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L’opposizione rapidità/lentezza nella matematica

La farfalla e il granchio emblema del motto latino festina lente. La lezione Rapidità di Italo Calvino e la coppia Rapidità/lentezza nell’inventare e imparare la matematica.

Italo Calvino apre e chiude la sua lezione americana sulla Rapidità con due racconti, entrambi molto rapidi.

Nel primo narra di Carlomagno che in tarda età si era innamorato di una ragazza tedesca. Un amore tale da fargli trascurare finanche gli affari dell’impero e quando la ragazza improvvisamente morì divenne ancor più folle: fece portare il cadavere imbalsamato nella sua stanza e non voleva staccarsene. L’arcivescovo Turpino sospettò a questo punto un incantesimo e volle ispezionare il cadavere. Nascosto sotto la lingua della ragazza morta, Turpino trovò un anello con una pietra preziosa. Lo prese e da quel momento Carlomagno riversò il suo amore sulla persona dell’arcivescovo. Turpino, per sfuggire a quell’imbarazzante situazione, si affrettò a gettare l’anello nel lago di Costanza. Carlomagno s’innamorò del lago e non volle più allontanarsi dalle sue rive.

Il secondo racconto, quello che conclude la lezione, è ambientato in Cina ed ha per protagonista Chuang-Tzu, un personaggio virtuoso, particolarmente abile nel disegno. Il re gli chiese il disegno d’un granchio. Chuang-Tzu disse che per realizzarlo aveva bisogno di cinque anni di tempo e di una villa con dodici servitori. Dopo cinque anni il disegno non era ancora cominciato. Ho bisogno di altri cinque anni, disse Chuang-Tzu. Il re glieli accordò. Allo scadere dei dieci anni, il re si recò da Chuang-Tzu, che lo guidò verso un’ampia sala dove al centro c’erano una tela bianca su un cavalletto e, a lato, gli attrezzi del disegno. Chuang-Tzu prese il pennello e in un istante, con un solo gesto, disegnò un granchio sulla tela, il più perfetto granchio che si fosse mai visto, e la consegnò al re che ne rimase grandemente soddisfatto.

I due racconti mettono in luce rapidità diverse.

Nel primo, il protagonista è l’anello magico, anello di una catena narrativa che chiunque potrebbe divertirsi a non arrestare al lago di Costanza, e continuare con la ricomparsa dell’anello fuori dal lago, eventualmente nel ventre di una trota, raccontando di altre repentine variazioni e di altri re e amori.

Nel secondo, la rapidità è nell’esecuzione del disegno dopo averlo lungamente pensato. Alla base c’è l’idea di granchio maturata nella mente di Chuang-Tzu in un modo che gli basta un istante, un solo gesto, per disegnarlo. Una sola pennellata! È come il parto dopo il periodo della gestazione o come la cattura della preda dopo l’appostamento del predatore, come il lampo che scocca nella mente del matematico ad illuminare la soluzione del problema dopo l’insistente pensare.

È l’Eureka di Archimede!

Matematicamente, una singolarità di transizione, il passaggio repentino da uno stato all’altro e, per il granchio, dalla mente alla tela. Una catastrofe nel senso di René Thom. C’è, infatti, in tutto ciò molto di matematico.  Più in generale, c’è l’analogia che la rapidità insita nel racconto di Chuang-Tzu porta ad instaurare con la rapidità che si riscontra in matematica nei processi di dimostrazione e di risoluzione dei problemi, ma anche di comunicazione ed esposizione. Più propriamente, una rapidità mentale che è caratteristica del pensare matematico. È questa peraltro la parte centrale della lezione dove trova posto anche l’immagine del «discorrere che è come il correre» che Calvino riprende da Galileo Galilei e da Giacomo Leopardi.

Osservazioni molto pertinenti al riguardo, le ha fatte Jeremy Bernstein.

In Uomini e macchine intelligenti (Adelphi, 1990) racconta di essere stato per un certo periodo della sua vita ossessionato dalla dimostrazione del teorema di Gödel. L’ossessione era determinata dal fatto che non riusciva a capirla e non riusciva a spiegarsi perché non riuscisse a capirla. Racconta quindi di averlo studiato a fondo e in un modo che sembra evocare Chuang-Tzu e come era arrivato a disegnare il granchio.

Bernstein osserva che nell’articolo famoso del 1931 – Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica  e di sistemi affiniKurt Gödel comincia con l’elencare quarantasei proposizioni. La prima di queste è: Se x è divisibile per y, allora esiste un numero z minore di x e tale che x è uguale a y moltiplicato per z.

Pablo Picasso, Guernica (1937)

Le altre quarantacinque proposizioni sono dello stesso tipo e di complessità crescente.

L’esattezza e completezza dell’elenco sul quale fondare la sua dimostrazione, porta Bernstein a chiedersi: Gödel sapeva fin dall’inizio che per dimostrare questo teorema gli sarebbero occorse quarantasei proposizioni preliminari e non quarantasette o quarantatré? E, successivamente, a estendere l’interrogativo ad altre creazioni famose: Beethoven sapeva fin dall’inizio che per scrivere la Nona Sinfonia gli sarebbero occorse n note, cioè quante ce ne sono? Picasso sapeva fin dall’inizio che per dipingere Guernica gli sarebbero occorse m pennellate? E, ancora, Shakespeare sapeva già in partenza che gli sarebbero occorse p parole per scrivere l’Amleto? E potremmo aggiungere: Chuang-Tzu sapeva fin dall’inizio che gli sarebbe bastata una sola pennellata per disegnare il granchio?

Bernstein conclude: «In principio era l’idea, la totalità delle cose, il concetto che si presenta rapido e istantaneo nella sua interezza indivisibile. Le note, le pennellate, le parole, le quarantasei proposizioni preliminari sono venute dopo».

Nella mente comparirebbero simultaneamente l’idea e tutte le sue variazioni e sfumature.

I grandi matematici, a quanto pare – è il parere di Bernstein – giungono a “vedere” il teorema nella sua totalità prima di costruire l’argomentazione formale. Questa procede un passo alla volta, ma nell’originale l’illuminazione avviene di colpo, in un unico passo e dopo lungo, totale e assorbente pensare.

Ne consegue che per capire più rapidamente la dimostrazione di un teorema bisognerà per prima cosa avere una mente allenata a tenere insieme tutti i fili del ragionamento, in modo che giungano a formare un’unica idea. E questo, forse, nel caso del teorema di Gödel, non basta. Forse, scrive Bernstein, «non potrò mai capire il teorema di Gödel: per comprenderlo, per possederlo davvero nella mia mente, dovrei averlo inventato. Forse posso imparare il teorema di Gödel».

Ma il teorema di Gödel è un caso eccezionale, una dimostrazione che si colloca ad un livello molto elevato; diverso è per la maggior parte delle dimostrazioni della matematica. Tanto diverso che è comune a tutti quelli che fanno matematica di sentirsi nella condizione di possederla, di possedere teoremi e dimostrazioni e tanto da sentirsene gli inventori. Chiunque dimostri Pitagora si sente novello Pitagora, ha scritto, più o meno testualmente, Michel Serres.

La rapidità in matematica è nell’inventare come nell’imparare.

Fa parte dell’esperienza di molti docenti l’aver colto la rapidità con la quale studenti particolarmente dotati comprendono concetti e procedure. E fa parte dell’esperienza di molti insegnanti l’aver dovuto “frenare” l’alunno bravo troppo veloce nel presentare un calcolo o nel ripercorrere i passi della dimostrazione di un teorema.

E c’è da dire che spesso si è portati a confondere tale rapidità di esposizione come rivelazione dell’aver imparato a memoria. Si è portati cioè ad assegnare un valore negativo a tale velocità, fisica, dell’esposizione, quando invece è manifestazione della velocità mentale con la quale il soggetto richiama e gestisce i suoi “pezzi di memoria”. Un ragionare per il quale Marvin Minsky, padre dell’A.I., adotta la metafora del giocoliere che palleggia con i suoi pezzi di memoria combinandoli variamente e rapidamente.

Un ragionare per il quale Calvino trova altri riferimenti e tra questi i già citati Galileo e Leopardi.

Ragionare è la stessa cosa che discorrere e «discorrere è come il correre». A questo punto il cavallo è la metafora adottata per la velocità della mente. E così per Galilei: «Se il discorrere circa un problema difficile fosse come il portar pesi, dove molti cavalli porteranno più sacca di grano che un caval solo, io acconsentirei che i molti discorsi facessero più che uno solo; ma il discorrere è come il correre, e non come il portare, ed un caval barbero solo correrà più che cento frisoni».

E, due secoli dopo, così per Giacomo Leopardi: «La velocità, per esempio, dei cavalli o veduta, o sperimentata, cioè quando essi vi trasportano (….) è piacevolissima per sé sola, cioè per la vivacità, l’energia, la forza, la vita di tal sensazione. Essa desta realmente una quasi idea dell’infinito, sublima l’anima, la fortifica…».

La rapidità è un valore nella matematica!

È un valore tale però da non escludere, come accade per tutte le altre grandi opposizioni concettuali, il valore contrario: quello della lentezza, al quale si accompagna quel piacere dell’indugio che nei racconti sembra prendere tanto Chuang-Tzu quanto Carlomagno rapito nel suo amore tutto contemplativo, in riva al lago di Costanza. Per tutto questo Italo Calvino trova una sintesi nella farfalla e nel granchio, che illustrano il motto latino festina lente fatto anche suo fin dalla giovinezza. La farfalla e il granchio, «due forme animali entrambe bizzarre ed entrambe simmetriche, che stabiliscono tra loro un’inattesa armonia».

La farfalla e il granchio, un’altra coppia portatrice di significati matematici non meno che il cristallo e la fiamma della lezione Esattezza: «Cristallo e fiamma, due forme di bellezza perfetta da cui lo sguardo non sa staccarsi, due modi di crescita nel tempo, di spesa della materia circostante, due simboli morali, due assoluti, due categorie per classificare fatti e idee e stili e sentimenti». E tutto ciò è, senza esaurirlo, nello spazio vitale della matematica.

Autore

  • Emilio Ambrisi

    Laureato in matematica, docente, preside (dal 1983) e ispettore ministeriale (dal 1991). Dal 2004 al 2015 responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Dal 1980 Segretario Nazionale della Mathesis e, successivamente, Vice-Presidente. Dal 2009 al 2019 Presidente Nazionale e direttore del Periodico di Matematiche.

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