Cose complicate e calcoli impossibili nella didattica

La proposta di un calcolo impossibile per lavorare con gli studenti e guidarli a fare matematica imparando a distinguere le cose complicate da quelle che non lo sono.

Virginie Thévenot è l’insegnante di matematica protagonista del film La scuola è nostra (2022).  Virginie ha alle spalle una storia dolorosissima che l’ha segnata profondamente. Dopo essere stata lontana dalla scuola per due anni,  ha ripreso l’insegnamento, fermamente decisa a far bene per gli studenti, accorta a capirli, ad aiutarli a scoprire le proprie propensioni, a guidarli mentre crescono. Il primo giorno di lezione presentandosi alla classe chiede: «A che serve la matematica?». Una ragazza che siede al primo banco alza la mano: «A calcolare cose complicate?».

Il riferimento al film, che merita di essere visto, e alla brava insegnante Virginie, per dire che quest’idea dei calcoli di cose complicate, che la matematica rende possibili, è molto diffusa e radicata nella storia. C’è ovviamente molto di vero nella risposta/domanda della studentessa e nelle “cose complicate” del cui calcolo la matematica si occupa. Tutti, però, sanno che la matematica è molto più che fare calcoli, complicati o meno! A confermarlo è lo stesso atteggiamento che i matematici hanno sempre avuto verso i calcoli: da una parte li hanno svolti inventando nel contempo nuovi metodi e strumenti per semplificarli e velocizzarli, dall’altra li hanno sempre ritenuti un peso di cui liberarsi.

Un atteggiamento che è ben espresso nella frase di Leibniz del 1674: «non è conveniente che uomini di genio perdano il tempo appresso a calcoli che potrebbero bene essere affidati a delle macchine».  E prima delle macchine, si sa, c’erano gli schiavi: i calculones che seguivano il matematico portando abaco e pietre, i calculi, necessari al lavoro del padrone. Un atteggiamento verso i calcoli che uno dei più accreditati filosofi della matematica del XX secolo, Hao Wang, ha interpretato come una  sorta di fine ultimo a cui tendere, come se la grande aspirazione della matematica non fosse altro che la sua meccanizzazione.  In altre parole, rendere i calcoli, e non solo, una questione di macchine.

Questa breve premessa, oggi che abbiamo la disponibilità di macchine capaci di portare a termine ogni tipo di calcolo, anche relativo a cose molto complicate, ha certamente una sua rilevanza sul piano pedagogico e didattico. Può certamente orientare circa il giusto peso didattico da assegnare ai calcoli.

Un esempio può essere utile per spiegare meglio la finalità di questa nota. L’esempio è il calcolo di 2527⁵¹³, cui già si è fatto cenno su Matmedia, proposto ad una classe di scuola secondaria di secondo grado.

Calcolare una potenza così elevata a mano è praticamente impossibile. L’interesse didattico sta nel fatto che sulla natura delle difficoltà di portare a termine il calcolo nessuno ha dubbi. È un esempio di matematica di base che è semplice nella formulazione e immediatamente comprensibile nel significato e nella portata operativa di ciò che chiede. Una situazione didattica, quindi, che si presta a suscitare le giuste curiosità, a stimolare riflessioni sui tempi, sulle risorse e su altri aspetti umani coinvolti.  Allora come fare? Cosa suggeriscono gli studenti?

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Gli studenti, sorpresi, s’interrogano: Siamo sicuri della risposta? Sicuri che la prima cifra sia proprio 3 e l’ultima sia 7? Quante sono le cifre che lo compongono?

Un altro studente ha contemporaneamente interrogato Gemini: «puoi dirmi come fare per calcolare 2527⁵¹³?»

La risposta è la seguente:

“Calcolare esattamente il valore di 2527 elevato alla 513esima potenza è un’operazione estremamente complessa e che richiederebbe una potenza di calcolo enorme, anche per i computer più potenti.

Esistono diversi strumenti e metodi per affrontare calcoli così grandi:

• Software matematici: Programmi come Wolfram Alpha, Mathematica, MATLAB o Python con apposite librerie per il calcolo numerico possono gestire questo tipo di operazioni senza problemi.
• Calcolatrici scientifiche avanzate: Alcuni modelli di calcolatrici scientifiche sono in grado di gestire numeri molto grandi, ma potrebbero comunque avere dei limiti.
• Approcci algoritmici: Esistono algoritmi specifici per il calcolo di potenze molto elevate, che possono essere implementati in programmi per computer.

Anche se ottenere il valore esatto di questo numero potrebbe non essere pratico, possiamo ricavare alcune informazioni utili:

• Ultima cifra: L’ultima cifra del risultato dipende solo dall’ultima cifra di 2527 (che è 7) e dall’esponente 513. Utilizzando le proprietà delle potenze, possiamo determinare che l’ultima cifra sarà 7.
• Ordine di grandezza: Possiamo stimare l’ordine di grandezza del risultato, cioè quante cifre avrà approssimativamente. Questo può essere fatto utilizzando logaritmi.
• Proprietà matematiche: Possiamo studiare le proprietà matematiche del numero ottenuto, come la sua divisibilità per certi numeri.

Vuoi approfondire qualche aspetto specifico di questo calcolo?

Ad esempio, potresti essere interessato a:

• Calcolare l’ultima cifra
• Stimare l’ordine di grandezza
• Utilizzare un software per ottenere il risultato esatto
• Comprendere meglio le proprietà delle potenze

Se hai altre domande o richieste, non esitare a farle!“

Uno studente ha già seguito il consiglio di Gemini e si è rivolto a Wolfram Alpha: ha digitato “2527⁵¹³” nella barra di ricerca e premuto Invio. Ecco il risultato in notazione scientifica.

Il risultato ora non desta più dubbi e una ulteriore conferma la fornisce la formalizzazione della questione: Se si pone 2557⁵¹³ = A allora passando ai logaritmi decimali si ha:

513·Log 2527 = Log A

La calcolatrice scientifica adesso è più collaborativa e dà le sue risposte in “numeri macchina”: Log(513)= 3,402605242 che moltiplicato per 513 dà 1745,536489. Quindi LogA=1745,536489….  ha caratteristica 1745, dunque A ha 1746 cifre e, noto il logaritmo, A è dato dall’Antilogaritmo per il cui calcolo pure esistono numerosi software in rete. 

Il docente che pone un esercizio del genere ai suoi studenti fa una buona didattica?

Produce o no un apprendimento significativo? Con molta probabilità, sì, e sotto molteplici aspetti! Prima di tutto perché gli studenti sono tutti nelle condizioni di partecipare con uguale consapevolezza e poi perché li porta a saper distinguere tra cose che sono complicate e cose che non lo sono affatto: il calcolo di 2557⁵¹³ non è una cosa complicata!

La proposta di calcolo, all’apparenza bizzarra, ha anche un altro grosso pregio: offre tanti legami con altre e fondamentali questioni da farne un’attività che non rimane isolata e fine a se stessa.

C’è il problem solving computazionale. Ci sono l’educazione digitale e  la potenza e i limiti della meccanizzazione. Ci sono i numeri macchina, l’ordine di grandezza e le approssimazioni, la notazione scientifica, le congruenze modulo n, la crescita esponenziale, il logaritmo come strumento che ridimensiona i numeri grandi. C’è l’operatività che lega astratto e concreto, che sfata la noia o l’impossibilità di fare certi calcoli e fa nascere la curiosità di stabilire il confronto con altri numeri grandi 513²⁵²⁷, 2¹⁰⁰⁰, 100! Quanti sono gli atomi in un’arancia e qual è la probabilità che nell’atmosfera sia presente una delle molecole respirate da Giulio Cesare in quel fatidico giorno delle Idi di marzo. E il 52° numero primo di Mersenne che è stato recentemente scoperto? Ha più di 41 milioni di cifre e ci vorrebbero 13.673 pagine per scriverle tutte (3000 per pagina). Che ne dice Wolfram Alpha?

Altri Riferimenti

Problemi, soluzioni e precetti didattici