La formula più bella della matematica

Una dimostrazione accessibile agli studenti liceali.

La formula e+1=0: è lei l’indiscussa Miss Universo, la formula più bella della matematica. A cominciare dalla metà del XVIII secolo ha incantato e ancora incanta.  Colpisce per l’aspetto estetico, la ricchezza e varietà simbolica, la molteplicità dei significati, il legame che instaura tra reale e immaginario, razionale e irrazionale, naturale e artificiale, essere e non essere. Trasmette un non so che di magico, di mistico, di esoterico. Appare sovrumana, oggetto di un mondo sovraordinato, ancora da scoprire o da raggiungere, dove sarebbe possibile assaporare con l’essenza della matematica  il senso stesso dell’esistenza umana.

La formula è innegabilmente vera, comprovata da più ragionamenti. Fra le varie dimostrazioni ce n’è una che appare più immediata: si fonda sul formalismo del calcolo differenziale  ma in forma contenuta, tale da essere proposta anche ai giovani studenti liceali. Il procedimento dimostrativo parte da un numero complesso z (per semplicità di modulo 1) espresso in forma trigonometrica e si articola nei seguenti passaggi, che non necessitano di aggiunta di parole:

z=cosx+isenx

dzdx=senx+icosx

dz=i(cosx+isenx)dx= izdx

dzz=idx

log z=ix

eix=cosx+isenx

Ecco così spuntar fuori l’identità di Eulero che unisce forma trigonometrica e forma esponenziale di un numero complesso ed ecco, per  x= π,  il sorprendente risultato: e=-1.

Uguaglianza assolutamente paradossale ma vera.

A questo punto, però, conviene non fermarsi, andare oltre: porre  x= π/2. Allora:

eiπ2=i  da cui elevando ad i si ha: i i=eπ2 ovvero i i=0,20787957......

E la sorpresa continua, il reale continua a spuntar fuori dall’immaginario: √-1 moltiplicato √-1 volte per se stesso si materializza presentandosi con una misura alla stregua di ciò che è tangibile e percorribile e ponderabile. È l’astratto che diventa concreto e l’invenzione realtà.

Due osservazioni finali, didattiche:

  1. La dimostrazione ha un punto debole: chiede un atto di fede, in particolare che le regole per l’integrazione complessa siano simili a quelle per gli integrali reali. Questo però, più che un punto debole, si traduce in elemento di ricchezza pedagogica, perché avverte di una precisazione e di un rigore da raggiungere.
  2. Interessante è anche il parere di chi ritiene che la scrittura ρe di un numero complesso in forma esponenziale potrebbe essere data abbastanza presto come denotativa di una rotazione nel piano. E’ un punto di vista che si deduce anche da ciò che scrive Bruno de Finetti in Matematica Logico Intuitiva, Cremonese 1959.

ALTRI RIFERIMENTI NEL SITO

Gli esami di Stato della sessione 1997

Gli esami di concorso a cattedre del gennaio 2000 (Gruppo 3)

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