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Il teorema degli 800 colori

Un divertimento intellettuale e una parodia del teorema dei 4 colori. Parte del progetto della Cacopedia di Umberto Eco.

Umberto Eco (1932 – 2016)

Il progetto della Cacopedia fu pensato in una pizzeria bolognese. Ad elaborarlo e portarlo avanti negli anni ottanta del secolo scorso fu un ristretto gruppo di studiosi coordinato da Umberto Eco. La Cacopedia doveva configurarsi come una summa negativa del sapere o anche una summa del sapere negativo. Il suo compito doveva essere quello di condurre ad una recensione totale dell’antisapere.

Il teorema degli 800 colori è uno dei frutti del progetto.

Un divertimento intellettuale di topologia cromatica ideato come parodia del famoso teorema dei 4 colori risolto nel 1976 da Appel e Haken con un metodo dimostrativo metà dialettico e metà sperimentale. Una dimostrazione che si era avvalsa dell’aiuto del calcolatore e aveva fatto discutere per la novità di cui era portatrice. [VEDI]

Insieme a Angelo Fabbri, allievo di valore, vittima di efferato omicidio appena ventiseienne, Umberto Eco parte dalla seguente formulazione:

È possibile costruire una mappa d’Europa suddivisa in Stati disgiunti, utilizzando ottocento colori differenti in modo tale che ciascuno stato sia colorato diversamente da un altro e non ci siano due stati adiacenti che presentino la stessa tinta?

La difficoltà del problema sta ovviamente “nell’arduo reperimento di pastelli o pennarelli in ottocento tonalità cromatiche diverse”.  Ecco allora la “storia” del teorema nella divertita ricostruzione cacopedica degli autori.

Martin Rendrag, matematico collega di Nicolas Bourbaki,  suggerì di riformulare il problema in questo modo:

È possibile costruire una mappa d’Europa, suddivisa in Stati disgiunti e numerati, da uno a ottocento, in modo tale che ciascuno stato sia contrassegnato da un numero differente e non ci siano due stati adiacenti contrassegnati con lo stesso numero?

Questa nuova formulazione aggirava quindi le difficoltà cromatiche rinviando ad un momento successivo la colorazione. Costituiva pertanto un buon punto di partenza per affrontare razionalmente il teorema e provarlo.

Eco e Fabbri continuano così la loro storia del teorema:

Nonostante ciò, nessun matematico riuscì a risolvere il teorema con carta e matita, finché nel 1979 una équipe capeggiata dal dottor Göthe del MIT riuscì a fornire una parziale soluzione teorica basata sulla riformulazione di Rendrag: programmando una macchina di Touring Club a Strati Finiti, il dottor Göthe è riuscito a suddividere l’Europa in ottocento Stati numerabili  in modo da soddisfare le richieste logiche del problema. Per ottenere questo risultato è stato necessario computare come stati indipendenti tutti i dipartimenti francesi, i cantoni svizzeri e le province italiane comprese quelle di Pordenone, Isernia e Oristano, nonché le isole Faer Øer, Anguilla e Lampedusa.

A questo punto il problema, enormemente semplificato, è quello di assegnare a ogni numero uno e un solo colore. Le difficoltà pratiche sono evidenti: elencate una decina di tinte sicuramente differenti tra loro, iniziano problemi di denominazione, di individuazione e di confronto dei colori.

La storia prosegue con l’elencazione delle difficoltà legate alle possibili distinzioni cromatiche non solo nelle tonalità esistenti in natura ma anche percepibili dal soggetto che vede, che può presentare organi visivi strutturati in modo particolare.

La conclusione della storia è questa:

«A  tutt’oggi non è ancora stata fornita una dimostrazione completa ed esauriente del Teorema degli 800 colori: purtroppo il problema è aperto».

In collaborazione con Angelo Fabbri, U. Eco scrisse anche Come falsificare Eraclito.

I due scritti cacopedici sono entrambi pubblicati in una sezione del libro Il secondo diario minimo del 1992 dedicata ad  A. Fabbri nel decennale della morte. U. Eco con Fabbri aveva già scritto due parodie della Teoria delle Catastrofi di René Thom: Teoria della anastrofi e Ambarabes, Tchi-Tchi et Caucaustrophes. Aveva anche progettato di scrivere La coperta scientifica in collaborazione con Giulio Giorello, mai però scritta in vita. Chissà che di là non s’inventino ancora qualcosa! Anche per far sorridere, a scuola, docenti e studenti, che ne vogliano parlare. Il che di questi tempi fa certamente bene.

Autore

  • Laureato in matematica, docente e preside e, per quasi un quarto di secolo, ispettore ministeriale. Responsabile, per il settore della matematica e della fisica, della Struttura Tecnica del Ministero dell'Istruzione. Segretario, Vice-Presidente e Presidente Nazionale della Mathesis dal 1980 in poi e dal 2009 al 2019, direttore del Periodico di Matematiche.

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