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L’integrale definito, spunto per un nuovo elaborato

Applicazione degli integrali definiti al calcolo di aree e volumi. Un altro possibile spunto per l’elaborato di matematica e fisica: l’integrale definito.

Nel dibattito in corso, non è assolutamente da dimenticare che l’elaborato del colloquio di maturità scientifica deve riguardare la matematica e la fisica. Multidisciplinarità è già questa ! Che poi il suo sviluppo possa contemplare apporti anche di altre discipline è cosa lodevole e auspicabile, ma secondaria. Ovviamente il punto di vista pedagogico che s’intende esprimere è quello già ampiamente espresso in esempi di prove tematiche

Stante tale premessa, scopo di questa nota è di riprendere  l’esempio:

Tema: Il numero π nelle leggi della Natura e nelle forme e accadimenti della Vita. [Vedi]

pubblicato il 14 marzo scorso, giornata internazionale della matematica e pigrecodì.

Tra le richieste del tema figura il calcolo del volume del solido generato dalla rotazione dell’area \int_{0}^{\pi }senxdx  attorno all’asse y.

La richiesta ha una sua storia. È infatti già presente nella sessione degli esami di Stato 2011, esattamente dieci anni fa. È il quesito 3 del tema proposto agli studenti dell’allora vigente PNI ed è posto così:

Sia R la regione delimitata, per x ∈ [ 0,  π ], dalla curva y = sen x e dall’asse x e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all’asse y. Si calcoli il volume di W.

Un quesito che allora non fu giudicato dei più semplici.

L’esercizio s’inseriva però in un progetto di innovazione didattica che riguardava sia gli argomenti delle prove d’esame sia le loro formulazioni.  Uno degli obiettivi del progetto mirava al potenziamento del concetto di integrale definito e alla sua applicazione al calcolo di aree e volumi. Si era partiti con uno dei quesiti del problema 1 del PNI della sessione ordinaria del 2005 .[Vedi]

Si chiedeva di calcolare il volume di un solido avente per base una regione assegnata del piano xy e sapendo che tagliandolo con piani ortogonali all’asse x si sarebbero ottenuti tutti quadrati.

Il quesito fu una novità per la matematica del liceo, il primo del suo genere. Ovviamente la cosa fu notata, anche criticata da taluni, ma sostanzialmente accolta bene e divenne, da allora in poi, un invariante dei temi di maturità, almeno fino al 2015.

La copertina del Periodico di Matematiche del 2009 fu dedicata al tema e ne spiegava i motivi.

disegno realizzato da Mario Guida

Torniamo, quindi, al calcolo del volume VW del solido W descritto dalla rotazione, intorno all’asse y, della regione R del semipiano y>0 sotto l’arco di sinusoide tra 0 e π.

Con una rotazione intorno all’asse x, il solido risultante si poteva pensare come l’insieme delle fette ottenute con tagli perpendicolari all’asse x e si poteva scrivere: V_{W}=\pi \int_{0}^{\pi }sen^{2}xdx avendo ognuna di quelle fette area πsen2x.

Ma così non è: la rotazione avviene attorno all’asse y.

Quindi, applicando lo stesso metodo delle fette, risulterebbe qualcosa di più complicato da risolvere, considerare la funzione inversa x=arcseny e integrare rispetto a y.

Più semplicemente, il solido risultante dalla rotazione si può pensare sfogliettato; ovvero si può vedere composto come lo è una cipolla: di più strati sovrapposti. Ogni strato è un cilindro di raggio di base x e altezza senx. Ognuno di questi strati o gusci cilindrici, di spessore infinitesimo, ha area laterale (2πx)senx. Il volume richiesto è dunque V_{W}=2\pi \int_{0}^{\pi }xsenxdx ovvero, risolvendo per parti, 2π2.

Un’analogia, nel piano, si coglie con il vecchio disco di vinile: gli strati sono qui le circonferenze concentriche che riempiono l’area del cerchio di raggio a che è pertanto data da: 2\pi \int_{0}^{a}xdx.

Un altro quesito che pure va ricordato per l’evidente analogia, è il seguente: spiegare perché la derivata del volume V(x) di una sfera di raggio x è la sua superficie. Anch’esso proposto più volte tra i quesiti di maturità.

Quanto osservato finora può bene sostanziare lo sviluppo di un elaborato da maturità scientifica. Il tema? L’integrale definito.

L’interesse del tema è scontato, come scontata è la sua dimensione multidisciplinare.

L’integrazione si occupa di aree e volumi, ma anche di centri di gravità, di densità, flussi e di molte altre cose che implicano misure di globalità, il che la rende un’operazione fondamentale della Fisica. Lo studente nello sviluppo dell’elaborato può tener conto delle occasioni in cui ha incontrato degli integrali: nello studio della termodinamica, dell’elettricità e dell’elettromagnetismo, della meccanica newtoniana e della relatività. Ma anche della probabilità e della statistica.

Il tema, l’integrale definito, è così pervasivo che non c’è bisogno di ulteriori dettagli.

Quello che si può dire, ai docenti, è che, nella formulazione della traccia e a suo corredo, possono elencare una serie di questioni atte, per così dire, a coinvolgere lo studente nella scelta di una parte del suo lavoro. Una lista di argomenti in cui lo studente può scegliere quello che ritiene più congeniale. Questa parte, a scelta, comporta un doppio vantaggio. Per lo studente, che diviene responsabile della curvatura da dare al suo elaborato. Per il docente, che può, per l’intero mese di maggio, tenere ben stretti tra loro i due impegni: dare completezza al suo programma didattico e seguire gli studenti nella preparazione dell’elaborato.

Una lista possibile:

  • Il legame tra derivata e integrale indefinito
  • Archimede e l’area del segmento parabolico
  • Centro di massa e di densità
  • Applicazione dell’integrazione al concetto di lavoro
  • Problemi fisici che si riconducono a equazioni differenziali lineari del primo ordine
  • Il teorema fondamentale del calcolo infinitesimale
  • Fenomeni di vibrazioni
  • Teoremi del valor medio per gli integrali
  • Integrali di Feynman
  • Integrale di Riemann
  • Metodi di integrazione
  • Approssimazione numerica degli integrali definiti
  • Significati ed esempi di integrale improprio

Non dovrebbero però mancare richieste di soluzioni di esercizi o problemi significativi, sì da poter testare anche in sede di colloquio gli aspetti più propriamente tecnici e argomentativi. Per questi ultimi una buona sorgente sono i problemi e i quesiti delle prove scritte nazionali delle decorse sessioni d’esame.

NOTE

Informazioni più generali sul tema si possono attingere anche dalle Indagini Matmedia e dagli articoli:

Per i temi di maturità, in particolare dal 2001, oltre a Matmedia, si segnala la rassegna curata da Luigi Tomasi che delle prove scritte di maturità scientifica è da tempo tra i più assidui risolutori e commentatori.

 

 

 

 

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