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Il problema dei buoi di Archimede

Il problema dei buoi del Sole Iperione sembra voler insegnare l’umiltà. Non è forse vero che Archimede lo concepì quale beffa, sfida, vendetta verso gli scienziati presuntuosi?

Omero

A sentire François-Marie Arouet, detto Voltaire, “c’era più immaginazione nella testa di Archimede che in quella di Omero”. Letto così, il confronto sembra un po’ campato in aria: che c’entra Omero con Archimede? Però Voltaire è quello che è! Avrà avuto mille motivi per affermarlo, non ultimo l’aver associato il contenuto del libro XII dell’Odissea al problema dei buoi immaginato da Archimede e rinvenuto nel 1773 dal filosofo tedesco G. E. Lessing in un vecchio manoscritto. Nel racconto di Omero infatti, Ulisse, scansati i pericoli di Scilla e Cariddi, approda in Sicilia, nella valle di Taormina, dove pascolavano, libere e numerose, le vacche di Helios, dio del Sole. Vacche sacre, da non toccare. Gli uomini di Ulisse invece, vinti dalla fame, ne uccidono e mangiano a sazietà. Saranno condannati a non far più ritorno alle loro case.

Archimede, secoli dopo, prolunga il racconto omerico.

Pone il problema: quante sono quelle vacche al pascolo? Se tra esse ce ne sono di bianche, di fulve, di nere e di screziate e così per i tori, e se si conoscono i rapporti fra le numerosità dei vari gruppi, si può determinare il numero complessivo di vacche e di tori?

Il problema è geniale. Non facile, ma diviso in due parti: due livelli di difficoltà.

Il secondo, più difficile, vuole che le quantità dei gruppi di tori dei vari colori siano esprimibili con numeri triangolari o quadrati.
Archimede formulò il suo problema poeticamente e con fine ironia e lo inviò in forma di epigramma ad Eratostene, il bibliotecario misuratore della circonferenza della Terra, che certamente condivideva con lui, come osserva Mario Geymonat, interessi culturali e gusto dei poeti! Non sappiamo se Eratostene o altri scienziati di Alessandria abbiano risolto il problema, relativamente almeno alla prima parte.
Nella sua forma completa il problema si traduce in un sistema di sette equazioni diofantee in otto incognite, la cui soluzione con carta e matita richiede una concentrazione esclusiva e un tempo enorme. Archimede ne era certo consapevole e se ne dovette accorgere anche C. F. Gauss, che rinunciò: avrebbe dovuto smettere di produrre, non ne avrebbe avuto più il tempo. Nel 1880 però Carl Amthor, professore in un Gymnasium tedesco, riuscì nell’impresa. Calcolò che il più piccolo numero del totale di vacche e tori delle mandrie di Helios contava ben 206.545 cifre e cominciava con 776.

Un numero N così enorme di vacche e tori non avrebbero potuto pascolare in Sicilia e neppure in un territorio di raggio pari alla distanza tra la Terra e la via Lattea. Per conoscere tutte le 206.545 cifre c’è voluto un altro secolo! Esse sono note dal 1981 grazie ad uno dei più potenti supercomputer allora in attività che ha confermato che: N= 7,760271…10206.544

Del problema va detto che la sua è una storia sostanzialmente moderna.

Il problema infatti non è presente nei palinsesti delle altre opere di Archimede, ragion per cui qualcuno ha pure dubitato della sua autenticità. Fu rinvenuto, come già ricordato, solo nel 1773, ma da allora ha appassionato sia per il coinvolgimento dei grandi numeri sia per le finalità della proposta, non escluse finalità morali e educative, peraltro proprie della cultura greca.

Per altre notizie sul problema dei buoi vale la pena di citare per gli aspetti matematici il sito Wolfram, mentre la sua descrizione divulgativa appare doveroso riprenderla dalla Vendetta di Archimede, il libro (1988) di Paul Hoffman di cui già è stato detto in Il grande Archimede e l’arte della misura.  

Ecco come lo presenta Paul Hoffman:

Il problema dei buoi venne formulato davvero per la prima volta da Archimede? Lo abbia o no escogitato in un accesso d’ ira, si sa con sicurezza che Archimede lavorò a questo problema, cosicché esso ha almeno ventidue secoli.

“Amico” comincia il problema, “se partecipi della sapienza, calcola, usando diligenza, qual era il numero dei buoi del Sole che pascolavano nelle pianure della sicula Trinacria, divisi in quattro gruppi di colori diversi: l’uno bianco come il latte, il se­condo di color nero lucente, il terzo fulvo e il quarto screziato. In ciascun gruppo c’erano tori in quantità, divisi secondo la se­guente proporzione:

  1. Tori bianchi = tori fulvi + (1/2 + 1/3) dei tori neri.
  2. Tori neri = tori fulvi + (1/4 + 1/5) dei tori screziati.
  3. Tori screziati = tori fulvi + (1/6 + 1/7) dei tori bianchi.
  4. Vacche bianche = (1/3 + 1/4) di tutti i bovini neri.
  5. Vacche nere = (1/4 + 1/5) di tutti i bovini screziati.
  6. Vacche screziate = (1/5 + 1/6) di tutti i bovini fulvi.
  7. Vacche fulve = (1/6 + 1/7) di tutti i bovini bianchi.”

“Amico”, continua il problema, “se tu dirai veramente quanti erano i buoi del Sole, quale era il numero dei ben pasciuti tori e quante erano le vacche di ciascun colore, nessuno dirà che sei ignorante o inesperto sui numeri; tuttavia non sarai ancora anno­verato tra i sapienti”.

Ridotto ai suoi elementi matematici essen­ziali, il problema consiste fin qui nel dover risolvere sette equa­zioni implicanti otto incognite (quattro gruppi di tori specificati per colore e quattro gruppi di vacche di colore corrispondente). Queste equazioni non sono di per sé difficili da risolvere. Di fatto esse ammettono infinite soluzioni, la minore delle quali im­plica un totale di 50.389.082 bovini, un numero di animali che potrebbero pascolare confortevolmente nei 2,5 milioni di ettari della Sicilia. Archimede, però, non si fermò qui. Egli rese il problema molto più difficile, imponendo altre due condizioni sul numero dei tori:

8) Tori bianchi + tori neri = un numero quadrato.
9) Tori screziati + tori fulvi = un numero triangolare.

“Se tu troverai queste cose e se in modo comprensibile indi­cherai tutte le misure, va’ orgoglioso come colui che ha riportato la vittoria, e sarai giudicato del tutto provetto nella scienza.”Paul Hoffman, La vendetta di Archimede, 1990

Osservazione finale:

bene azzeccato il paragone fra il buon matematico e l’atleta che trionfa vincendo una difficilissima gara. Però Archimede è andato oltre: nella sua prestigiosa gara matematica la vittoria è andata non a un uomo, ma a un atleta di eccezione. Questo atleta super è il  computer. Al massimo l’uomo come inventore del computer potrebbe essere considerato un bravissimo  allenatore … A questo punto sorge spontanea una domanda: è mai possibile  che lo stesso Archimede, capace di escogitare un così arduo problema, avesse una mente tanto computerizzata da averne intuito anche l’ordine di grandezza della soluzione?  Il discorso che si apre è affascinante!

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