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LCD suggerite dalle prove scritte di maturità

Limitate catene deduttive in Analisi suggerite dalle prove scritte di maturità, un secondo esempio. Dalle progressioni geometriche alle funzioni esponenziali.

Le funzioni esponenziali o logaritmiche, come anche i modelli di crescita o decadimento esponenziali, hanno ultimamente conquistato ampio spazio nei percorsi didattici e, in particolare, nei “problemi di realtà” .

Le proprietà formali ad esse associate sono ben note agli studenti ma il più delle volte si tratta di una conoscenza strumentale, per risolvere equazioni o disequazioni, per studiare funzioni, tracciare grafici. Anche nella modellizzazione  si corre il rischio di trascurare l’apparato concettuale che dà un senso ai calcoli e alle applicazioni. D’altra parte, l’aspetto culturale non consiste solo in una serie di conoscenze teoriche, ma richiede padronanza dei concetti fondamentali, riflessione sul loro processo evolutivo, in ambito didattico ed eventualmente anche in ambito storico.

Il passaggio dalle progressioni, studiate in aritmetica o in algebra, alle funzioni esponenziali o logaritmiche, passa attraverso la  delicata questione delle potenze  a esponente reale . Il numero di Nepero è introdotto come la base naturale per esponenziali e logaritmi. In seguito, nello studio  dell’Analisi acquista  un ruolo strategico nel determinare alcuni limiti notevoli, per derivare  funzioni, per modellizzare alcuni fenomeni reali, per risolvere equazioni differenziali.

Le definizioni alternative della funzione esponenziale ( limite di una successione, somma di una serie di potenze, soluzione di un’equazione differenziale, funzione inversa della funzione logaritmo)  ne mette in luce i vari aspetti e la versatilità delle applicazioni ma rischia  di oscurarne le proprietà fondamentali, le stesse che caratterizzano le progressioni geometriche :

  • la proprietà degli esponenti, f(α+β) =f(α)·f(β)
  • la proprietà degli incrementi, diretta conseguenza della prima

«l’incremento f(x+h) in un certo intervallo h è direttamente proporzionale a f(x)».

Un approccio con l’antico metodo del confronto tra una progressione geometrica e la progressione aritmetica degli esponenti, accompagnato da  significativi cenni storici, può orientare gli studenti verso una conoscenza di tipo relazionale, valorizzando i collegamenti tra i concetti e i processi che li originano .

Può essere anche un’occasione per approfondire alcune tematiche di ampio respiro come le proprietà degli insiemi  , Q, ℝ , il continuo aritmetico (ordinamento, densità, completezza) o l’opposizione dialettica discreto-continuo in matematica.

Riferimenti storici

E’ utile iniziare  con alcuni cenni storici che potrebbero essere approfonditi autonomamente dagli stessi studenti,  tramite una webquest oppure, se l’insegnante lo ritiene opportuno, interrogando un’intelligenza artificiale. ( una domanda potrebbe essere : «E’ nata prima la funzione esponenziale o quella logaritmica ? o forse sono nate insieme?»

Oppure :«Quali sono le possibili definizioni della funzione esponenziale? Quali le sue applicazioni?»

Spunti didattici

  • Le proprietà della funzione esponenziale – Dominio, monotonia, continuità, derivabilità.
    Dai metodi elementari ai metodi dell’Analisi. Il ruolo del limite fondamentale che definisce il numero e
  • Il significato fisico delle proprietà formali.
    L’importanza  della regola degli esponenti e della proprietà degli incrementi nella costruzione dei modelli di crescita. Il tasso di variazione istantaneo e il tempo caratteristico.

Proposte di attività laboratoriali suggerite dalle tracce assegnate alla maturità scientifica (sono stati privilegiati alcuni quesiti che suggeriscono un approfondimento dal punto di vista concettuale).

  1. Un problema di crescita esponenziale. Modello discreto o modello continuo? [VEDI]

Quesito 5- Europa 2015.

La popolazione di una colonia di batteri è di 4000 batteri al tempo t = 0 e di 6500 al tempo t = 3. Si suppone che la crescita della popolazione sia esponenziale, rappresentabile, cioè, con l’equazione differenziale dy/dt=kt, dove k è una costante e y la popolazione di batteri al tempo t.
Al tempo t = 10, la popolazione supererà i 20000 batteri?

La  soluzione del quesito appare piuttosto semplice o addirittura scontata.

La formulazione, tuttavia,  può essere interpretata come una scelta tra un modello discreto e un modello continuo, a seconda che ci si fermi alla prima informazione (crescita di tipo esponenziale) o si tenga conto della seconda ( soluzione di un’equazione differenziale) .

Nel primo caso si può ricorrere  all’antico metodo delle due  progressioni (geometrica e aritmetica ) e all’inserzione di un opportuno numero di valori medi tra due termini consecutivi corrispondenti.

Un’analisi più approfondita del modello continuo, che va oltre  gli aspetti procedurali della soluzione dell’equazione differenziale, rivela il collegamento tra i due approcci. Il significato fisico e geometrico della costante suggerisce una riflessione sull’importanza del numero di Nepero, inteso come  \lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}, nel passaggio dal metodo algebrico   delle due progressioni al modello continuo e ai metodi dell’Analisi.

2. Algoritmi o integrali? [VEDI]

Quesito 9 PNI 2006: Della funzione f (x) si sa che è derivabile e diversa da zero in ogni punto del suo dominio e, ancora, che: f ‘(x) = f (x)  e f (0) = 1. Puoi determinare f (x)?

Questa seconda attività può essere un completamento della prima.

Si può rispondere al quesito facendo riferimento al classico problema di Cauchy oppure utilizzando un metodo di approssimazione  che  rispecchia l’algoritmo di uno dei più noti metodi numerici per approssimare  la  soluzione di un’equazione differenziale: il metodo di Eulero.  (Il legame con il limite fondamentale \lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{x}{n} \right )^{n}=e^{x} è inevitabile).

Può essere interessante, inoltre, osservare come si possa ritornare a un modello discreto dopo aver scelto un modello continuo, la cui  utilità ovviamente si riscontra nel caso in cui l’equazione differenziale non ammetta una soluzione simbolica.

3. Confronto tra una funzione esponenziale e una funzione potenza a esponente irrazionale. [VEDI]

Quesito 8 ordinaria  2008:  Sia f la funzione definita da f (x) = πx – xπ. Si precisi il dominio di f  e si stabilisca il segno delle sue derivate, prima e seconda, nel punto  x = π.

Al di là delle risposte ai quesiti specifici, la  particolarità della commutazione tra base ed esponente suscita una certa curiosità.

Si può assegnare il valore x=0? Quanti sono i valori di x tali che πx = xπ? E’ maggiore  πe oppure eπ?

Le domande  suggeriscono una riflessione sui concetti e sulle definizioni di potenza a esponente irrazionale, nonché  un’attività laboratoriale che coinvolge  il classico ‹studio di funzione».  La ricerca delle risposte alla seconda e terza domanda si avvale, infatti,  di un metodo  grafico per studiare le  intersezioni tra un  fascio di rette e un’opportuna funzione ausiliaria.

Segue un breve elenco di ulteriori tracce d’esame che trattano i temi affrontati precedentemente

Curva esponenziale e curva logaritmica a confronto  

  • PROBLEMA 2 ordinamento 2009 punti 1 e 2-
  • PROBLEMA 2 -ordinamento 2010 punti 1 e 2

Il numero e

  • Quesito 5 ordinamento 2005
  • Quesito 5 PNI 2005

 

Applicazioni alla fisica – La velocità di regime

Simulazioni  MIUR (Fisica ) 25 gennaio 2016 – Problema 2

Autore

  • Adriana Lanza

    Laureata in matematica, all'Università “La Sapienza” di Roma  . Vincitrice di concorso a cattedra per la classe matematica e fisica, ha  insegnato a Roma nel liceo scientifico  “Cavour” e ha collaborato con la S.S.I.S del Lazio in qualità di insegnante accogliente per i tirocinanti. In pensione dal 2009, ha partecipato al progetto del MIUR “La prova scritta di Matematica degli esami di Stato nei Licei Scientifici: contenuti e valutazione”  . Collabora alle attività di formazione della Mathesis.

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