Galois fu il primo a usare il termine gruppo

Per esempio, un quadrato nel piano è simmetrico relativamente a rotazioni di multipli interi di 90° intorno al suo centro, a riflessioni rispetto alle diagonali e rispetto alle rette che tagliano per metà due lati opposti. In ogni caso, la famiglia di tutte queste simmetrie costituisce un gruppo di trasformazioni e l’analisi della ‛struttura’ di questo gruppo risulta sovente uno strumento prezioso per la comprensione delle proprietà e della struttura del sistema stesso. Può infatti addirittura accadere che tutte le proprietà di un’entità matematica complessa siano implicite nella struttura del suo gruppo di simmetria.

La potenza di questo metodo di analisi è stata per la prima volta riconosciuta in relazione alla teoria della risoluzione di equazioni algebriche mediante radicali. Nel 1770, G. L. Lagrange pubblicò una lunga memoria, nella quale sottopose a una profonda analisi i metodi conosciuti per la risoluzione di equazioni di terzo e di quarto grado. Egli scoprì che è possibile comprendere e unificare questi metodi considerando ciò che accade a varie combinazioni razionali delle radici di un’equazione, quando si permutino queste radici fra di loro. Ciò lo condusse di fatto a stabilire casi particolari di alcuni teoremi elementari sui gruppi finiti. Inoltre, questo suo lavoro suggerì che forse la generica equazione di quinto grado non è risolubile mediante radicali.

Questa impossibilità fu provata indipendentemente da P. Ruffini (1813) e N. H. Abel (1824). Il passo decisivo tuttavia fu compiuto da E. Galois nel 1831. Sia a₀ + a₁x … + a_nxⁿ un polinomio a coefficienti razionali che non può essere fattorizzato come prodotto dì polinomi dello stesso tipo e di grado inferiore.

Siano x₁, x₂, …, x_n i numeri complessi che sono le soluzioni (radici) dell’equazione a₀ + a₁x + … + a_nxⁿ = 0. Galois introdusse il gruppo G di tutte le permutazioni di x₁, x₂, …, x_n che lasciano inalterate tutte le equazioni polinomiali in più variabili a coefficienti razionali che possono essere soddisfatte da queste radici. Dipendentemente dall’equazione, questo gruppo può contenere oppure no tutte le possibili permutazioni di n simboli. Galois mostrò che la possibilità di esprimere le x_j mediante radicali nelle a_k e in numeri razionali dipende solamente dall’esistenza in G di una catena discendente G₁ ⊃ G₂ … ⊃ G_n di gruppi più piccoli aventi certe proprietà (chiariremo più avanti la natura di queste proprietà).

Si verifica facilmente che una tale catena di gruppi di permutazioni esiste per ogni gruppo di permutazioni di due, tre, o quattro elementi, ma che, per n maggiore di quattro, tale catena non esiste per il gruppo di tutte le permutazioni di n simboli. Non essendo difficile costruire, per ogni n, una equazione il cui gruppo di Galois G sia il gruppo di tutte le permutazioni di x₁, …, x_n apparve chiaro perché fosse sempre possibile risolvere per radicali equazioni di grado minore o uguale a quattro, ma che tale possibilità si presentasse solo in casi speciali per equazioni di grado più elevato. Nel corso di questo suo lavoro, Galois introdusse il concetto centrale di ‛sottogruppo normale’ (ne vedremo in seguito la definizione). Egli fu anche il primo a usare il termine gruppo.

Ordine di un gruppo finito.

Il numero degli elementi in un gruppo finito G si chiama ‛ordine’ di G e si indica di solito con o(G) oppure con ∣ G ∣. Per ogni intero positivo n, esiste almeno un gruppo di ordine n: il gruppo ciclico di ordine n. Dipendentemente da n, possono esisterne o no degli altri. Sia H un sottogruppo del gruppo finito G. […] l’ordine di un sottogruppo divide sempre l’ordine del gruppo.

Questa dimostrazione venne indicata da Lagrange nel 1770 e il risultato è noto come teorema di Lagrange. Esso implica in particolare che un gruppo il cui ordine è un numero primo non può avere altri sottogruppi che se stesso e l’identità; pertanto esso è ciclico ed è generato da ogni suo elemento distinto dall’identità.

Teoria dei gruppi e teoria dei numeri.

Il fine ultimo della teoria dei numeri è la risoluzione di sistemi di una o più equazioni polinomiali in un numero finito di incognite intere: la soluzione cioè di equazioni ‛diofantee’. La teoria dei numeri ha una storia lunga e complicata che risale a Euclide (300 a.C. circa) e a Diofanto (300 d.C. circa) e include importanti contributi di Fermat, nel XVII secolo, e di Eulero, nel XVIII. Tuttavia, fin verso la fine del XVIII secolo i risultati rimasero in gran parte frammentari e si riferivano a problemi particolari. Come anno di nascita della moderna teoria dei numeri possiamo assumere il 1773, anno in cui Lagrange pubblicò una memoria fondamentale nella quale veniva sistematizzata la teoria diofantea delle equazioni quadratiche in due incognite (ossia delle forme quadratiche binarie).

Poiché il lavoro di Lagrange sulle permutazioni delle radici delle equazioni algebriche era apparso soltanto tre anni prima, si può ritenere che sia la teoria dei gruppi sia la teoria dei numeri moderna siano state create dallo stesso matematico quasi contemporaneamente. L’opera di Lagrange fu semplificata, e in certa misura estesa, da Legendre che nel 1798 pubblicò un libro su questo argomento. Tuttavia colui che fece per le idee di Lagrange sulla teoria dei numeri quello che Galois era riuscito a compiere per le idee dello stesso Lagrange sulla teoria dei gruppi fu C. F. Gauss, nato nel 1777.

Di fatto Gauss riscoprì molti dei risultati di Lagrange e di Legendre prima di venire a contatto con l’opera di questi due scienziati. Le sue Disquisitiones arithmeticae pubblicate nel 1801 contengono i loro risultati, notevolmente estesi e migliorati, in quella che per molto tempo fu la loro forma finale. In particolare esse contengono la dimostrazione della famosa ‛legge di reciprocità quadratica’.

Consideriamo l’equazione diofantea x² + y² = n, ove n è un intero positivo dato. La forma quadratica x² + y² può essere fattorizzata come prodotto di x + iy e x − iy, ove i² = – 1. D’altra parte, l’insieme di tutti i numeri x + iy, con x e y interi, è un anello che, rispetto alla fattorizzazione, si comporta come l’anello degli interi. Modulo unità (elementi dell’anello che hanno inversi rispetto alla moltiplicazione), ogni ‛intero gaussiano’ x + iy può essere espresso in uno e un sol modo come prodotto di ‛interi gaussiani primi’. Si vede subito che le unità sono ± 1 e ± i.

Inoltre, se p è un numero primo ordinario, si può dimostrare che x² + y² = p ha una soluzione in interi se, e soltanto se, p = 2 oppure p è un numero primo dispari della forma 4n + 1. Se p è un numero primo siffatto e x² + y² = p con x e y interi, x + iy e x − iy sono interi gaussiani primi il cui quoziente non è un’unità (a eccezione del caso in cui p = 2) e, modulo unità, ogni intero gaussiano primo è uno di questi oppure è un numero primo, ordinario del tipo 4n + 3.

Una volta note le unità e i numeri gaussiani primi e sapendo come i numeri primi ordinari si fattorizzino in numeri gaussiani primi, non vi è difficoltà a trovare tutte le soluzioni dell’equazione diofantea x² + y² = n, per ogni intero positivo n. Si deve soltanto fattorizzare n in numeri ordinari primi, fattorizzare questi ultimi in numeri gaussiani primi e osservare che x + iy deve essere un’unità moltiplicata per il prodotto di un certo sottoinsieme di numeri gaussiani primi che compaiono nella fattorizzazione, preso in modo che il suo complemento coincida con il suo complesso coniugato.George W. Mackey, Gruppi, Enciclopedia del Novecento