Dal grafico al simbolico e viceversa.

L’Antologia didattica di Matmedia si arricchisce di un’altra bella pagina. Riguarda lo studio di una funzione e l’importanza di imparare a saper operare nei due versi: dal grafico al simbolico e viceversa.

“Nell’insegnamento non c’è tempo per perdere tempo” – G.Lolli

Questa nuova pagina dell’Antologia didattica è tratta dal Discorso sulla matematica di Gabriele Lolli. Un libro, edito nel 2011, il cui sottotitolo, Una rilettura delle Lezioni americane di Italo Calvino, dà un’idea abbastanza precisa di quale discorso si tratti. Sette capitoli in tutto; due introduttivi e poi un capitolo per ciascuna delle cinque lezioni di Calvino.

Un capitolo per la Leggerezza e, a seguire, nell’ordine: Rapidità, Esattezza, Visibilità, Molteplicità. Come è noto, le lezioni di Calvino sono le proposte dello scrittore riguardo ai valori, o qualità, o specificità che più gli stavano a cuore e che egli augurava alla letteratura di questo terzo millennio di conservare quali caratteri dominanti. Cinque proposte che – è questo il discorso sviluppato da G. Lolli – sono applicabili tanto alla letteratura quanto alla matematica e al suo insegnamento.

Leggerezza, Rapidità, Esattezza, Visibilità, Molteplicità ( e si potrebbe aggiungere Consistenza, la sesta lezione programmata ma non scritta da Calvino) sono le qualità che caratterizzano il buon insegnamento tanto quanto la buona matematica e la buona letteratura.

Le pagine che seguono si trovano nel capitolo «Visibilità».

La loro lettura offre molti stimoli a ragionare di didattica e del ruolo che hanno le immagini nel «fare matematica». Un ruolo fondamentale, molto legato tra l’altro allo studio di una funzione. A un argomento cioè che gli insegnanti trattano abbastanza e del quale si può oggettivamente parlare come della meta privilegiata dell’insegnamento della matematica nei Licei scientifici per la sua oramai storica e immancabile presenza nella prova scritta della maturità.

Qui è chiaro, infatti, che lo studio è finalizzato al grafico. Il punto d’arrivo è la scoperta dell’immagine geometrica intrappolata dal linguaggio simbolico e che l’analisi matematica riesce a liberare e mostrare. Didatticamente significa mettere a frutto quanto studiato e ottenere in tal modo una buona resa di concetti e teoremi di analisi matematica finalizzandoli a uno scopo, a un obiettivo; finalizzandoli cioè a quello che i docenti con termine molto brutto, ma da anni molto diffuso, dicono graficare la funzione.

Dare uno scopo, un fine all’impegno di studio è una buona e collaudata strategia didattica. L’intera azione del docente può risultare però ancora più efficace se tesa a tener conto della reversibilità, ovvero della bidirezionalità dell’operare in matematica: da A a B e da B ad A. Quindi, nel caso dello studio di una funzione: da y= f(x) alla sua immagine geometrica e viceversa dall’andamento grafico alla possibile espressione simbolica. E così è stato fatto spesso nelle prove scritte della maturità scientifica per dare equilibrata importanza al contesto simbolico e a quello visuale.

Ecco dunque il passo antologico proposto:

Man mano che passa dai luoghi dove è inventata a quelli dove è resa pubblica e fruibile, a quelli dove è insegnata, la matematica subisce un processo di discorsivizzazione. Nell’insegnamento non c’è tempo per perdere tempo. L’insegnamento rispetta un criterio di velocità, questa volta non positivo: fretta più che velocità, sia perchè c’è tanto da insegnare, sia perchè si vogliono trasmettere sostanzialmente degli strumenti. Inoltre si manifestano ancora adesso i residui di una concezione tardo-ottocentesca del rigore che contemplava la cacciata dell’intuizione geometrica. Eppure dopo tanto tempo il significato storico corretto di quella vicenda sarebbe dovuto essere metabolizzato, e si sarebbero dovute superare le formule ideologiche a cui è stata ridotta. Purtroppo lo studio dei fondamenti non è entrato come componente doverosa nei curricola delle lauree in matematica e quindi nella preparazione degli insegnanti; così essi assorbono dall’esterno resoconti volgari.

Il risultato è che gli studenti si trovano a proprio agio meglio con i calcoli che non con la considerazione geometrica dei problemi. Se possono, preferiscono contesti simbolici a quelli visuali.

Oltre alle ragioni sociali che condizionano l’insegnamento, si manifesta nei discenti una riluttanza che deriva forse dal fatto che l’immaginazione richiede uno sforzo cognitivo maggiore della manipolazione meccanica – non che tutta la manipolazione simbolica sia meccanica, ma gli studenti lo credono, e la considerano e la trattano come meccanica, con conseguenze disastrose.

In realtà, ignorando le figure, gli studenti perdono così strumenti efficaci di lavoro.

Non sono in grado per esempio di tradurre una relazione come

f(-x) = – f(x),

che definisce una funzione dispari in una immagine, del tipo

che riassume globalmente molte informazioni, né la sua relazione inversa x=f^-1(y) la quale si presenta come

Eppure molte questioni del calcolo infinitesimale hanno una risposta immediata in base alla visualizzazione geometrica. Per esempio che l’integrale di una funzione dispari in un intervallo [-a. a] è nullo.

Tale situazione appare un paradosso, in riferimento a una generazione della quale si dice che viva di immagini, e si esprima per immagini. […]

Gli sforzi per correggere la didattica, o almeno gli strumenti didattici, paiono per ora inefficaci. Non basta che i diagrammi compaiano nei libri, devono essere interpretati in base a un loro linguaggio, e se si vuole che siano usati si deve insegnare a farlo […]. Altrimenti si ha solo l’immaginazione che deriva dall’educazione generale, fatta non dalla scuola, e i cui obiettivi non sono certo il potenziamento delle capacità cognitive.