L’ellisse di Steinhaus

Una matematica per immagini con meno parole e meno dimostrazioni. L’idea di Steinhaus di fissare con un’istantanea l’ellisse in un bicchiere d’acqua.

Il mondo era già in guerra da un paio d’anni. Era il 1916. A Cracovia Hugo Steinhaus stava passeggiando nei viali del parco della città assorto nei suoi pensieri quando d’un tratto ne fu distolto da tre giovani che conversavano animatamente. Aveva chiaramente udito la frase: «la misura di Lebesgue». Un argomento così nuovo che non era facile incontrare qualcuno, fuori dei confini francesi, che ne sapesse qualcosa. Incuriosito, Steinhaus appurò chi erano i giovani capaci di parlarne: uno dei tre era Stefan Banach.

L’episodio è raccontato da Mark Kac in Gli Enigmi del Caso – Vicissitudi di un matematico. Un libro universalmente noto che Kac presenta come la sua autobiografia, ma che è molto più di un semplice racconto di sé: è storia nel senso più completo. È pensiero e vita. È storia politica e civile, storia di conflitti religiosi e sociali, storia della piaga dell’antisemitismo nell’Europa fra le due guerre. Ed è storia degli studi e delle Università, della matematica e dei matematici e non manca di spiegazioni tecniche scritte con maestria: sulla probabilità, l’indipendenza stocastica, la curva normale, le proprietà statistiche del rumore. E neppure mancano gli episodi che rendono umana la vita ai matematici. Di Hugo Steinhaus, in particolare.

Il fondatore della scuola matematica di Leopoli fu, di Mark Kac, il maestro. Colui che lo scoprì, gli diede fiducia e lo guidò negli studi e che nel libro delle “vicissitudini” ha un posto di rilievo che va oltre la fase iniziatica.

Steinhaus, classe 1887, apparteneva ad una ricca e influente famiglia ebrea. Dopo un inizio a Leopoli,  si era trasferito a Gottinga  conseguendovi nel 1911 il dottorato di ricerca con la supervisione di Hilbert. A Gottinga aveva conosciuto anche Felix Klein “il più famoso degli insegnanti dopo Monge”^* e ne aveva seguito i corsi.

Hugo Steinhaus (1887- 1972)

L’impronta di Klein, grande matematico e grande didatta, Steinhaus la porta con sé a Leopoli, e la trasferisce anche ai suoi allievi. Certamente a Kac, che amerà insegnare, soprattutto la matematica elementare, e che segue tutti i suoi seminari compreso un corso ispirato alle lezioni che Klein teneva a Gottinga di Matematiche elementari da un punto di vista superiore.

Kac racconta: «Il corso non era molto seguito, e un giorno ad assistervi eravamo solo io e un altro studente. Steinhaus svolse la sua lezione senza dare alcun peso al numero dei suoi allievi e alla fine domandai quale fosse il numero minimo di ascoltatori cui si sentisse obbligato a tener lezione. “Tres facit collegium“, replicò. La lezione successiva ero rimasto solo. Quando Steinhaus cominciò a parlare lo interruppi chiedendogli: “Come la mettiamo con quel detto?” “Dio – replicò – è sempre presente, e continuò la sua lezione». Steinhaus era, per inciso, un ateo convinto».

Un insegnante appassionato, qual era Steinhaus, non poteva non essere costantemente alla ricerca di nuove e più efficaci strategie per presentare idee e concetti della matematica. Egli stesso racconta che in un momento di relax gli fu chiesto cosa facesse tutto il giorno un matematico. Al suo interlocutore, cercò allora di spiegare alcuni problemi geometrici, risolti e non, usando un bastone per disegnare per terra una curva di Jordan o una curva di Peano… Da quel tentativo di estemporanea spiegazione ne nacque il progetto di presentare la Matematica per immagini che consentiva fra l’altro di diminuire il numero di parole e di dimostrazioni necessarie. Alla realizzazione del progetto collaborò Kac, almeno per gli aspetti legati alla raccolta del materiale e delle fotografie e così racconta:

«Steinhaus voleva rappresentare un’ellisse usando la superficie dell’acqua come appare in un bicchiere inclinato e suggerì che fotografassimo il bicchiere tenuto da una mano femminile. Un pomeriggio sul tardi, mentre stavo sistemando sul pavimento dello studio alcuni oggetti per la ripresa fotografica, la porta si aprì ed entrò una giovane snella, con un cappello a larga tesa. Fece con la mano un cenno di saluto, e io, che ero carponi sul pavimento, notai dal mio osservatorio privilegiato che quella era davvero una graziosa manina.

Quale migliore opportunità di fotografare la famosa ellisse?”. Se mi presta la destra per pochi minuti – le dissi prima ancora che ci fossimo presentati, le prometto l’immortalità.” Mantenni la promessa, visto che migliaia di lettori, in ogni parte del mondo, che hanno comprato, preso a prestito o rubato Mathematical Snapshots hanno ammirato l’elegante mano di Meri Dubinski».**

Mathematical Snapshots fu pubblicato nel 1938 poco prima che Kac lasciasse Leopoli per gli Stati Uniti.

Il libro ha avuto numerosissime edizioni in una decina di lingue ed è stato una fonte di problemi e materiali alla quale molti di coloro che si sono occupati d’insegnamento della matematica hanno attinto a piene mani. In Italia è stato tradotto e pubblicato presso Zanichelli nel 1994 con il titolo Matematica per istantanee.

Un altro libro di Steinhaus, ugualmente prezioso per gli insegnanti, è Cento problemi di matematica elementare pubblicato in polacco nel 1958 e in Italia nel 1987 con prefazione di Franco Conti (1943-2003) che aveva conosciuto Mark Kac nel 1980 alla Scuola Normale Superiore di Pisa che l’aveva invitato a tenere le Lezioni fermiane.^***

Tra i “cento problemi” ce ne sono alcuni dei quali l’ellisse è protagonista.

Ad esempio, il problema di ottenere un’area maggiore a parità di perimetro; l’ellisse che ha due assi di simmetria si presta bene a dare una risposta positiva. Lo provano le due figure seguenti:

I quattro settori dell’ellisse una volta ritagliati sono disposti come nella figura a destra: a parità di perimetro, l’area è aumentata del quadrato di lato a-b. 

Allo stesso risultato si giunge operando come illustrato nelle due figure di sopra: congiungendo i punti medi e poi massimizzando l’area del rombo che è 2ab trasformandola in quella del quadrato d’area c²=a²+b². L’area è cresciuta della differenza tra l’area del quadrato e quella del rombo, ovvero (a-b)².

Ovviamente le costruzioni fatte per l’ellisse valgono per tutte le curve chiuse che presentano due assi di simmetria. Fa eccezione il cerchio la cui area non si può aumentare: fra tutte le figure piane di dato perimetro ha l’area massima. [VEDI]

Tornando all’episodio del bicchiere d’acqua tenuto inclinato, quella istantanea traduce in modo efficace ciò che a parole si esprime dicendo che quando si seziona un cilindro con un piano si ottiene un’ellisse.

Ma c’è di più; c’è un legame sorprendente con la sinusoide che spunta fuori in modo prodigioso dalla sequenza delle tre istantanee seguenti: nella prima si è arrotolata una striscia di carta attorno ad una candela, nella seconda si è diviso in due la candela con un taglio obliquo, nella terza si è srotolata una delle due strisce di carta: il lato sezionato è divenuto una sinusoide.

Il progetto di Steinhaus contiene naturalmente altre istantanee che consentono di “vedere” l’ellisse. Ad esempio un cestino per la carta visto in prospettiva o l’ombra di un anello circolare su una parete  o, ancora, l’ombra di un divieto di sosta sul marciapiedi o una palla che giace su un tavolo che, illuminata dall’alto, produce un’ombra ellittica ed è tangente al tavolo in un fuoco dell’ellisse****.

Quell’ellisse di Steinhaus è però anche l’ellisse di Keplero, l’uomo che per primo la consacrò curva degli astri e dell’armonia dell’universo. I pianeti si muovono su delle ellissi.

Il Sole è uno dei fuochi; il raggio Sole-pianeta descrive la stessa area ogni giorno (anche ogni ora), ma, come fa vedere il disegno, la Terra non percorre la stessa lunghezza ogni mese.

In conclusione, quell’ellisse è anche curva regina dell’arte e della religiosità e la Cappella degli italiani a Praga è forse la prima chiesa a pianta ellittica.[VEDI]

La Cappella degli Italiani a Praga

In aggiunta, alcuni aforismi di Hugo Dyonizy Steinhaus:

• È facile passare dalla casa della realtà alla foresta della matematica, ma solo pochi sanno ritornare.
• Le frasi con al più sette parole vengono consegnate alla storia.
• Una delle caratteristiche della stupidità è la logica.
• Ogni persona si comporta in modo artificiale: è del tutto naturale.
• Un computer non è altro che un idiota molto efficiente.
• Un Paese senza la matematica non potrà competere con chi la pratica.

NOTE

^*La definizione è di Carl Boyer.

^**Il gran numero di riproduzioni e gli anni hanno fatto perdere tutta quella delicatezza: nell’articolo si è preferito scattare una nuova istantanea con l’acqua sostituita da una bevanda colorata.

^***A contatto con Kac, Franco Conti matura l’ammirazione per la figura e l’opera di Steinhaus e ne condividerà la passione per la risoluzione dei problemi e per la didattica che lo vedrà attivo in convegni e commissioni ministeriali nonché responsabile delle Olimpiadi della matematica per gli studenti della scuola secondaria.

^{****Le tre curve familiari ellisse, iperbole, parabola, possono essere ottenute come ombre di un paralume circolare su una parete: è la scelta sviluppata in Italia da Emma Castelnuovo e Lucio Lombardo Radice nei rispettivi progetti didattici.}