Felix Klein maestro di didattica

Felix Klein “il più influente insegnante di matematica dopo Monge” e grande maestro di didattica.

Felix Klein ritratto da Max Liebermann,1912

Felix Klein nacque a Dusseldorf il 25.4.1849 e si racconta che talvolta gli capitava di scherzare su questa sua data di nascita: sono tutti quadrati perfetti, 5², 2² , 43²).

Studiò alle Università di Bonn, Gottinga, Berlino e Parigi. Insegnò all’Università di Erlangen (1872-75), al Politecnico di Monaco (1875-80), all’Università di Lipsia (1880-86) e infine a Gottinga (1886 – 1913). Fu compagno di studi di Sophus Lie (1842 – 1899) e cominciò la carriera universitaria come assistente di Julius Plücker (1801 – 1868). Per quanto riguardo i numerosi allievi, molti di loro hanno lasciato il proprio nome nel registro della storia della matematica.

La prolusione che tenne all’università di Erlangen in occasione della sua presa di servizio in quella università nel 1872, all’età di soli ventitré, è passata alla storia come Programma di Erlangen. A giustificarne il nome di “programma” è il titolo originale della prolusione: Vergleichende Batrachtungen über neuere geometrische Forschungen – Esame comparato delle ricerche recenti in geometria. In italiano fu pubblicato per iniziativa di Corrado Segre che ne aveva affidato la traduzione a Gino Fano allora ancora studente.

L’idea fondamentale di Klein è che ogni geometria è caratterizzata da un gruppo di trasformazioni e il suo oggetto, il vero oggetto della geometria, sono le proprietà invarianti rispetto a questo gruppo di trasformazioni.

Fu Klein a chiamare iperbolica la geometria di Lobatchevsky, ellittica quella di Riemann sopra una superficie a curvatura costante positiva e parabolica la geometria euclidea.

Questa terminologia gli fu suggerita dal fatto che l’iperbole incontra la retta all’infinito in due punti reali e distinti così come nella geometria iperbolica ogni retta incontra l’assoluto in due punti reali e distinti. L’ellisse non ha punti reali in comune con la retta all’infinito, così come nella geometria ellittica ogni retta non ha punti reali in comune con l’assoluto. Infine, la parabola ha soltanto un punto reale in comune con la retta all’infinito, così come nella geometria euclidea ogni retta ha un unico punto reale in comune con l’assoluto.

Il movimento per il rinnovamento dell’insegnamento della matematica degli anni Cinquanta e Sessanta del secolo scorso individuò nel globalismo della visione di Klein il modo migliore per passare dall’insegnamento della geometria all’insegnamento delle geometrie abbattendo gli argini posti dalla tradizione euclidea. Il programma di Klein divenne così il riferimento principale degli studi di pedagogia della matematica.

La notorietà di Klein è anche legata a:

• il modello di geometria iperbolica che porta il suo nome;
• la bottiglia di Klein, descritta solitamente come un contenitore senza interno né esterno;
• il gruppo di Klein (importante nelle ricerche psicopedagogiche di Jean Piaget);
• l’opera Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, l’Enciclopedia delle scienze matematiche comprese le loro applicazioni, detta anche Enciclopedia di Klein, che egli fondò nel 1895. L’opera  mette in luce l’importanza, sia sul piano scientifico che didattico, data da Klein alle applicazioni: «Oggi, la maggior necessità delle scienze matematiche è che la scienza pura e quelle discipline delle scienze fisiche in cui essa trova le sue più importanti applicazioni siano nuovamente poste in quella intima associazione che si dimostrò così fertile nell’opera di Lagrange e di Gauss».
• l’opera in tre volumi Matematiche elementari da un punto di vista superiore del 1908 che ha avuto grande influenza sul piano didattico. De Finetti ne è stato tra i più convinti estimatori e a questa dichiara di essersi ispirato nell’impostazione del suo Matematica Logico Intuitiva. Il titolo dell’opera di Klein divenne anche il titolo di uno specifico corso del secondo biennio del piano di studi della laurea in matematica che aveva tra i suoi scopi anche quello professionale, di preparazione degli insegnanti.
• l’aver pubblicato nel 1901 il diario di Gauss che era rimasto fino ad allora nascosto fra le carte della famiglia e che per molti è tra i documenti più preziosi di tutta la storia della matematica. Nel diario il princeps aveva elencato, formulati in modo sintetico, centoquarantasei risultati matematici con l’annotazione della data della scoperta. Al primo punto (30 marzo 1796): Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem geometrica in septemdecim partes etc cioè la costruzione elementare del poligono regolare di 17 lati.
• l’essere stato molto attivo per il rinnovamento dell’insegnamento della matematica e insieme a Greenhill e Fehr aver costituito il comitato direttivo del gruppo internazionale di studio nominato dal IV Congresso Internazionale dei matematici di Roma del 1908 con l’incarico di indagare sui programmi e i metodi d’insegnamento della matematica nelle scuole secondarie delle diverse Nazioni. Conseguenza di questo lavoro fu l’introduzione nei curricula dei Paesi sviluppati del calcolo differenziale ed integrale.
• l’essere stato tra i fondatori e primo presidente dell’ICMI (International Commission on Mathematical Instruction).

Scrive Luigi Brusotti: “l’opera di Klein….per quanto riguarda l’insegnamento secondario si è esplicata da un lato favorendo suggestivi raccostamenti fra matematiche superiori e matematiche elementari, dall’altro sostenendo l’introduzione…..dei primi concetti dell’analisi, non disgiunta da una viva preoccupazione delle applicazioni al mondo fisico.”

Lo storico Carl Boyer definisce Klein “il più influente insegnante di matematica dopo Monge”  e E. T. Bell racconta della sua risposta allo studente che gli chiedeva il segreto delle scoperte matematiche : “E’ necessario che vi proponiate un problema; scegliete un determinato obiettivo e camminate dritto verso di esso; potrà darsi che non raggiungiate mai la meta, ma troverete certo qualcosa d’interessante strada facendo”.

Secondo Bruno de Finetti, fondamentali nella concezione didattica di Klein sono il “concetto di funzione”,  la “matematica per problemi” e il “fusionismo”.

Fusionismo : nella visione di Klein e nella interpretazione di de Finetti, è la matematica nella sua globalità: è l’integrazione dei diversi capitoli ed è la trattazione parallela di argomenti diversi con uno sguardo rivolto alle applicazioni nei campi più disparati dell’attività umana. Ispirato dalle idee di Klein fu l’esperimento di un “fusionismo” parziale, di fusione di geometria piana e solida, che fu attuato nelle scuole italiane negli anni a cavallo tra la fine del XIX e i primi anni del XX secolo.

Matematica per problemi:  E’ la matematica che si fa e si reinventa a partire da un “problema”, meglio, da una classe di problemi. E’ un metodo essenzialmente euristico ed il riferimento più autorevole è nell’opera di Polya e in quella di de Finetti. E’ anche molto vicino a ciò che è matematizzazione.