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La formula più bella dimostrata da Lagrange

La formula più bella della matematica ottenuta seguendo il ragionamento di Giuseppe Luigi Lagrange.

Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813)

Ancora sulla formula più bella e più celebre della matematica, la e+1=0. Anche in questo sito web, non mancano, pagine che ne decantino bellezza e mistici significati. «Essa è assolutamente paradossale, ma siccome l’abbiamo dimostrata è vera». Così si espresse, in maniera più o meno testuale, Benjamin Peirce.

Esistono più strategie per parlarne a scuola.

Se non si vuole aspettare che gli studenti maturino gli strumenti dell’analisi matematica, un modo più immediato è quello di muoversi nel piano di Gauss assumendo che ρeiθ denoti la rotazione di modulo ρ e ampiezza θ. Allora, se ρ=1, la rotazione per θ=π manda 1 in -1 ovvero e = -1. Una illustrazione di una simile strategia didattica si trova in Bruno de Finetti e in Matematica e immaginazione di Kasner e Newman. La differenza di metodo comporta che alla fine lo studente può giungere con maggiore consapevolezza ad appropriarsi della coerenza di quella “strana” assunzione di partenza, nonché della profonda unità delle varie parti della matematica che essa realizza; cosa che invece con i metodi dell’analisi quasi mai arriva a cogliere. In particolare, la relazione tra le fondamentali espressioni di un numero complesso, esponenziale ( o euleriana) , trigonometrica, cartesiana: 

\rho e^{i\theta }=\rho (cos\theta +isen\theta )=(\rho cos\theta )+i(sen\theta )=a+ib
Sfruttando derivate, integrali e serie è ovvio che il tutto appare più pertinente e naturale, ma anche più soggetto a quell’aura di artificio tecnico legata all’algebrizzazione dell’Analisi.
Il ragionamento di Giuseppe Luigi Lagrange muove comunque dal valutare la verità di cosx+iseny=eìx  facendo a meno delle serie.

Sia y=senx  e  z=cosx.

Le due funzioni derivate danno: y’=z e z’=-y . Moltiplicando la prima per i si ha iy’ = iz e sommando alla seconda si ha: z’+ iy’ = i( z+iy) ovvero:

\frac{z'+iy'}{z+iy}=iche integrata dà: log(z+iy)=ix+k
Imponendo che per x=0 sia y=0 e z=1 come avviene nelle equazioni primitive, si deduce k=0 cioè cosx+iseny=eìx , l’identità di cui la formula e+1=0 è immediata conseguenza. Il ragionamento nella sostanza, è anche in: Una dimostrazione accessibile agli studenti liceali.

Quanto sopra si trova esposto in un pregevole articolo di Gino Loria pubblicato nel n.1/1924 del Periodico di Matematiche. L’articolo è la riproduzione del discorso che Loria aveva tenuto ai docenti presenti al Congresso Mathesis del settembre 1923.

Titolo dell’articolo: “la Massima di Abel”.

L’obiettivo di Loria: illustrare «la profonda indiscutibile verità che quel grande enunciava: bisogna porre qualunque problema sotto forma tale da poterlo sempre risolvere».

Saggia massima cui fa riferimento anche George Polya nei suoi volumi dedicati alla scoperta matematica e alla risoluzione dei problemi. Massima che Polya fa risalire a Cartesio, ad una delle sue Regulae ad directionem ingenii. Massima alla quale si rifà anche Marvin Minsky, padre dell’intelligenza artificiale, in La Società della Mente (Adelphi, 1989) studiando come insegnare alle macchine a risolvere problemi. Tutto ciò comprova che le buone idee hanno radici profonde nella mente umana e indipendentemente da tempi, luoghi e contesti.

 

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