Un esercizio che varca l’uscio dell’infinito: la storica e problematica serie di Grandi.
Luigi Guido Grandi (1671-1742)
Dopo gli esercizi con soluzioni assurde e quelli che esemplificano l’aspetto formale dello sviluppo matematico, è didatticamente utile proporre anche un esercizio che porti gli studenti ad immaginare l’infinito attraverso un procedimento ripetitivo, fatto di addizioni e sottrazioni che non si fermano mai. Questo è il caso della serie di Grandi, un esempio storico notevole che varca l’uscio dell’infinito e mette in discussione le nostre intuizioni.
L’esercizio scelto è dunque il seguente:
$$
S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \dots
$$
Se ci si ferma dopo un numero pari di termini, il risultato del calcolo fino a quel punto è 0.
Se invece ci si ferma dopo un numero dispari di termini, il risultato è 1.
Questi risultati intermedi prendono il nome di somme parziali: ogni volta che ci si ferma, si ottiene una somma parziale diversa.
Dunque S non ha un unico valore, ma alterna 0 e 1 a seconda di dove ci si ferma.
Il problema nasce quando si vuole prendere la scrittura infinita S nella sua totalità, come se avesse un unico valore di somma.
Infatti la serie, indicata con \(S\), si può anche scrivere così:
$$
S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \dots) = 1 - S,
$$
da cui segue:
$$
2S = 1 \quad \Rightarrow \quad S = \tfrac{1}{2}.
$$
Ed ecco il paradosso: com’è possibile che una serie che oscilla tra 0 e 1 abbia come somma un mezzo?
Questo esercizio sembra collocarsi “a metà strada”: da un lato, ha la forma tipica dei paradossi: una stessa espressione sembra portare a risultati contraddittori (0 oppure 1).
Dall’altro lato apre la strada a una riflessione più ampia: che cosa significa davvero “sommare” una serie infinita? Come decidere se una scrittura di questo tipo ha o non ha un valore preciso?
Sono domande che hanno spinto i matematici a cercare criteri più rigorosi e, nel tempo, a sviluppare nuove teorie sull’analisi dell’infinito dove ricorrono spesso i contributi di d’Alembert, Cauchy, Weierstrass.
L’esercizio si colloca così a metà strada tra i semplici giochi logici e le costruzioni teoriche: mostra come una contraddizione apparente possa trasformarsi in occasione di crescita concettuale.
Dal punto di vista educativo, la serie di Grandi è preziosa perché:
- introduce in modo semplice l’idea di infinito come processo senza fine;
- mette in luce i pericoli delle manipolazioni formali non controllate;
- stimola a chiedersi che cosa significhi davvero “sommare” una serie infinita;
- mostra come i paradossi possano portare a nuove teorie, più solide e rigorose.
Conclusione
Questo esercizio mostra come un problema all’apparenza elementare possa spalancare scenari inattesi.
La serie di Grandi porta lontano perché costringe a guardare oltre le somme finite e ad affrontare l’idea di infinito come processo senza fine.
Il suo valore didattico non sta nel fornire una risposta definitiva, ma nel suscitare domande: che cosa significa “somma” quando i termini non finiscono mai? Quali regole restano valide e quali vanno ripensate?
Così gli studenti sono posti di fronte ad un passaggio, dal finito all’infinito, che si rivela capace di portare sempre più lontano.
Per concludere, possiamo lasciarci con una domanda: che cosa accadrebbe se, invece di alternare i segni \(+\) e \(−\), usassimo sempre il segno \(+\)?
Otterremmo la somma infinita:
$$
1 + 1 + 1 + 1 + \dots
$$
che cresce senza limiti.
E se invece prendessimo come termini i reciproci dei numeri naturali? Avremmo la serie:
$$
1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{4} + \dots
$$
che porta alla stessa sorprendente conclusione come messo in evidenza in: La somma supera 5?
Sono esempi che mostrano come l’idea di sommare all’infinito non sia un gioco, ma l’inizio di uno dei più significativi capitoli della matematica.
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