HomeMatematica e Società

Le dodici parti magiche di 2024

Con gli auguri di buon anno, la meraviglia di 77, le dodici parti magiche di 2024 e uno dei risultati più belli della matematica.

Donna all’alba – Caspar David Friedrich

Negli auguri di buon anno figura come elemento di buon auspicio, la particolarità della partizione di 2024: esattamente dodici addendi (la metà di 24), i cui reciproci costituiscono a loro volta una partizione di 1.

Nella tela di Caspar David Friedrich si intravvedono, insieme alla donna che assiste alla meraviglia del sorgere del sole, i successivi passaggi aritmetici che conducono a ottenere quella partizione. L’autore ha tentato, senza riuscirvi, di ottenerne altre: è portato pertanto a ipotizzare che sia l’unica possibile per 2024.

Qual è la giustificazione di quei passaggi? Qualche lettore lo ha chiesto.

Ecco allora il motivo di riprendere la questione.

Prima di tutto: che esistono r interi a1 + a2+ …+ ar che hanno per somma 2024 e i cui reciproci hanno somma 1 è un fatto certo. È certo perché a godere di tale proprietà sono tutti i numeri maggiori di 77. A dimostralo è stato Ronald Graham nel 1963 con una dimostrazione mista: la prima parte è prettamente algoritmica e la seconda ha più natura dialettica. Graham cioè [VEDI] calcola le partizioni di tutti gli interi tra 78 e 333 e li riporta in una tabella ordinata che utilizza poi per trovare le partizioni dei numeri più grandi, dimostrando che nessun intero potrà essere escluso.

Tenendo ciò presente si è proceduto a ritroso applicando il teorema che afferma che se n ammette una partizione di Graham anche 2n+2 e 2n+179 ammettono ripartizioni siffatte [VEDI].

Ed ecco anche la spiegazione dei passaggi leggibili nella composizione grafica:

2024 – 2→ 2022→ 1011;

1011 – 179 → 832 → 416 – 2 → 414 → 207

Ma la ripartizione di 207 è nota dalla tabella di Graham:

207 = 3+4+6+11+22+28+30+33+70

raddoppiando e aggiungendo 2:

416 = 2+6+8+12+22+44+56+60+66+140

raddoppiando e aggiungendo 179:

1011 = 4+ 12+16+24+44+88+112+120+132+280+179

raddoppiando e aggiungendo 2:

2024=2+8+24+32+48+88+176+224+240+264+358+560

1=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{24}+\frac{1}{32}+\frac{1}{48}+\frac{1}{88}+\frac{1}{176}+\frac{1}{224}+\frac{1}{240}+\frac{1}{264}+\frac{1}{358}+\frac{1}{560}

Nel 1988 la rivista The Mathematical Intelligencer  invitò la comunità dei matematici a votare il risultato più bello in una lista che ne conteneva 24 e tra questi il teorema dimostrato da Graham che mette in luce la meraviglia di 77. Perché proprio 77? Rimane un mistero di questo numero biblico che replica la meraviglia di 7.

A seguito delle votazioni, la hit parade dei risultati più belli vede il teorema dimostrato da Graham ogni numero più grande di 77 è somma di interi positivi i cui reciproci hanno somma 1, occupare la diciassettesima.

Per altre considerazioni ci si può riferire al Periodico di Matematiche 1/2017 che dedicò alla questione la copertina e  due brevi “intermezzi”: La meraviglia di 77 e Le partizioni dimostrate

Altro riferimento: Esercizi da risolvere in classe

 

Autore

  • Emilio Ambrisi

    Laureato in matematica, docente, preside (dal 1983) e ispettore ministeriale (dal 1991). Dal 2004 al 2015 responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Dal 1980 Segretario Nazionale della Mathesis e, successivamente, Vice-Presidente. Dal 2009 al 2019 Presidente Nazionale e direttore del Periodico di Matematiche.

    Visualizza tutti gli articoli

COMMENTS

WORDPRESS: 0
DISQUS: 0