Gli elementi di novità introdotti nelle prove scritte della maturità scientifica. I polinomi di Taylor e la teoria delle catastrofi.
Nel corposo catalogo delle tracce di matematica assegnate negli anni agli esami di maturità scientifica se ne trovano alcune che presentano significativi elementi di novità.
Le tracce alle quali ci si riferisce sono le seguenti:
I. Con riferimento alla cubica y = x3 [il candidato] ne illustri le variazioni del grafico per l’aggiunta di un termine kx al variare di k nell’insieme dei numeri reali. (maturita’ magistrale sperimentale PNI 1998)
II. L’informazione che si ha della parabola f(x) = ax2 + bx +c è tutta concentrata nel punto di ascissa x=5 ed è f(5)=0, f ‘ (5)=-1, f ”(5)=-1/2. Determinata la parabola e detti A e B i suoi punti di intersezione con l’asse x calcolare l’area del triangolo ABC ove con C si è denotato il punto di incontro delle tangenti alla parabola in A e in B e stabilire il rapporto tra tale area e quella del segmento parabolico di base AB. Stabilire altresì il rapporto tra i volumi descritti dalle aree prima considerate per effetto della loro rotazione completa attorno all’asse x. (scientifico, suppletiva 1999)
III. Della parabola f(x) = ax2 + bx +c si hanno le seguenti informazioni, tutte localizzate nel punto x=0 : f(0)=1, f'(0)=1, f”(0)=2. Determinata la parabola, si scrivano le equazioni delle tangenti ad essa condotte per il punto P dell’asse y di modo che valga 60° l’angolo APB, essendo A e B i rispettivi punti di tangenza; accertato che il punto P ha ordinata 1/4, si scriva l’equazione della circonferenza passante per A, B e P ; si calcolino le aree delle due parti in cui la circonferenza risulta divisa dall’arco di parabola di estremi A e B. (scientifico, straordinaria, 1999).
Il lettore attento coglie subito che sono diverse dalle altre tracce.
Per quanto tutte e tre riguardino la geometria analitica e l’analisi matematica, sorprendono per il linguaggio e per il contenuto. In effetti presentano qualcosa di più attuale che richiama all’analisi qualitativa delle funzioni, ai sistemi dinamici, alla stabilità delle forme tipica della teoria delle categorie di Renè Thom. In definitiva, richiamano al fatto che i polinomi di grado maggiore 3 non sono affatto stabili: conoscerli in un punto equivale a conoscerli dappertutto e così perturbarli in un punto equivale a modificarli globalmente nella forma. Cosa che non vale per la parabola.
Questioni cioè che attengono allo sviluppo in serie di Taylor e alla dialettica locale/globale come detto altrove, e che si ritrova oggetto di una prova del concorso a cattedra del 2000 per l’insegnamento della matematica negli istituti secondari di secondo grado:
La formula di Taylor: il candidato ne ponga in risalto l’utilità nelle applicazioni ed in particolare nel calcolo approssimato. Ne sottolinei l’importanza didattica attraverso la molteplicità dei risultati matematici che in essa si possono leggere. Si soffermi infine sulla solidarietà locale-globale da essa stabilita per i polinomi.
Altri Riferimenti
- La solidarietà locale-globale
- Temi di maturità e di concorso (di una volta)
- La solidarietà nel tema del concorso di matematica.
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