La risoluzione dei problemi geometrici

Qualche riflessione su procedimenti e metodi per la risoluzione dei problemi geometrici.

Teoremi e problemi

La distinzione, in Geometria,  fra teoremi e problemi risale ai dibattiti filosofici dell’Accademia platonica sullo statuto epistemologico e sul metodo della matematica.

Anche se tale distinzione non è sempre netta,  possiamo parlare di teorema quando, da una figura nota nei suoi elementi costitutivi, si deducono proprietà o relazioni tra gli elementi stessi. Ci troviamo, invece, di fronte a un problema quando dobbiamo determinare una figura o alcuni suoi elementi, di cui sono note alcune proprietà.

Nella  sintesi operata da Euclide i teoremi e i  problemi concorrono entrambi  agli enunciati  delle proposizioni geometriche, i primi  mediante le dimostrazioni basate sulla scelta degli assiomi e dei principi logici, i secondi con un ruolo eminentemente costruttivo.

Il ruolo euristico, caratteristica e peculiarità della risoluzione dei problemi, resta però  sempre solido negli ambienti matematici, in una concezione di tipo dinamico della conoscenza.

Attualmente si parla sempre più spesso di Problem solving come di una competenza trasversale indispensabile per affrontare la complessità della realtà, mentre la soluzione di problemi squisitamente geometrici appare come un esercizio astratto da non enfatizzare nella prassi didattica e da riservare ai cultori o agli appassionati della materia.

Le stesse Indicazioni Nazionali per i licei scientifici fissano alcuni traguardi di apprendimento di carattere generale che, peraltro, sono stati associati principalmente alla modellizzazione di fenomeni reali e alla soluzione di problemi contestualizzati:

«I percorsi liceali forniscono allo studente gli strumenti culturali e metodologici per una comprensione approfondita della realtà, affinché egli si ponga, con atteggiamento razionale, creativo, progettuale e critico, di fronte alle situazioni, ai fenomeni e ai problemi, ed acquisisca conoscenze, abilità e competenze sia adeguate al proseguimento degli studi di ordine superiore, all’inserimento nella vita sociale e nel mondo del lavoro, sia coerenti con le capacità e le scelte personali».

«Al termine del percorso didattico lo studente avrà approfondito i procedimenti caratteristici del pensiero matematico (definizioni, dimostrazioni, generalizzazioni, formalizzazioni), conoscerà le metodologie di base per la costruzione di un modello matematico di un insieme di fenomeni, saprà applicare quanto appreso per la soluzione di problemi, anche utilizzando strumenti informatici di rappresentazione geometrica e di calcolo».

Una lettura più attenta suggerisce, peraltro, una riflessione sui metodi risolutivi, sugli strumenti da utilizzare e soprattutto sulla rappresentazione dei dati  mediante la costruzione di figure, operazione che richiede opportune conoscenze e ne genera  altre. L’intuizione geometrica non è fine a sé stessa ma aiuta il processo logico e stimola nello stesso tempo la creatività.

Metodo assiomatico e metodo analitico

Dalla Premessa del saggio di Simon Singh sull’ultimo teorema di Fermat:  (chi parla è  John Lynch, direttore della serie Horizon della BBC,  in occasione del suo incontro con Andrew Wiles , con cui avrebbe poi girato un documentario sulla storia della dimostrazione del Teorema di Fermat)

«Ciò che colpì di più  in tutte le discussioni con loro (i matematici)  fu la precisione straordinaria delle loro affermazioni. Raramente rispondevano subito a una domanda; spesso dovevo attendere che la struttura precisa della risposta si articolasse nella mente dell’interlocutore, ma poi la risposta arrivava sotto forma di un enunciato così preciso e dettagliato come mai avrei potuto desiderare.  Quando chiesi la ragione di ciò a Peter Sarnak, amico di Andrew, egli mi spiegò che i matematici semplicemente odiavano fare affermazioni false»

Il procedimento deduttivo che sta alla base delle “dimostrazione di teoremi” garantisce  la  veridicità del risultato, rispetto al sistema di assiomi di riferimento, ma è il procedimento analitico che guida la ricerca della soluzione di un problema , ampliando il campo delle conoscenze presenti nei dati.

Il metodo analitico, applicato anche alla dimostrazione di teoremi, è sostanzialmente un metodo di riduzione, come si osserva in vari autorevoli esempi, dalla quadratura delle lunule da parte di Ippocrate di Chio alla dimostrazione del teorema di Fermat, ad opera del  già menzionato Andrew Wiles.

Chiunque si sia cimentato nella risoluzione di problemi matematici sa che, se il problema non è di soluzione immediata, lo si riduce ad un altro più semplice e questo ad un altro ancora finché non si arriva  ad un problema che si sa risolvere. Con un procedimento inverso, poi, si risolvono i problemi intermedi fino al risultato finale.

In particolare, si trova un’ipotesi sufficiente per la risoluzione del problema, si controlla  se questa sia compatibile coi dati esistenti; si parte poi da questa ipotesi  e si cerca di giustificarla con un’altra ipotesi, e così via fino ad arrivare ad una affermazione sicuramente vera, ovvero a un problema che si risolve solo grazie ai postulati  euclidei ( problema fondamentale).

Ovviamente il successo del processo risolutivo dipende da  molti fattori che coinvolgono le conoscenze e le abilità del solutore  , la sua esperienza nonché inventiva e  prontezza nell’affrontare situazioni nuove, nell’intuire quale sia  l’approccio più conveniente.

I procedimenti risolutivi

La  classificazione dei problemi e dei metodi risolutivi  trovò, a suo tempo,  ampio spazio nel progetto editoriale di Federigo Enriques, progetto nato per sostenere i docenti di matematica nella loro formazione iniziale e nella didattica. Nei primi decenni del ‘900, periodo di riforme  nelle università e nelle scuole secondarie, Enriques pubblicò le “Questioni riguardanti la Geometria elementare” , ampliate poi nelle “Questioni  riguardanti la matematica elementare”, una raccolta di monografie che affrontano  vari temi, con particolare riguardo al loro sviluppo storico e critico.

L’opera di Enriques, che costituì per molti anni un punto di riferimento per gli autori di testi destinati ai docenti o agli studenti,  può ancora fornire alcuni spunti didattici,  nel rispetto dell’evoluzione delle metodologie didattiche e degli strumenti attualmente utilizzati.

Gli articoli riguardanti  la risoluzione dei problemi portano firme autorevoli , tra cui  Guido Castelnuovo e  lo  stesso Enriques; rivelano una particolare attenzione agli aspetti storici ed epistemologici, mettono in luce il ruolo formativo del problema geometrico in una visione unitaria delle conoscenze matematiche.

Si ribadisce  ruolo centrale della costruzione di una figura rappresentativa dei dati, anche nel caso in cui nella soluzione si sfrutti il calcolo algebrico.

Poiché, nel processo di riduzione, la  scelta da parte dei solutori è guidata sostanzialmente dal concetto di luogo geometrico e dal concetto di trasformazione, solitamente si ricorre a tre metodi fondamentali per  ridurre  la complessità del problema:

1. Il metodo dei luoghi geometrici

Se, per costruire la figura  rappresentativa dei dati del problema, è necessario determinare un punto che deve soddisfare due condizioni, spesso risulta comodo trascurare una delle due  e determinare il luogo dei punti che soddisfano l’altra. Il punto verrà , in tal modo, determinato come intersezioni di due luoghi geometrici.

2. Il metodo delle trasformazioni:

Il ricorso ad una trasformazione è utile se, tralasciando alcune proprietà della figura che si intende costruire, si riesce agevolmente a costruirne un’altra, ad essa corrispondente in una particolare  trasformazione.

3. Il metodo problema contrario

A volte è comodo risolvere il problema  “contrario” ottenuto invertendo il punto di partenza e il punto di arrivo. Con una similitudine la figura ottenuta può essere poi opportunamente trasformata in quella richiesta.

Costruzioni geometrica e metodi  sintetici per la risoluzione dei problemi geometrici elementari

La costruzione di figure con riga e compasso è stata per molto tempo  al centro della didattica.  In tempi più  recenti era ancora presente nei problemi di maturità antecedenti la riforma del 1969 , anche se spesso era posta come domanda facoltativa.

Anche se negli anni successivi  i metodi analitici o trigonometrici hanno prevalso sul  metodo sintetico , quest’ultimo,  riscoperto negli anni in cui si sono diffusi i software di Geometria dinamica,  si rivela  ancora  molto potente e permette di ottenere soluzioni di indubbia eleganza.

I cinque postulati di Euclide che permettono di individuare i problemi fondamentali , definiscono anche le costruzioni fondamentali cioè le costruzioni eseguibili con riga e compasso: segmento o  retta per due punti, intersezione di due rette non parallele, circonferenza di dato centro e passante per un punto assegnato, intersezioni di una circonferenza e una retta secante, intersezioni di due circonferenze.

Il confronto col menu degli strumenti di Geogebra, il software maggiormente utilizzato dagli studenti, può avviare una discussione sulla risolubilità di un problema, relativamente agli  strumenti assegnati.

Seguono quattro esempi di problemi risolti alla luce delle precedenti considerazioni

• Un esempio di processo risolutivo
• Un esempio del metodo dei luoghi geometrici
• Un esempio del metodo delle trasformazioni
• Un esempio del metodo del problema contrario

 Riferimenti

• Agostini A. I problemi geometrici elementari e i problemi classici Enciclopedia delle matematiche elementari-Vol. II -Parte prima-   Hoepli
• Cellucci C. Matematica: dimostrazione di teoremi o soluzione di problemi? Conferenza per la Mathesis romana
• Chiellini A.- Giannarelli R. L’esame orale di Matematica- Veschi
• Questioni riguardanti le Matematiche elementari – Vol. II Zanichelli
• Baroni E.     Sui metodi elementari per la risoluzione dei problemi geometrici
• Enriques F.  Alcune osservazioni generali sui problemi geometrici