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Cicerone, Vitruvio e il teorema di Pitagora

Sul convergere  di umanesimo e scienza nell’antichità classica. Latino e matematica: Cicerone, Vitruvio e il quiddam novi del teorema di Pitagora.

Marco Vitruvio Pollione (80 – 15 a. C.)

Nei nostri licei si verifica in genere una sorta di scollamento fra materie umanistiche e discipline scientifiche. Questa mancata corrispondenza appare come un tardivo riflesso della pregressa separazione della cosiddette due culture. Ne consegue una visione non del tutto fedele dei rapporti fra umanesimo e scienza nel mondo antico.

Fra le prove di quanto asserito possiamo addurre il saggio di Leopoldo Gamberale, filologo classico, inserito col titolo Per lo studio della cultura classica  in  Essere e Divenire del “Classico”, UTET, 2006  –  Atti del Convegno Internazionale (Torino – Ivrea 21-22-23 ottobre 2003) con l’Alto Patronato del Presidente della Repubblica – a cura di Ugo Cardinale (pp. 271-292).

Il saggio citato si articola in tre paragrafi: Premessa; Cicerone, Vitruvio e il ‘teorema di Pitagora’; Baci innumerevoli … come i granelli di sabbia (da Catullo ad Archimede).

In premessa il filologo osserva che “le connessioni fra letteratura e scienza, sia dove sono forti sia dove sono all’apparenza molto deboli, sono comunque necessarie per capire dei testi”. E aggiunge  che “d’altra parte la letteratura scientifica antica meriterebbe anche nella scuola maggiore attenzione di quella – poca o spesso nessuna – che le viene dedicata”.

Nel secondo paragrafo il filologo parte dal teorema che prende il nome di Pitagora così come è formulato da Euclide negli Elementi, 1, 47 e riporta la  traduzione di L. Maccioni:

“Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto.   
Sia ABC un triangolo rettangolo avente l’angolo BAC retto; dico che il quadrato di BC è uguale alla somma dei quadrati di BA, AC.   
Infatti, si descrivano il quadrato BDEC su BC, e su BA, AC i quadrati GB, HC; per A si conduca AL parallela all’una o all’altra indifferentemente delle rette BD, CE, e si traccino le congiungenti AD, FC. Ora, poiché ciascuno dei due angoli BAC, BAG è retto, le due rette AC, AG, che giacciono da parti opposte rispetto alla retta BA, formano, con essa e con i vertici nel punto A, angoli adiacenti la cui somma è uguale a due retti; quindi CA  è in linea retta con AG. Per la stessa ragione pure BA è in linea retta con AH. E poiché l’angolo DBC è uguale all’angolo FBA – difatti ciascuno dei due è retto – si aggiunga in comune ad essi l’angolo ABC; tutto quanto l’angolo DBA è quindi uguale a tutto l’angolo FBC. Ora, poiché DB è uguale a BC e FB a BA, i due lati DB, BA sono uguali rispettivamente ai due lati BC, FB; e l’angolo DBA è uguale all’angolo FBC. Ma il parallelogrammo BL è il doppio del triangolo ABD – essi hanno infatti la stessa base BD e sono compresi fra le stesse parallele BD, AL – mentre il quadrato GB è il doppio del triangolo FBC: difatti essi hanno, di nuovo, la stessa base FB e sono compresi fra le stesse rette parallele FB, GC; [ma doppi di cose uguali sono uguali fra loro]; è quindi uguale anche il parallelogrammo BL al quadrato GB. Similmente, tracciate le congiungenti AE, BK, si potrà dimostrare che il parallelogrammo CL è uguale al quadrato HC; tutto quanto il quadrato BDEC è perciò uguale alla somma dei due quadrati GB, HC. E il quadrato BDEC è descritto su BC, mentre i quadrati GB, HC sono descritti su BA, AC. Quindi i quadrato del lato BC è uguale alla somma dei quadrati dei lati BA, AC.   
Dunque, nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l’angolo retto. Come si doveva dimostrare.”Euclide, Gli Elementi, a cura di A. Frajese e L. Maccioni, Utet, 1970

Il filologo prosegue riportando due passi di autori latini: Cicerone, De natura deorum, 3, 88; Vitruvio, De architectura, 9, 6-8.

Il passo di Cicerone, che dal filologo è riportato solo in parte, lo si può comprendere in modo più compiuto alla luce del paragrafo precedente e della parte omessa del paragrafo citato. Ecco il paragrafo precedente:

[87] […] Propter virtutem enim iure laudamur et in virtute recte gloriamur; quod non contingeret, si id donum a deo, non a nobis haberemus. At vero aut honoribus aucti aut re familiari, aut si aliud quippiam nacti sumus fortuiti boni aut depulimus mali, tum dis gratias agimus, tum nihil nostrae laudi adsumptum arbitramur. Num quis, quod bonus vir esset, gratias dis egit umquam? At quod dives, quod honoratus, quod incolumis; Iovemque Optimum et maximum ob eas res appellant, non quod nos iustos, temperantes, sapientes efficiat, sed quod salvos, incolumis, opulentos, copiosos;

(Siamo lodati a buon diritto per la nostra virtù e giustamente ne meniamo  vanto,  cosa che non accadrebbe se ricevessimo questo dono dalla divinità e non da noi stessi. Invero, se avanziamo nelle cariche pubbliche o prosperiamo negli affari di famiglia, se per accidente abbiamo ottenuto qualche altro vantaggio o  abbiamo schivato qualche disgrazia, allora ringraziamo gli dèi, allora  riteniamo di non avere nulla di cui gloriarci. Forse qualcuno ha mai ringraziato gli dèi per il fatto di essere un uomo onesto? Oppure per essere ricco, onorato, in buona salute? Chiamano Giove ottimo e massimo non perché ci renda giusti, temperanti, sapienti, ma perché ci rende esenti da mali fisici e ricchi in abbondanza.)

Ed ecco il passo in cui è citato Pitagora:

[88] ]neque Herculi quisquam decumam vovit umquam, si sapiens factus esset — quamquam Pythagoras, cum in geometria quiddam novi invenisset, Musis bovem inmolavisse dicitur; sed id quidem non credo, quoniam ille ne Apollini quidem Delio hostiam inmolare voluit, ne aram sanguine aspergeret.

 (Nessuno mai promise in voto la decima ad Ercole se fosse divenuto sapiente – sebbene si tramandi che Pitagora immolò un bue alle Muse, per aver trovato qualcosa di nuovo in geometria; io però non presto fede a questa diceria, perché egli non volle immolare una vittima nemmeno ad Apollo Delio, per non cospargere di sangue l’altare.)

Il passo è oggetto di attenzione per quel “quiddam novi”, quel “qualcosa di nuovo” che potrebbe essere proprio il teorema che vien detto appunto di Pitagora.

Il passo prosegue e si conclude così:

Ad rem autem ut redeam, iudicium hoc omnium mortalium est, fortunam a deo petendam, a se ipso sumendam esse sapientiam. Quamvis licet Menti delubra et Virtuti et Fidei et Spei consecremus, tamen haec in nobis ipsis sita videmus; salutis, opis, victoriae facultas a dis expetenda est. Inproborum igitur prosperitates secundaeque res redarguunt, ut Diogenes dicebat, vim omnem deorum ac potestatem.

(Per ritornare all’argomento principale, il giudizio di tutti i mortali è questo: la fortuna deve essere chiesta alla divinità, la sapienza deve essere desunta  dal proprio stesso io. Sebbene consacriamo santuari alla Mente e alla Virtù e alla Fede, vediamo che queste risorse sono insite in noi stessi, mentre la possibilità di godere della salute, della ricchezza, della vittoria deve essere chiesta agli dèi. È per questo che la prosperità e la buona sorte dei disonesti sono capi d’imputazione, come diceva Diogene, per ogni potere assolutistico degli dèi.)

Inquadrato in tal modo, il paragrafo ottantotto serve non solo a congetturare che quel “quiddam novi” sia proprio il teorema attribuito a Pitagora, ma anche a ribadire la grandezza dell’ingegno di Pitagora, che seppe di dover essere grato solo a se stesso per quanto di nuovo scoprì in campo geometrico (così Cicerone rigetta la tradizione secondo cui il sapere pitagorico sarebbe stato ispirato dalla divinità).

Passiamo ora a Vitruvio. Ecco il brano tratto dal De architectura:

 [6]  Item Pythagoras normam sine artificis fabricationibus inventam ostendit, et quam magno labore fabri normam facientes vix ad verum perducere possunt, id rationibus et methodis emendatum ex eius praeceptis explicatur. Namque si sumantur regulae tres, e quibus una sit pedes III, altera pedes IIII, tertia pedes V, eaeque regulae inter se compositae tangant alia aliam suis cacuminibus extremis schema habentes trigoni, deformabunt normam emendatam. Ad eas autem regularum singularum longitudines si singula quadrata paribus lateribus describantur, cum erit trium latus, areae habebit pedes VIIII, quod IIII, XVI quod V erit, XXV.

[7]  Ita quantum areae pedum numerum duo quadrata ex tribus pedibus longitudinis laterum et quattuor efficiunt, aeque tantum numerum reddidit unum ex quinque descriptum. Id Pythagoras cum invenisset, non dubitans a Musis se in ea inventione monitum, maximas gratias agens hostias dicitur his immolavisse. Ea autem ratio, quemadmodum in multis rebus et mensuris est utilis, etiam in aedificiis scalarum aedificationibus, uti temperatas habeant graduum librationis, est expedita.

[8]  Si enim altitudo contignationis ab summa coaxatione ad imum libramentum divisa fuerit in partes tres, erit earum quinque in scalis scaporum iusta longitudine inclinatio. Quam magnae fuerint inter contignationem et imum libramentum altitudinis partes tres, quattuor a perpendiculo recedant et ibi conlocentur inferiores calces scaporum. Ita sic erunt temperatae; et graduum ipsarum scalarum erunt conlocationes. Item eius rei erit subscripta forma.

Tale brano è tratto dalla Praefatio,  in cui è preceduto da quanto si riporta di seguito.

  [1]  Nobilibus athletis, qui Olympia, Isthmia, Nemea vicissent, Graecorum  maiores ita magnos honores constituerunt, uti non modo in conventu stantes cum palma et corona ferant laudes, sed etiam, cum revertantur in suas civitates cum victoria, triumphantes quadrigis in moenia et in patrias invehantur e reque publica perpetua vita constitutis vetigalibus fruantur. Cum ergo id animadvertam, admiror, quid ita non scriptoribus eidem honores etiamque maiores sint tributi, qui infinitas utilitates aevo perpetuo omnibus gentibus praestant. Id enim magis erat institui dignum, quod athletae sua corpora exercitationibus efficiunt fortiora, scriptores non solum suos sensus, sed etiam omnium, <cum> libris ad discendum et animos exacuendos praeparant praecepta.

  [2]  Quid enim Milo Crotoniates, quod fuit invictus, prodest hominibus aut ceteri, qui eo genere fuerunt victores, nisi quod, dum vixerunt ipsi, inter suos cives habuerunt nobilitatem. Pythagorae vero praecepta, Democriti, Platonis, Aristotelis ceterorumque sapientium cotidiana perpetuis industriis culta non solum suis civibus, sed etiam omnibus gentibus recentes et floridos edunt fructus. E quibus qui a teneris aetatibus doctrinarum abundantia satiantur, optimos habent sapientae sensus, instituunt civitatibus humanitatis mores, aequa iura, leges, quibus absentibus nulla potest esse civitas incolumis.

  [3]  Cum ergo tanta munera ab scriptorum prudentia privatim publiceque fuerint hominibus praeparata, non solum arbitror palmas et coronas his tribui oportere, sed etiam decerni triumphos et inter deorum sedes eos dedicando iudicari. Eorum autem cogitata utiliter hominibus ad vitam explicandam e pluribus singula paucorum uti exempla ponam, quae recognoscentes necessario his tribui honores oportere homines confitebuntur.

  [4]  Et primum Platonis e multis ratiocinationibus utilissimis unam, quemadmodum ab eo explicata sit, ponam. Locus aut ager paribus lateribus si erit quadratus eumque oportuerit duplicare, quod opus fuerit genere numeri, quod multiplicationibus non invenitur, eo descriptionibus linearum emendatis reperitur. Est autem eius rei haec demonstratio. Quadratus locus, qui erit longus et latus pedes denos, efficit areae pedes C. Si ergo opus fuerit eum duplicare, pedum CC, item e paribus lateribus facere, quaerendum erit, quam magnum latus eius quadrati fiat, ut ex eo CC pedes duplicationibus areae respondeant. Id autem numero nemo potest invenire. Namque si XIIII constituentur, erunt multiplicati pedes CXCVI, si XV, pedes CCXXV.

  [5]  Ergo quoniam id non explicatur numero, in eo quadrato, longo et lato pedes X quod fuerit, linea ab angulo ad angulum diagonios perducatur, uti dividantur duo trigona aequa magnitudine, singula area pedum quinquagenûm, ad eiusque lineae diagonalis longitudinem locus quadratus paribus lateribus describatur. Ita quam magna duo trigona in minores quadrato quinquagenûm pedum linea diagonio fuerint designata, eadem magnitudine et eodem pedum numero quattuor in maiore erunt effecta. Hac ratione duplicatio grammicis rationibus ab Platone, uti schema subscriptum est, explicata est in ima pagina.

Scrive dunque Vitruvio che si suole tributare onori agli atleti, che esercitano soltanto i loro corpi, e non agli scrittori, che giovano nel futuro a tutte le genti. Ciò vale, ad esempio, per Pitagora, nominato, si badi,  insieme con Democrito, Platone, Aristotele, quindi per la sua sapienza anche filosofica. Segue poi una dimostrazione geometrica attribuita a Platone. Ciò conferma che tra filosofia e geometria era concepito allora uno stretto collegamento.

Mi risulta strano che i precedenti paragrafi non siano stati citati da Leopoldo Gamberale e ciò vale anche per i paragrafi seguenti, in  cui incontriamo Archimede, fisico oltre che matematico, alle prese con la corona d’oro del tiranno Gerone siracusano e incontriamo inoltre Archita ed Eratostene alle prese con l’ara di Apollo nonché Lucrezio, ricordato per il suo poema De rerum natura (vero è che lo stesso Leopoldo Gamberale presenta il suo saggio come un’opera in fieri, della quale non so se sia stata poi ampliata).

  [9]  Archimedis vero cum multa miranda inventa et varia fuerint, ex omnibus etiam infinita sollertia id, quod exponam, videtur esse expressum. Nimium Hiero enim Syracusis auctus regia potestate, rebus bene gestis cum auream coronam votivam diis inmortalibus in quodam fano constituisset ponendam, manupretio locavit faciendam et aurum ad sacomam adpendit redemptori. Is ad tempus opus manu factum subtiliter regi adprobavit et ad sacomam pondus coronae visus est praestitisse.

  [10]  Posteaquam indicium est factum dempto auro tantundem argenti in id coronarium opus admixtum esse, indignatus Hiero se contemptum esse neque inveniens, qua ratione id furtum reprehenderet, rogavit Archimeden, uti in se sumeret sibi de eo cogitationem. Tunc is, cum haberet eius rei curam, casu venit in balineum, ibique cum in solium descenderet, animadvertit, quantum corporis sui in eo insideret, tantum aquae extra solium effluere. Itaque cum eius rei rationem explicationis ostendisset, non est moratus, sed exiluit gaudio motus de solio et nudus vadens domum verius significabat clara voce invenisse, quod quaereret; nam currens identidem graece clamabat:

  [11]  Tum vero ex eo inventionis ingressu duas fecisse dicitur massas aequo pondere, quo etiam fuerat corona, unam ex auro et alteram ex argento. Cum ita fecisset, vas amplum ad summa labra implevit aquae, in quo dimisit argenteam massam. Cuius quanta magnitudo in vasum depressa est, tantum aquae effluxit. Ita exempta massa quanto minus factum fuerat, refudit sextario mensus, ut eodem modo, quo prius fuerat, ad labra aequaretur. Ita ex eo invenit, quantum ad certum pondus argenti ad certam aquae mensuram responderet.

  [12]  Cum id expertus esset, tum auream massam similiter pleno vaso demisit et ea exempta, eadem ratione mensura addita invenit ex aquae numero non tantum esse: minore quanto minus magno corpore eodem pondere auri massa esset quam argenti. Postea vero repleto vaso in eadem aqua ipsa corona demissa invenit plus aquae defluxisse in coronam quam in auream eodem pondere massam, et ita ex eo, quod fuerit plus aquae in corona quam in massa, ratiocinatus reprehendit argenti in auro mittionem et manifestum furtum redemptoris.

  [13]  Transferatur mens ad Archytae Tarentini et Eratosthenis Cyrenaei cogitata; hi enim multa et grata a mathematicis rebus hominibus invenerunt. Itaque cum in ceteris inventionibus fuerint grati, in eius rei concitationibus maxime sunt suspecti. Alius enim alia ratione explicaverunt, quod Delo imperaverat responsis Apollo, uti arae eius, quantum haberent pedum quadratorum, id duplicarentur, et ita fore uti, qui essent in ea insula, tunc religione liberarentur.

  [14]  Itaque Archytas cylindrorum descriptionibus, Eratosthenes organica mesolabi ratione idem explicaverunt. Cum haec sint tam magnis doctrinarum incunditatibus animadversa et cogamur naturaliter inventionibus singularum rerum considerantes effectus moveri, multas res attendens admiror etiam Democriti de rerum natura volumina et eius commentarium, quo scribitur cheirotometon; in quo etiam utebatur anulo signaturam optice est expertus.

  [15]  Ergo eorum virorum cogitata non solum ad montes corrigendos, sed etiam ad omnium utilitatem perpetuo sunt praeparata, athletarum autem nobilitates brevi spatio cum suis corporibus senescunt; [itaque neque cum maxime sunt] florentes neque posteritati hi, quemadmodum sapientium cogitata hominum vitae, prodesse possunt.

  [16]  Cum vero neque moribus neque institutis scriptorum praestantibus tribuantur honores, ipsae autem per se mentes aeris altiora prospicientes memoriarum gradibus ad caelum elatae aevo inmortali non modo sententias sed etiam figuras eorum posteris cogunt esse notas. Itaque, qui litterarum iucunditatibus instinctas habent mentes, non possunt non in suis pectoribus dedicatum habere, sicuti deorum, sic Enni poetae simulacrum; Acci autem carminibus qui studios delectantur, non modo verborum virtutes sed etiam figuram eius videntur secum habere praesentem esse.

  [17]  Item plures post nostram memoriam nascentes cum Lucretio videbuntur velut coram de rerum naturam disputare, de arte vero rhetorica cum Cicerone, multi posterorum cum Varrone conferent sermonem de lingua latina, non minus etiam plures philologi cum Graecorum sapientibus multa deliberantes secretos cum his videbuntur habere sermones, et ad summam sapientium scriptorum sententiae corporibus absentibus vetustate florentes cum insunt inter consilia et disputationes, maiores habent, quam praesentium sunt, auctoritates omnes.

  [18]  Itaque, Caesar, his auctoribus fretus sensibus eorum adhibitis et consiliis ea volumina conscripsi, et prioribus septem de aedificiis, octavo de aquis, in hoc de gnomonicis rationibus, quemadmodum de radiis solis in mundo sunt per umbras gnomonis inventae quibusque rationibus dilantentur aut contrahantur, explicabo.

Quanto al terzo paragrafo del saggio di Leopoldo Gamberale, dedicato alla numerazione con o senza fine, sarà oggetto di un successivo contributo. Con l’auspicio che possa destare interesse per un approccio adatto a ricavarne spunti didattici, utili per coinvolgere docenti di italiano, latino, filosofia, matematica, fisica lingue straniere e studenti dei licei classici e scientifici in una ricerca sull’infinito, anche in vista della produzione di un eventuale elaborato pluridisciplinare per l’esame con la concorrenza delle varie discipline. Tradurre il latino di Vitruvio può impegnare in primis i docenti di latino, matematica, fisica e appassionare gli allievi chiamati a partecipare all’interpretazione.

 

 

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