L’opposizione qualità/quantità

L’antologia di belle pagine ad uso dei docenti di matematica. L’opposizione qualità/quantità nella matematica e nella storia della scienza in un passo di René Thom.

René Thom (1923-2002)

Pochi matematici della seconda metà del Novecento hanno saputo rinnovare la tradizione dei grandi filosofi naturali del passato e influenzato in modo così pregnante e pervasivo la cultura del loro tempo, come René Thom. Insignito della Medaglia Fields nel 1958 per i suoi contributi al cobordismo, celebre per la teoria delle catastrofi e appassionato didatta s’impose nel mondo della pedagogia della matematica per il  famoso articolo: Matematica moderna, esiste?, risposta provocatoria al discorso dell’Abbasso Euclide pronunciato da Jean Dieudonné a Royaumont nel 1959.

Il tema

Il passo che segue, dal titolo: L’opposizione qualità/quantità nella storia della scienza, è tratto dalla voce Qualità/quantità scritta da René Thom per l’Enciclopedia Einaudi [ vol. 11, 1980].

Si tratta di una riflessione di grande respiro storico e filosofico che offre ai docenti di matematica una preziosa occasione per uscire dall’alveo del formalismo tecnico e aprire un confronto interdisciplinare sul senso stesso della conoscenza matematica e scientifica.

In sostanza, possiamo descrivere il mondo che ci circonda con numeri e grandezze, ma possiamo anche raccontarlo attraverso le sensazioni che ci provoca. Per secoli, filosofi e scienziati si sono interrogati su quale di questi due approcci rendesse di più alla conoscenza “degli universali del mondo”. Questo testo di Thom ci accompagna in un viaggio attraverso la storia, dal pensiero greco fino alle scienze contemporanee, per scoprire quanto esse siano state presenti nello sviluppo della matematica.

Il testo di Thom

Nell’antichità greca una tradizione attribuita a Pitagora ha cercato di spiegare gli universali del mondo sensibile facendo riferimento a quantità numeriche. È attraverso l’analisi dell’armonia musicale ( che collega l’altezza dei toni alla lunghezza delle corde vibranti) che è stata ottenuta una prima corrispondenza di questo genere. Con Platone – e senza dubbio motivata dall’ambiguità del termine λóγος, allo stesso tempo ‘ragione’ e ‘numero’ – questa fiducia nell’onnipotenza della geometria per rappresentare le Idee raggiunge una vetta insuperata. Ma così facendo lo statuto ontologico del mondo sensibile, relegato a non essere altro che una copia, una realizzazione imperfetta del mondo ideale, diventa difficile da concepire.

Aristotele reintroduce pienamente la qualità (che egli oppone alla sostanza, supporto ultimo dell’essere). Con la scolastica medievale – appena turbata dal problema degli universali – questo dominio della qualità sussisterà fino all’inizio della scienza moderna. Galileo, giustamente, farà leva sulle concezioni platoniche per lottare contro l’aristotelismo. Con Descartes e Locke compare la distinzione tra qualità primarie (la figura e il movimento) e qualità secondarie: queste ultime, dovute all’attività dei nostri apparati sensoriali, non hanno in se stesse alcuna realtà.

René Thom (1923-2002)

La rinascita di teorie atomiste e lo straordinario successo delle grandi leggi della meccanica e della fisica conducono, con Newton prima e poi con lo sviluppo del calcolo differenziale nel XVIII secolo, all’occultamento progressivo della problematica delle qualità. Solo la Naturphilosophie tedesca tenterà di resistere a questa invasione del qualitativo e la lotta ostinata di Goethe nel difendere la sua teoria dei colori contro l’ottica di Newton resterà come una commovente testimonianza.

I grandi successi della fisica nel XIX secolo con Fourier ( teoria del calore) e poi Maxwell (teoria elettromagnetica della luce) convincono definitivamente l’opinione pubblica dell’onnipotenza del quantitativo. Una convinzione che si riassume nel celebre slogan di Rutherford: «Qualitative is nothing but poor quantitative». I teorici della qualità dovranno infine, insieme a buona parte della filosofia accademica, ripiegare nella fortezza della soggettività, unico baluardo che resiste agli assalti dello scientismo trionfante.

Ma questa irriducibile dualità è essa stessa un problema: quello che Alfred North Whitehead chiamerà «la biforcazione della natura» non poteva non riemergere come una persistente lacuna del pensiero scientifico. Anche se le qualità non sono che effetti della nostra struttura fisiologica, sono pur sempre dei fatti vissuti, che possono essere oggetti della scienza. Nasce così con Helmholtz e poi con Fechner la psicologia sperimentale.

Se questi primi sforzi sembrano consacrare il successo del quantitativo nel XIX secolo, il relativo scacco del movimento behaviorista nel XX secolo porta ad accantonare il problema; l’analisi del linguaggio, d’altronde, rimette in luce il problema dell’organizzazione del nostro universo semantico. In ultimo riappare il pensiero qualitativo nella scienza pura: già nel 1880, in una celebre memoria sulle equazioni differenziali del piano, Henri Poincaré aveva creato quella che sarebbe diventata, nel secolo seguente, la dinamica qualitativa.

Con George David Birkhoff e poi con la scuola di Andronov e Pontrjagin in Urss compare la nozione di stabilità strutturale: questa nozione trova un nuovo supporto in topologia differenziale (Whitney) e nei successivi lavori di Smale negli Usa e di Sinaj in Urss. Dopo il 1975, si comincia a vedere una rinascita del pensiero qualitativo in fisica, in particolare con uno studio più sistematico dei difetti dei mezzi ordinati, un campo in cui le considerazioni morfologiche non possono essere ignorate. Questi ultimi decenni ha visto pure un certo rinnovamento del qualitativo anche all’interno delle scienze più tradizionalmente quantitative.René Thom, Qualità/quantità, in Enciclopedia Einaudi, vol.11, 1980

Questo testo di Thom fa ben risaltare una questione culturale cruciale: la matematica non è solo misura, è anche interpretazione, rappresentazione simbolica, costruzione di senso. Il tema qualità/quantità è un “universale del mondo sensibile” e, dunque, un ponte tra la matematica e le discipline umanistiche per un approccio integrato alle conoscenze. Stimola, infatti, il pensiero a percorsi didattici che intrecciano: Storia della scienza (da Pitagora a Galileo, fino a Helmholtz e Fechner); Filosofia (Platone, Aristotele, Whitehead); Fisica e scienze naturali (dalla meccanica newtoniana alla teoria delle catastrofi); Letteratura e arte (Goethe e la sua lotta contro Newton). E non meno rilevanti sono gli spunti operativi per arricchire l’attività didattica:

1. L’interrogativo: meglio misurare o descrivere?
2. Il problema di fornire esempi concreti: il clima, la percezione dei colori, la valutazione di un’opera d’arte, l’analisi di un fenomeno fisico, quando affidarsi al numero e quando alla descrizione, il grafico di una funzione.
3. La ricostruzione di una linea del tempo che evidenzi i momenti storici in cui ha prevalso il pensiero quantitativo e quelli in cui è stato centrale il pensiero qualitativo marcando personaggi, correnti filosofiche, scoperte scientifiche.
4. La traduzione di una formula matematica in un testo descrittivo e viceversa. Riflettere su cosa cambia: cosa è più chiaro? Cosa è più efficace? Dove sta la precisione e dove la profondità?
5. Il mondo della quantità scrutato nei suoi due volti: quello discreto, cioè di fatto il numero (intero) naturale e quello continuo di cui offre abbastanza esempi la nozione di grandezza fisica: una lunghezza, un’area, un peso, una forza, un’intensità di corrente elettrica, eccetera.  In definitiva guardare alla quantità come al grembo ove prende vita l’opposizione discreto/continu0, ovvero l’aporia fondatrice della matematica, secondo Thom.
6. L’indagine sulla qualità a partire dalla riflessione sulla sua distinzione classica (d’origine aristotelica) tra “qualità sostanziali” e “qualità accidentali”, e poi sugli aspetti linguistici e grammaticali, sul fatto che essa è spesso rappresentata dalla categoria dell’aggettivo che la denota; più di rado da un verbo e quindi un avverbio. Per esempio: “piove forte”. Sulla scorta di tali considerazione Thom fu condotto ad introdurre la nozione di “campo semantico” che così definì:

Due qualità A e B appartengono allo stesso campo semantico se si può immaginare una sequenza continua di qualità X_t, con t che varia da 0 a 1, tale che X₀=A e X₁=B.

Per concludere, la storia qui raccontata è quella di una collaudata coppia indissolubile: da un lato il mondo che vogliamo misurare, dall’altro quello che vogliamo percepire e sentire. Alle alterne fasi della prevalenza dell’uno o dell’altro, fa da sfondo una realtà in cui — come scriveva Einstein — “non tutto ciò che conta può essere contato, e non tutto ciò che può essere contato conta davvero”. Conciliare la precisione del numero con la profondità della qualità è stata ed è una sfida affascinante per il pensiero umano, una sfida che merita di entrare anche nelle aule scolastiche, per restituire alla matematica tutta la sua ricchezza culturale.

Per un approfondimento si veda anche:

Il corso fondamentale delle matematiche