Novità nelle tracce di matematica

Per una storia delle tracce della prova scritta di matematica della maturità. Le principali novità e i momenti e le ragioni del cambiamento. Nel 2007 la prima figura nel testo.

«La regione R delimitata dal grafico di y = 2√x, dall’asse x e dalla retta x = 1 (in figura) è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse x, sono tutte triangoli equilateri. Si calcoli il volume di S.»

Siamo nel 2007 e questo quesito, presente nel tema della sessione ordinaria, è la grande novità.

Non lo è per i contenuti, ma per l’illustrazione grafica. La novità è la presenza della figura. Mai era avvenuto prima in tutta la storia dei temi di matematica della maturità scientifica. Le ragioni di una tale assenza erano, ovviamente, riconducibili al significato degli Esami e delle relative prove scritte. La segretezza dei temi imponeva di ridurre quanto più possibile le procedure di stampa e il numero degli addetti ai lavori. La novità fu possibile introdurla quando la Struttura Tecnica del Ministero, che ne aveva la responsabilità, era ormai nelle condizioni di poter gestire con relativa autonomia le operazioni di composizione del testo, riproduzione e preparazione dei plichi*.

L’enfasi posta su questa novità non è certamente un’esagerazione.

I docenti di matematica sanno quanto è importante l’immagine in matematica. Importante per la comprensione; importante per la formulazione di una traccia, che ne guadagna in chiarezza e concisione; importante per focalizzare al meglio le finalità delle richieste; importante per ampliare il ventaglio delle richieste stesse.

Nelle tracce degli anni successivi le immagini non sono mai mancate.

Nel 2008 le figure furono presenti sia nei problemi che nei quesiti: una di queste mostrava un segnale stradale di pericolo e focalizzava l’attenzione sul concetto di pendenza. Nel 2009 fu possibile far comparire la scodella di Galilei e nel 2010 si arrivò all’illustrazione forse più significativa dal punto di vista didattico.

La disponibilità della rappresentazione grafica offrì, infatti, la possibilità di colmare un vistoso vuoto didattico. Consentì di dare completezza concettuale e di significato allo studio di una funzione portandolo a  superare gli steccati della unidirezionalità in cui veniva mantenuto da quando era stato introdotto quale antidoto al “morbo della trinomite“.

Per spiegare il senso di quel che si afferma occorre procedere con ordine, marcando via via gli aspetti di contenuto e quelli didattici, e cominciando dal fatto che si tratta dell’argomento onnipresente nelle tracce. Una onnipresenza giustificata dal successo didattico di una richiesta che mette in gioco molteplici risultati di apprendimento e mira ad un obiettivo preciso: lo studio è finalizzato al grafico.

Il punto d’arrivo dello studio di una funzione è, alla fine dei conti, la scoperta dell’immagine geometrica intrappolata nel linguaggio simbolico che gli strumenti dell’analisi matematica riescono a liberare e mostrare. Didatticamente significa mettere a frutto quanto studiato e ottenere in tal modo una buona resa di concetti e teoremi di analisi matematica finalizzandoli a uno scopo, all’obiettivo di “vedere” la funzione nel suo andamento: crescenza, decrescenza, punti stazionari o di discontinuità, isolati, doppi, limiti. Tradurre simboli in immagini.

Dare uno scopo, un fine all’impegno di studio è una buona e collaudata strategia didattica.

Lo studio di una funzione soddisfa in modo notevole a questo principio pedagogico ed è soprattutto questo  che è alla base del suo successo didattico. A questo principio se ne aggiunge un altro non meno importante e significativo: l’insegnamento della matematica è tanto più efficace quanto più rispetta e tende ad avvicinarsi al “nocciolo”, direbbe Stanislaw Ulam, dell’essenza della matematica. In altre parole, una didattica che non miri a raggiungere l’essenza della natura della matematica è decisamente monca e carente. Inefficace!

Al nocciolo dell’essenza della matematica c’è la reversibilità, ovvero la bidirezionalità dell’operare in matematica: da A a B e da B ad A. Quindi, nel caso dello studio di una funzione: da y= f(x) alla sua immagine geometrica e, viceversa, dall’andamento grafico alla possibile espressione simbolica e dare in tal modo equilibrata importanza nell’insegnamento al contesto simbolico e a quello visuale.

Nella matematica non esistono percorsi irreversibili e così è bene che sia nel suo insegnamento.

E ciò è stato messo bene in evidenza dalle ricerche psico-pedagogiche e principalmente da Jean Piaget. Educare alla reversibilità comporta dunque di educare a saper leggere e operare da sinistra a destra e da destra a sinistra, da (a+b)(a-b) a a²– b² e da  a²– b²  a (a+b)(a-b).

Educare a vedere tutti i percorsi e le concatenazioni logiche come invertibili. In definitiva,  «punti di partenza» e «punti di arrivo» di un discorso deduttivo, sono interscambiabili. Non c’è antecedente che non possa essere susseguente. La reversibilità è dunque importante, uno dei due architravi su cui ciascun docente può fondare la sua didattica, l’altro essendo rappresentato, come più volte detto nelle pagine di questo sito, dalla «invarianza».

In questo senso dunque va colta la possibilità del processo risolutivo invertito: assegnato un grafico, risalire ad una possibile espressione analitica della funzione o, più in generale, ad una funzione il cui grafico sia topologicamente equivalente a quello assegnato. E non c’è chi non veda in questo ribaltamento della prospettiva non solo un completamento pedagogico ovvero un rafforzamento dei concetti già posseduti, ma anche il loro avvicinamento alle più moderne idee degli spazi di funzioni in cui funzioni e grafici sono trattati come oggetti globali, nuovi «punti» suscettibili di una distanza, e quindi, di essere considerati più o meno «vicini», pensati nelle loro forme geometriche.

Modello del solido del problema 1 (2005)

Una osservazione finale merita il contenuto dello specifico quesito del 2007 da cui si è partiti.

Nel quesito il disegno non è essenziale, ma è d’aiuto a concentrare l’attenzione sulla visualizzazione del solido: i candidati la base R del solido di cui devono calcolare il volume ce l’hanno in figura non devono darsi da fare per determinarla e visualizzarla. Ci sarà solo da mettere a frutto quello che hanno studiato.

Il quesito non è altro, infatti, che un esercizio di applicazione del concetto d’integrale definito: il volume del solido è pensato come un “salame” tagliato a fette poi di nuovo riunite; queste fette, pensate di spessore infinitesimo, sono tutti quadrati di lato 2√x per ogni x dell’intervallo [0, 1]. Il volume è dunque dato da un integrale per il cui calcolo non bisogna fare sforzi particolari: è uno di quelli immediati. Il quesito dunque non chiede conoscenze in più. È il concetto di integrale definito che è in ballo e la richiesta non mira ad altro che a potenziarlo, chiarendolo nel significato e rendendone più sicuro il possesso.

Questo riferimento ai metodi delle fette o dei gusci per il calcolo di aree e volumi fu anch’essa una grande innovazione didattica per la scuola italiana che non li conosceva affatto ed erano assenti da tutti i manuali scolastici in adozione. La questione era stata proposta per la prima volta nel 2005, nel PROBLEMA 1 della sessione ordinaria.

Sulla questione comunque si dovrà tornare con altra nota specifica in quanto i Quadri di riferimento  del 18 novembre 2018, tra i 27 argomenti di matematica, prescrivono: «Interpretare geometricamente l’integrale definito e applicarlo al calcolo di aree». Perché il troncamento della frase? Perché solo calcolo delle aree e non anche dei volumi? Ovviamente una mancanza che all’inizio poteva essere spiegata come un errore materiale ma che a distanza di sette anni mette in luce altre e più gravi mancanze.

NOTE

• Il “plico” delle prove scritte che per decenni aveva rappresentato una parte notevole dell’organizzazione degli esami di Stato che coinvolgeva come custodi provveditori, capi d’istituto e forze dell’ordine, finì di esistere con il passaggio ai temi digitali: avvenne nella sessione di giugno del 2012.

• Novità nelle prove scritte

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• I cambiamenti nelle prove d’esame