Numeri reali e misura degli angoli.

Numeri reali e misura degli angoli. Insegnare matematica usando la sua storia. Bourbaki nelle prove scritte di matematica della maturità scientifica.

Nelle tracce delle prove di matematica della maturità scientifica di qualche anno fa, sono presenti alcuni quesiti che sono stati pensati, formulati e proposti con l’obiettivo di rendere le operazioni di leggere e scrivere di matematica attività più che possibili, ordinarie e normali. Quesiti che invitassero a comprendere, interpretare e spiegare ciò che si andava leggendo mettedo a frutto quanto studiato e appreso.

Un esempio dei quesiti assegnati sono i due seguenti; riguardano i numeri reali e la misura degli angoli:

In un libro si legge: “Ogni misura di grandezza implica una nozione approssimativa di numero reale”. Si chiede di spiegare, eventualmente con qualche esempio, il significato di tale frase. [sessione ordinaria 2013, Europa]

In un libro si legge: “La definizione classica di misura di un angolo per mezzo della lunghezza di un arco di cerchio è essenzialmente corretta”. Si spieghi, eventualmente con qualche esempio, il significato di tale affermazione.[sessione ordinaria 2013, Americhe]

“In un libro si legge”. Il libro è: Elementi di storia della matematica di Nicolas Bourbaki.

Ma non si dice: anche per non distogliere l’attenzione dalla frase da spiegare. Ovvero dai concetti che vi sono coinvolti: misura, grandezze, approssimazione, numeri reali e, ancora, nel secondo quesito: misura, arco, cerchio, lunghezza, radiante.

Ecco comunque i “passi” di Bourbaki da cui si è attinto per la formulazione dei quesiti proposti.

Numeri reali

«Ogni misura di grandezza implica una nozione approssimativa di numero reale.

Dal punto di vista matematico le origini della teoria dei numeri reali risalgono alla progressiva formazione, nella scienza babilonese, di un sistema di numerazione capace (in linea di principio) di scrivere dei valori approssimati fin che si vuole di ogni numero reale. La conoscenza di un tale sistema, e la sicurezza del calcolo numerico che non può non conseguirne, conducono infatti inevitabilmente ad una nozione “ingenua” di numero reale, che non è in nulla diversa da quella che si trova ancor oggi  (legata al sistema di numerazione decimale) nell’insegnamento elementare e da quella dei fisici e degli ingegneri.

Questa nozione non può essere definita con esattezza, ma si può esprimere dicendo che un numero si considera definito dalla possibilità di ottenere dei valori approssimati e di introdurre questi ultimi nel calcolo: ciò del resto, implica necessariamente un certo grado di confusione fra le misure di grandezza date dall’esperienza, che naturalmente non sono suscettibili di approssimazione indefinita, e dei “numeri” come  √2 (ammesso che vi sia un algoritmo per l’approssimazione indefinita di quest’ultimo).

Tale punto di vista “pragmatista” riappare quindi in tutte le scuole matematiche nelle quali la maestria nel calcolo ha la meglio sugli scrupoli rigoristici e sulle preoccupazioni teoriche.

[…] [Fu con Weierstrass che si riconobbe quanto] convenisse, da un punto di vista logico, separare completamente l’idea di un numero reale dalla teoria delle grandezze. Utilizzare quest’ultima, infatti, significa definire assiomaticamente l’insieme dei punti della retta ( e dunque in definitiva l’insieme dei numeri reali) ed ammettere l’esistenza di un tale insieme. Benchè questo modo di procedere sia essenzialmente corretto, è evidentemente preferibile partire dai soli numeri  razionali e dedurne i numeri reali per completamento. Questo appunto fecero con metodi diversi, ed indipendentemente gli uni dagli altri, Weierstrass, Dedekind, Méray e Cantor».

Misura degli angoli

«La misura degli angoli, per mezzo degli archi che essi sottendono su un cerchio, è antica quanto la stessa nozione di angolo.

Ed era già nota ai babilonesi. Da essi infatti noi abbiamo tratto e conservato l’unità di misura degli angoli: il grado. Per loro, del resto, si trattava solo di misure di angoli compresi fra 0° e 360°, il che era sufficiente, dato che ad essi gli angoli servivano soprattutto per localizzare le posizioni degli oggetti celesti in punti determinati delle loro traiettorie apparenti ed a costruire tavole che dovevano servire a fini scientifici o astrologici. […] si trova infine in Eulero, a proposito dei logaritmi “immaginari”, il concetto preciso della nozione di misura di un angolo qualunque.

La definizione classica di misura di un angolo per mezzo della lunghezza di un arco di cerchio, è s’intende, non solamente intuitiva, ma essenzialmente corretta; perché tuttavia essa sia rigorosa, è necessaria la nozione di lunghezza di una curva, vale a dire il calcolo integrale».

ALTRI RIFERIMENTI

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Insegnare matematica usando la sua storia

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