanna, tutto è stato ridimensionato, modificato, dimenticato.

In La teoria degli insiemi torna di nuovo in scena? si è fatto cenno al risultato di uno dei quesiti della prova scritta degli esami di maturità scientifica della sessione ordinaria del 2004. Il quesito era un anchor item, era comune, cioè, tanto alla prova dell’indirizzo di ordinamento, quanto a quella degli indirizzi sperimentali (PNI – Piano Nazionale di Informatica, Piani di studi Brocca ed altri). Un quesito proposto, dunque, per saggiare nelle indagini nazionali Matmedia la qualità del possesso di concetti fondamentali quali, come nel caso del quesito preso a riferimento, il concetto di funzione.

“Dati  gli insiemi A={1,2,3,4} e B= {a,b,c}; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?”

Fu il quesito più difficile nell’indirizzo d’ordinamento. Tra i più difficili nelle sperimentazioni, dove pure i programmi d’insegnamento ne prevedevano la trattazione insieme a strutture, trasformazioni geometriche, insiemi infiniti, sistemi assiomatici …

Più difficile e meno affrontato in termini assoluti. La difficoltà? Fu individuata nella formulazione nello stile degli insiemi. Il linguaggio insiemistico aveva spinto ad evitare il quesito.

Se non una dimostrazione, era un segnale di quanto si fosse andata via via “radicando e diffondendo una certa ritrosia a parlare di insiemi”. Segnale avvalorato anche da quanto scarsamente in Italia il linguaggio degli insiemi fosse utilizzato nelle formulazioni delle prove di esame e nei test di valutazione.

La questione si presentava abbastanza chiara. Una questione di cultura che bisognava risolvere. Non mancarono pertanto nelle prove d’esame domande che toccassero gli “insiemi” nella formulazione sia dei problemi che dei quesiti.

Ecco alcuni esempi proposti negli indirizzi sperimentali (è specificato quando si tratta di un anchor item):

• Si dimostri che l’insieme delle omotetie con centro O fissato è un gruppo. (3/2007)
• Nel piano riferito a coordinate cartesiane (x, y) si dica qual è l’insieme dei punti per i quali risulta: y² – x³ > 0. (5/2008)
• Sono dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c}. Tra le possibili applicazioni (o funzioni) di A in B, ce ne sono di suriettive? Di iniettive? Di biiettive? (anchor item, 2/2009)
• In una delle sue opere G. Galilei fa porre da Salviati, uno dei personaggi, la seguente questione riguardante l’insieme N dei numeri naturali ( “i numeri tutti”). Dice Salviati: «….se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima: non è così?». Come si può rispondere all’interrogativo posto e con quali argomentazioni? (5/2011)
• L’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? Si giustifichi la risposta. (4/2012)
• Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa afferma, invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più numeri irrazionali che razionali. Chi ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta. (9/2013)
• Le lettere N, Z, Q, R denotano, rispettivamente, gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali e reali mentre il simbolo ℵ₀ (aleph-zero) indica la cardinalità di N. Gli insiemi Z, Q e R hanno anch’essi cardinalità ℵ₀? Si motivi la risposta. 9/2014

Altri quesiti proposti toccavano gli insiemi dal punto di vista del calcolo delle probabilità o combinatorio, come i seguenti:

• Siano dati nello spazio n punti P₁, P₂, P₃, …. P_n . Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)? (anchor item, 5/2012)
• Con le cifre da 1 a 7 è possibile formare 7! = 5040 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad esempio, i numeri 1234567 e 3546712 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5040 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la 5036-esima posizione e quale quello che occupa la 1441-esima posizione? (anchor item, 6/2013)

Le annuali indagini Matmedia sulla prova scritta li includono tutti tra i meno affrontati.

Segno che la cultura non era cambiata e, forse, non lo è tuttora. Segno che quel rifiuto a parlare di “insiemi” permane come qualcosa, se non altro, di inutile. Un rifiuto che nell’arco dei quattordici anni di durata dell’indagine Matmedia, i docenti, nei commenti alla prova, hanno espresso suppergiù così: «Vogliamo uno studio di funzione serio. Lasciate perdere storia, trasformazioni geometriche, calcolo combinatorio, insiemi…. è matematica minore». Ecco allora ciò che è da superare: una cultura che porti a distinguere tra matematica e matematica, addirittura tra una matematica maggiore e una minore. Una cultura cioè che si ammanta ancora della colpa che fu della teoria degli insiemi di patrocinare il passaggio ad una matematica moderna, anziché porsi come via all’integrazione di concetti, procedure, linguaggi, punti di vista, calcolo, pensiero dialettico. Cosa di cui si ha bisogno!

Un’occasione che, oggi come oggi, si ripresenta alla teoria degli insiemi posta in una più ampia dimensione fondativa.

L’interrogativo Che cos’è la matematica? pone, secondo Alain Badiou, un problema “esterno” alla matematica.  Un problema che più propriamente appartiene alla filosofia. E dello stesso parere sono anche Reuben Hersh, Hao Wang ed altri. Un interrogativo però niente affatto retorico per l’insegnamento della matematica. Il docente che s’interroga sulla natura di ciò che insegna, che ha un’idea “filosofica” della sua disciplina perché costantemente mira a coglierne essenza e significati, la insegna certamente meglio. Gli studenti lo percepiscono e apprendono. Ecco allora il risvolto pedagogico di un rinnovato rapporto matematica e filosofia e il significato di un rientro in scena della teoria degli insiemi.  Un rientro da non sottovalutare, ma da porre tra i problemi nuovi che la matematica si trova di fronte a dover affrontare così come già Hao Wang aveva indicato nel suo From Mathematics to philosophy (1974) e anche Reuben Hersh aveva ripreso e discusso in What IsMathematics, Really? (1997).