La mente matematica.

La mente matematica. L’opera di Ruelle è una lente d’ingrandimento sul valore della matematica che trova la sua più toccante espressione nell’insegnamento.

Recensione di: David Ruelle, La mente matematica, Edizioni Dedalo, 2009 (The Mathematician’s Brain,  © 2007 Princeton University Press)

L’Autore

L’Autore (1935 – ) è Professore emerito di Fisica Matematica presso l’Institute des Hautes Etudes Scientifiques (France) e Visiting Professor di Matematica alla Rutgers University (USA). Membro dell’Accademia dei Lincei. Vincitore del Premio Peano. Sul sito  www.ihes.fr/~ruelle il curriculum vitae.

Il titolo

Nel titolo dell’edizione italiana l’inglese  “brain” è stato reso non con  “cervello”, ma con “mente”. La questione terminologica rinvia al dibattito in atto sulla natura dell’attività mentale. Si tratta di stabilire se tale attività sia  trascendente o meno  rispetto a quella cerebrale. Campo d’indagine, questo, delle neuroscienze.

Scopo della recensione

Lo scopo della recensione consiste nell’evidenziare una serie di punti del discorso di David Ruelle, intesi come spunti per personali riflessioni.  Riflessioni che lo stesso David Ruelle sollecita sia nei momenti divulgativi che nei momenti in cui si rivolge a un pubblico specialistico. Per quest’ultimo sono presenti anche espansioni specialistiche nelle note.

Momenti di storia della matematica

In sede introduttiva Luigi Borzacchini ricorda i momenti salienti della storia della matematica. La storia è un territorio sterminato da esplorare e ciò vale anche per la matematica. Pitagora conferisce alla disciplina un carattere sacro. Platone considera le idee matematiche trascendenti ed eterne. Nell’età medioevale Dio è il supremo matematico. Con la rivoluzione scientifica la matematica viene considerata immanente nella realtà naturale. Per Immanuel Kant la matematica è possibile come scienza perché si fonda su giudizi  sintetici a priori. Nell’Ottocento i matematici si dedicano ad assicurare alla loro scienza un sempre più solido rigore logico. Nel Novecento si accende un fervido dibattito sui fondamenti della disciplina. L’attenzione finisce col rivolgersi alla concreta esperienza del fare matematica. Un fare che per Ludwig Wittgenstein si riduce a gioco linguistico. Con David Ruelle siamo ormai alla ricerca del funzionamento della mente matematica. A questa ricerca il contributo delle neuroscienze sarà sempre più utile.

David Ruelle (1935 –

Fare matematica

Per comprendere il modo in cui opera il pensiero scientifico, osserva David Ruelle, occorre tener presente i diversi modi di praticare la scienza. Il fare matematica ci pone di fronte  al contrasto tra la mente che è fallibile e la matematica che non lo è. Le strutture matematiche sono presenti nella mente. Il matematico può addentrarsi nel proprio funzionamento mentale col metodo introspettivo. Diverso è il discorso che riguarda la fisica, giacché le strutture fisiche sono immanenti nella natura. Il successo pratico delle teorie matematiche si pone come problema da spiegare.

Stile matematico

David Ruelle introduce il concetto di stile matematico. A partire dagli Elementi euclidei la matematica utilizza il metodo assiomatico-deduttivo. Dagli assiomi si deducono i teoremi con un procedimento caratterizzato dal rigore formale. Nell’esporre i risultati del suo fare, il matematico può ricorrere anche all’espressione informale.  Nel modo in cui si destreggia fra simbolismo della disciplina e linguaggio naturale risiede il suo stile. Non esiste dunque il solo stile letterario.

Diverse geometrie

David Ruelle ricorda in particolare Felix Klein e il Programma di Erlangen. L’idea di Klein è che la geometria consista di un insieme di punti (spazio) e di trasformazioni che agiscono sui punti. Possiamo concepire geometrie diverse. La geometria euclidea è legata alle trasformazioni che sono congruenze (mantengono le distanze), la geometria affine si accompagna al gruppo di trasformazioni che conservano il parallelismo e la proiettiva alle più generali trasformazioni di proiezione e sezione. Nell’affrontare la risoluzione di un problema è molto utile conoscere la natura della geometria alla quale esso appartiene. È nell’ambito della geometria proiettiva, ad esempio, che si coglie l’essenza del teorema di Pappo. Ciò vale anche per il teorema della farfalla. Intanto continuiamo a chiederci se abbiamo a che fare con strutture naturali o con idee platoniche. In  fondo si tratta di un problema che sembra destinato a restare per sempre aperto come i problemi filosofici. Viene in mente l’immagine kantiana della filosofia come campo di battaglia su cui i filosofi sono destinati a combattersi per perire e risorgere senza fine.

Problemi micidiali

Il teorema della farfalla è uno dei problemi che David Ruelle definisce micidiali. Tale definizione è dovuta all’uso che di tale  teorema venne fatto nell’Unione Sovietica, allorché il regime si propose di interdire ai matematici sgraditi l’accesso agli alti gradi professionali. Questo oltraggio nei confronti delle persone lo fu anche nei confronti della disciplina stessa. Aggiungiamo che altro oltraggio alla disciplina  si perpetua oggi  nel mondo. Oltraggio perpetrato secondo la denuncia di Cathy O’Neil con le cosiddette armi di distruzione matematica. Denuncia che un’informazione asservita ai poteri forti continua a passare sotto silenzio. 

Differenziare e unificare

Differenziare e unificare: nella storia della matematica le due tendenze coesistono e si evolvono. Geometria, aritmetica, algebra, analisi infinitesimale e numerica, teoria degli insiemi sono implicate in questa avventura mentale. Un esempio particolare è quello della geometria algebrica. A tal proposito David Ruelle ricorda Alexander Grotendieck, che unificò geometria e algebra descrivendo curve in termini di equazioni e unificò geometria algebrica e aritmetica usando numeri complessi invece di numeri reali. Peraltro già nel 1872 Felix Klein aveva elaborato il programma di ricerche Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, noto come Programma di Erlangen, di cui sopra.

Ingiustizia nei confronti di un grande matematico

David Ruelle, essendo stato sodale di Alexander Grotendieck, ne delinea la biografia, deplorando che un matematico di quella portata sia stato escluso alla fine dal mondo accademico. L’esempio consente di rendersi conto che nel campo della matematica non vi è soltanto spirito collaborativo. Vi sussistono anche invidie e rivalità. La ricerca di onori può essere fonte di dissidi.  D’altra parte ciò rientra fra i difetti dell’umana natura. L’autore rende conto delle debolezze che si riscontrano anche fra gli scienziati.  Non diversamente da quanto accade in politica, il mondo accademico tende a configurarsi come una casta.

La crisi dei fondamenti

Segue una rassegna di scuole diverse. Il formalismo di David Hilbert assume un carattere antimetafisico. Nella sua visione i numeri non hanno realtà ontologica. Al formalismo si contrappongono sia  il logicismo di Gottlob Frege e Bertrand Russell che l’intuizionismo di Jan Brouwer, orientatosi poi verso il costruttivismo. Con Paul Erdős e col gruppo noto come Bourbaki  resiste una sorta di platonismo matematico. David Ruelle critica questa visione. Lui vede i concetti matematici come prodotto della mente umana. Nella creazione dei concetti si realizza una sintesi di logica dell’argomento e soggettività matematica. Siamo invitati a chiederci se  per assurdo sarebbe possibile una matematica non umana, ossia completamente elaborata da un programma informatico.

Cervello e computer

Risorge quindi l’interrogativo che da Pitagora e Platone in poi continua a restare senza risposta. Ciò perché i tentativi di risposta hanno dato luogo finora ad esiti incompatibili fra loro. Tante risposte, nessuna risposta. David Ruelle introduce a questo punto il confronto fra cervello e computer. Si riferisce a John von Neumann, autore di The Computer and the Brain. Il computer è un’invenzione umana. Il cervello è  un risultato dell’evoluzione. Il computer ha una memoria più potente. Al cervello, più lento perché dotato di cattiva memoria, è inerente la soggettività, di cui il computer è privo. Incontriamo la metafora dello scalatore: per scalare una montagna, c’è bisogno sia dell’abilità umana che degli appigli.

Il testo matematico

La composizione di un testo matematico richiede l’uso di simboli, ma non si esaurisce sul piano simbolico. Il testo può essere scritto, orale, o anche scritto e orale insieme.  come nell’insegnare alla lavagna o nell’insegnamento assistito da computer. Consta di formule, figure, proposizioni. Trae origine da elaborazioni diverse nelle diverse menti dei matematici. Di queste diversità sappiamo ancora poco, dal momento che non si può fare introspezione nella mente altrui. A rischiarare le ombre dell’argomento contribuisce un intervento di  Emilio Ambrisi su leggere e scrivere matematica.

Linguaggio matematico e linguaggio poetico

Fra i linguaggi matematico e poetico sussistono differenze sottolineate da David Ruelle. Nel linguaggio matematico le formule sono preferite alle proposizioni. Comunicare con le une o con le altre o con entrambe comporta una scelta. Ed è una scelta che fa del matematico un artista. Viene riproposto così lo stile matematico. C’è necessità di regole logiche per gestire i simboli. Regole da usare però in modo creativo. Sono regole presenti anche nelle diverse arti. Forme geometriche sono insite nelle arti figurative. La musica non è concepibile indipendentemente dalla matematica. Numerosi gli esempi che possono  essere tratti dalla letteratura con particolare riguardo alla poesia. Ricordiamo che una particolare compenetrazione di linguaggio matematico e linguaggio poetico caratterizzò il futurismo. Per questo aspetto si rinvia al contributo di Ugo Piscopo.

Gioia dell’invenzione e della scoperta

È la creatività matematica che dà origine a ipotesi, teorie,  teoremi. David Ruelle   seleziona alcuni fra i tanti esempi. Ipotesi di Bernhard Riemann. Teoria degli insiemi a partire da  Georg Cantor. Teorema del cerchio di Lee-Yang. Teorema di incompletezza di Kurt Gödel. Ultimo teorema di Pierre de Fermat. E così via. Possiamo supporre che in ogni caso non sia all’opera soltanto una fredda logica. Proviamo o immaginiamo l’emozione di contemplare una bellezza atemporale e la soddisfazione di esserne stati in maggiore o minor misura artefici. Un elemento specifico  di questa esperienza è il senso di libertà. Una libertà diversa dalle altre. Libertà di sublimarsi in un assoluto interiore diverso da ogni altro assoluto.

Effetti collaterali indesiderati

David Ruelle non nasconde che anche i matematici, in quanto esseri umani, possono andare incontro a turbe psichiche. Si registrano forme di esaurimento nervoso o addirittura di autismo. Sono noti i problemi psichici di Kurt Gödel, ossessionato da diverse fobie. Altro caso clinico quello di Alan Turing, altrettanto noto per il mistero del suicidio con la mela al cianuro. Può darsi, ma non è certo,  che il severo impegno richiesto dalla disciplina sia un fattore atto a generare squilibri.

 Il pensiero matematico

Comunque siamo spinti a chiederci come operi il pensiero matematico. Momenti dell’ideazione sono invenzione, incubazione, illuminazione. Possiamo ipotizzare che nell’incubazione abbia un suo ruolo anche l’inconscio. Da David Ruelle sono chiamati in causa Sigmund Freud e Leonardo da Vinci: il sorriso della Gioconda viene interpretato come esempio di sublimazione. Sublimazione che gioca il suo ruolo nel pensiero matematico, proteso verso l’assoluto in una sorta di innamoramento metafisico. Altre componenti possono essere il buon gusto e addirittura la moda. Ciò complica l’impresa di definire un’idea matematica. In ogni caso si tratta di assemblare idee, componendole in sequenze. Viene introdotta per questa ricerca la metafora del labirinto. Poi viene anche introdotta, per quanto riguarda l’illuminazione, la metafora del faro.

 Strategia dell’invenzione

Nell’invenzione, punto di partenza di ogni teoria, è presente una progettazione strategica. Sulla base di atti matematici si fondano idee formali o strutturali e si attivano procedimenti analogici. L’oscurità di un paesaggio mentale può essere squarciata dalla luminosità di un’intuizione. In fisica matematica, disciplina di elezione per David Ruelle, provengono suggerimenti matematici dalla natura. Si ritorna così alla posizione di Galileo Galilei. È un fatto che con la matematica si può operare sulla realtà naturale. Nello stesso tempo l’invenzione matematica palesa la sua diversità rispetto alla realtà fisica.

 Amore per la bellezza matematica

In definitiva quest’opera di David Ruelle è una lente d’ingrandimento sul sublime valore umano della matematica. Valore che supera ogni individualismo e si concretizza nella relazionalità. Perciò l’amore per la bellezza matematica trova la sua più toccante  espressione nell’insegnamento. Insegnare significa desiderare e far desiderare un incontro che possa riscattare l’incertezza esistenziale. Ricercare insieme l’incontro con l’assoluto matematico è uno dei momenti culturali più alti nella storia dell’umanità. Escludere in partenza la possibilità di questo incontro è segno di aridità del  sentimento e  sfiducia nella ragione.